高中数学必修三第二章《统计》学案 221 用样本的频率分布估计总体的分布教师专用A版.docx
《高中数学必修三第二章《统计》学案 221 用样本的频率分布估计总体的分布教师专用A版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修三第二章《统计》学案 221 用样本的频率分布估计总体的分布教师专用A版.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中数学必修三第二章《统计》学案221用样本的频率分布估计总体的分布教师专用A版
普通高中数学必修3（A版）学案2.2.用样本估计总体
2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布（第一课时）
授课时间：
年月日
【学习目标】通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图体会它们各自的特点．在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布.
【重点难点】会列频率分布表，画频率分布直方图.
【学习过程】
一、学习引导
我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费。
如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？
你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？
二、合作交流（教师可做点拨）
（1）频率分布表：
当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布来估计总体的频率分布。
我们把反映总体频率分布的表格为频率分布表。
（2）编制频率分布表的步骤：
①求全距，决定组数和组距，组距=
；
②分组，区间一般左闭右开（为了遵循统计分组穷尽和互斥原则，所以统计上规定，凡是总体某一个单位的变量值是相邻两组的界限值，这一个单位归入作为下限值的那一组内，即所谓“上限不在内”原则）；
⑶登记频数，计算频率，列出频率分布表。
（3）条形图：
条形图是用宽度相同的条形的高度或长度来表示数据变动的图形。
条形图可以横置也可以纵置，纵置时又称为柱形图，也就是说，当各类别放在纵轴时，称为条形图；当各类别放在横轴时，称为柱形图。
（4）频率分布直方图：
直方图是用矩形的宽度和高度来表示频率分布的图形（在平面直角坐标中，横轴表示数据分组，即各组组距，纵轴表示频率）。
（5）直方图与条形图的不同点：
①条形图是用条形的长度表示各类别频数的多少，其宽度（表示类别）是固定的；直方图是用面积表示各组频率的多少，矩形的高度表示每一组的频率除以组距，宽度则表示各组的组距，因此其高度与宽度均有意义。
②此外，由于分组数据具有连续性，直方图的各矩形通常是连续排列，而条形图则是分开排列。
（6）频率分布表、频率分布直方图等是将统计对象的样本值，用直观图表表示出来，以反映总体分布的重要方法，直方图绘图步骤：
（1）
（2）
（3）
（4）
3.频率分布直方图的特征：
三．随堂练习
例：
为检测某产品的质量，抽取了一个容量为30的样本，检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，次品4件。
⑴列出样本的频率分布表；
⑵此种产品为二级品或三级品的概率？
⑶能否画出样本分布的条形图？
分析：
当总体中的个体取不同数值很少时，可用频率分布表或频率分布条形图估计总体分布。
解：
频率分布表如下：
产品
频数
频率
一级品
5
0.17
二级品
8
0.27
三级品
13
0.43
次品
4
0.13
合计
30
1
频率分布条形图：
点评：
频率分布表中通常有频数、累计频数，频率、累计频率等。
其中所有频数的和即样本容量的大小，而所有频率的和恰好为1。
四．能力提升
1.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5岁~18岁的男生的体重情况,结果如下（单位:
kg）
56.5
69.5
65
61.5
64.5
66.5
64
64.5
76
58.5
72
73.5
56
67
70
57.5
65.5
68
71
75
62
68.5
62.5
66
59.5
63.5
64.5
67.5
73
68
55
72
66.5
74
63
60
55.5
70
64.5
58
64
70.5
57
62.5
65
69
71.5
73
62
58
76
71
66
63.5
56
59.5
63.5
65
70
74.5
68.5
64
55.5
72.5
66.5
68
76
57.5
60
71.5
57
69.5
74
64.5
59
61.5
67
68
63.5
58
59
65.5
62.5
69.5
72
64.5
75.5
68.5
64
62
65.5
58.5
67.5
70.5
65
66
66.5
70
63
59.5
试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计
解:
按照下列步骤获得样本的频率分布.
（1）求最大值与最小值的差.在上述数据中，最大值是76，最小值是55，它们的差（又称为极差）是76—55=21）所得的差告诉我们，这组数据的变动范围有多大.
（2）确定组距与组数.如果将组距定为2，那么由21÷2=10.5，组数为11，这个组数适合的.于是组距为2，组数为11.
（3）决定分点.根据本例中数据的特点，第1小组的起点可取为54.5，第1小组的终点可取为56.5，为了避免一个数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样，所得到的分组是
［54.5，56.5），［56.5，58.5），…，［74.5，76.5）.
（4）列频率分布表,如表①频率分布表
分组
频数累计
频数
频率
［54.5，56.5）
2
2
0.02
［56.5，58.5）
8
6
0.06
［58.5，60.5）
18
10
0.10
［60.5，62.5）
28
10
0.10
［62.5，64.5）
42
14
0.14
［64.5，66.5）
58
16
0.16
［66.5，68.5）
71
13
0.13
［68.5，70.5）
82
11
0.11
［70.5，72.5）
90
8
0.08
［72.5，74.5）
97
7
0.07
［74.5，76.5）
100
3
0.03
合计
100
1.00
（5）绘制频率分布直方图.频率分布直方图如图所示
在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计.例如可以估计体重在
［64.5，66.5）kg的学生最多，约占学生总数的16%；体重小于58.5kg的学生较少，约占8%；等等
点评：
由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积反映了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面，频率分步表比较准确，频率分布直方图比较直观，它们起着相互补充的作用.
【小结反思】
总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布。
总体的分布分两种情况：
当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
【自我测评】
1.在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是（）
Ａ．总体容量越大，估计越精确Ｂ．总体容量越小，估计越精确Ｃ．样本容量越大，估计越精确Ｄ．样本容量越小，估计越精确
2.一个容量为ｎ的样本，分成若干组，已知某数的频数和频率分别为50和0.25，则ｎ＝ ．
3.一个容量为32的样本，已知某组的样本的频率为0.25，则该组样本的频数为（）
Ａ．２Ｂ．４Ｃ．６Ｄ．８
4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）
0.6小时
0.9小时
1.0小时
1.5小时
5.（江西卷）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a,b的值分别为（）
A．0,27,78B．0,27,83
C．2.7,78D．2.7,83
6．用条形图表示下表中关注不同广告的人数、频率。
广告类型
人数
比例
频率%
商品广告
112
0.560
56
服务广告
51
0.255
25.5
金融广告
9
0.045
4.5
房地产广告
16
0.080
8
招生招聘广告
10
0.050
5
其他广告
2
0.010
1
合计
200
1.000
100
7．下表给出了某学校120名12岁男生的身高统计分组与频数（单位：
cm）．
区间
[122,126）
[126,130）
[130,134）
[134,138）
[138,142）
[142,146）
[146,150）
[150,154）
[154,158）
人数
5
8
10
22
33
20
11
6
5
（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；
（2）画出频率分布直方图；
（3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．
【解答】
1．Ｃ2．2003．Ｂ4．B
5．A6．解：
人数分布条形图如下
频率分布条形图如下
7．解：
（1）样本的频率分布表与累积频率表如下：
区间
[122,126）
[126,130）
[130,134）
[134,138）
[138,142）
[142,146）
[146,150）
[150,154）
[154,158）
人数
5
8
10
22
33
20
11
6
5
频率
累积频率
1
（2）频率分布直方图如下：
（3）根据累积频率分布，小于134的数据约占
．
2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布（第二课时）
授课时间：
年月日
【学习目标】
1.掌握茎叶图的意义及画法，并能在实际问题中用茎叶图用数据统计；
2.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计．
【重点难点】
1.会列频率折线图和茎叶图
2.能通过样本的频率分布估计总体的分布。
【学习过程】
三、学习引导
频率分布表、频率分布直方图、总体密度曲线三者的关系，就好比在函数学习中函数表示法中的列表、描点、连线三个层次，是不断进步的一种表示方法。
频率折线图能反映发展变化的趋势，茎叶图能直观地反映出数据的水平状况、稳定程度。
四、合作交流（教师可做点拨）
（1）频率折线图：
将频率分布直方图中各相邻矩形的上底边中点顺次连接起来就得到一条折线，这条折线成为本组数据的频率折线图。
（2）总体密度曲线：
样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就接近于总体在相应各组的取值概率，设想样本容量无限大，分组的组距无限缩小，频率分布的直方图就会接近于一条曲线——总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的概率。
根据这条曲线，可求出总体在区间（a，b）内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．
（3）茎叶图：
它的思路是将数组的数按位数进行比较，将数大小基本不变或变化不大的位作为一个主杆（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主杆的后面，这样就可以清楚地看到每个主杆后面的几个数，每个数具体是多少。
茎叶图有三列数：
左边的一列数统计数，它是上（或下）向中心累积的值，中心的数（带括号）表示最多数组的个数;中间的一列表示茎，也就是变化不大的位数;右边的是数组中的变化位，它是按照一定的间隔将数组中的每个变化的数一一列出来，象一条枝上抽出的叶子一样，所以人们形象地叫它茎叶图。
茎叶图在质量管理上用途与直方图差不多，但它通常是作为更细致的分析阶段使用。
它是用数字组成直方图。
三．随堂练习
例1：
为调查某居民区居民的购买消费品的支出情况，特从中抽出了50户并对其实际消费进行了如下的统计：
某市50户居民某月购买消费品支出情况表单位：
元
按户月消费品支出额分组
频数
频率
800～900
900～1000
1000～1100
1100～1200
1200～1300
1300～1400
1400～1500
1500以上
5
1
8
11
11
7
4
3
0.10
0.02
0.16
0.22
0.22
0.14
0.08
0.06
合计
50
1.00
1．完成下面的分布表并根据下表画出频率分布直方图、折线图。
2．试这些数据分析该居民区居民的消费状况，并作出居民区消费能力的总体评价。
3．
居民月消费支出额分组上限
频数
累计频数
频率（%）
累计频率（%）
［800，900）
5
［900，1000）
1
［1000，1100）
8
［1100，1200）
11
［1200，1300）
11
［1300，1400）
7
［1400，1500）
4
［1500，1600）
2
［1600，1700）
1
合计
50
~
100
~
居民月消费支出额分组上限
频数
累计频数
频率（%）
累计频率（%）
［800，900）
5
5
10
10
［900，1000）
1
6
2
12
［1000，1100）
8
14
16
28
［1100，1200）
11
25
22
50
［1200，1300）
11
36
22
72
［1300，1400）
7
43
14
86
［1400，1500）
4
47
8
94
［1500，1600）
2
49
4
98
［1600，1700）
1
50
2
100
合计
50
~
100
~
解：
四．能力提升
1.下面一组数据是某生产车间30名工人某日加工零件的个数，请设计适当的茎叶图表示这组数据，并由图出发说明一下这个车间此日的生产情况。
134
112
117
126
128
124
122
116
113
107
116
132
127
128
126
121
120
118
108
110
133
130
124
116
117
123
122
120
112
112
分析：
以零件个数的前两位数作茎，后一位数作叶。
解：
从图可以看出这个车间此日的零件生产数目平均每人120左右。
点评：
用茎叶图表示有两个突出的优点，其一，从统计图上没有信息的损失，所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；其二，茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示。
但茎叶图只能表示两位的整数，虽然可以表示两个人以上的比赛结果（或两个以上的记录），但没有表示两个记录那么直观、清晰。
【小结反思】
总体的分布分两种情况：
当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图。
【自我测评】
1．在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，
是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为
，该组上的直方图的高为
，则
等于（）
与
无关
2．有一个容量为45的样本数据，分组后，各组频数如下：
[12.5，15.5）3，[15.5，18.5）8，[18.5，21.5）9，
[21.5，24.5）11，[24.5，27.5）10，[27.5，30.5）4。
根据累计频率分布，估计小于27.5的数据约为总体的（）
A、91%B、30%C、92%D、95%
3．有一个容量为20的样本数据，分组后，组距与各组频数如下：
[10，20）2，[20，30）3，[30，40）4，
[40，50）5，[50，60）4，[60，70）2。
则样本在区间[10，50）上的频率为（）
A、5%B、25%C、50%D、70%
4．甲乙两个小组各10名学生口语测试成绩如下（单位分）
甲组
76
90
84
86
81
87
86
82
85
83
乙组
82
84
85
89
79
80
91
89
79
74
用茎叶图表示两小组的成绩。
并判断哪个小组的成绩更整齐一些？
【拓展尝新】
5．为了了解学生身体的发育情况，对某重点中学年满17岁的60名同学的身高进行了测量，结果如下（单位：
ｍ）
身高
1.57
1.59
1.60
1.62
1.64
1.65
1.66
1.68
1.69
人数
2
1
4
2
4
2
7
6
8
身高
1.70
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
1.76
1.77
人数
7
4
3
2
1
2
1
1
（Ⅰ）根据上表，估计这所重点中学年满17岁的男同学中，身高不低于1.65ｍ且不高于1.71ｍ的约占多少？
不低于1.63ｍ的约占多少？
（Ⅱ）画出频率分布直方图，说出该校年满17岁的男同学中身高在哪个范围内的人数所占比例最大？
如果该校年满17岁的男同学恰好是300人，那么在这个范围内的人数估计约有多少人？
答案：
1．C2．A3．D4．甲小组更整齐些。
5．78．4%，85%，1.66—1.70,140
升级会员 