小学奥数经典专题点拨 算式谜+速算公式.docx
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小学奥数经典专题点拨算式谜+速算公式
速算公式
【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a，个位上的数分别为b和c，且b+c=10，则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数，它们的积为
（10a+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc
=102a2+10a（b+c）+bc
=100a2+100a+bc
＝a（a+1）×100+bc。
根据这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。
例如，72×78=（7×8）×100+2×8
=5616
45×45=（4×5）×100+5×5
=2025
首同末合十的计算公式，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。
例如
256×254
可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得
256×254=[25×（25+1）]×100+6×4
=[25×26]×100+24
=65024
又如，155×155=（15×16）×100+5×5
=24025
【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是a和b，且a+b=10，个位上的数字都是c，则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两位数，它们的积为
（10a+c）（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c2
＝100ab+10c（a+b）+c2
=100ab+100c+c2
=（ab+c）×100+c2。
根据这一公式，两个“末同首合十”的两位数相乘，可以先把两个首位数字的乘积加上一个末位数，再乘100然后再在所得的结果后面，添上末位数自乘的积（末位数的平方）。
例如，34×74=（3×7+4）×100+42
=25×100+16
=2516
【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是1的两位数，十位上的数字分别是a和b，则它们的积是
（10a+1）（10b+1）＝100ab+10a+10b+12
＝10a×10b+（a+b）×10+1
由这一公式可知，两个末位是1的两位数相乘，可以先把两个首位数值相乘，然后在所得的结果后面添上两个首位数的和（和满十时要进位）的10倍，最后在后面添上1。
例如，51×71=50×70+（5+7）×10+1
=3500+12091
=3621。
这样的题目，口算的方法可以是：
【两个首位是1的两位数相乘公式】设两个首位为1的两位数，个位上的数字分别是a和b，则它们的积是：
（10+a）（10+b）＝100+10a+10b+ab
=（10+a+b）×10+ab。
由这一公式可知，两个首位是1的两位数相乘，可以把一个数加上另一个数的末位数，所得的结果乘以10以后，再加上两个末位数的乘积。
例如，17×16=（17+6）×10+7×6
=230+42
=272。
【接近100的两个数相乘公式】接近100的两个数相乘，可以分三种情况来寻找它的速算方法。
（1）两个超过100的数相乘。
设两个超过100的数分别为a和b，它们与100的差分别为h和k，则a=100+h，b=100+k。
它们的积是
a·b＝（100+h）（100+k）
=（100+h）×100+100k-hk
=（100+h+k）×100+hk
=（a+k）×100+hk。
由这一公式可知，两个超过100的数相乘，可以先把一个数加上另一个数与100的差，然后将所得的结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（补充数）的乘积。
例如，108×112=（108+12）×100+8×12
=12000+96
=12096。
快速口算的思考方法可以是：
又如，103×102=（103+2）×100+3×2
=10500+6
=10506
快速口算的思考方法可以是
（2）两个不足100的数相乘。
设两个不足100的数一个为a=100-h，另一个为b=100-k，则它们的积是
a·b=（100－h）（100－k）
=（100-h）×100-100k+hk
=（100-h-k）×100+hk
=（a-k）×100+hk。
由这个公式可知，两个不足100的两位数相乘，可以先从一个因数中减去另一个因数与100的差，然后将所得结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（两个补充数）的乘积。
例如，89×97=（89-3）×100+11×3
=8600+33
=8633
快速口算的思考方法可以是
又如，89×88=（89-12）×100+11×12
=7700+132
=7832。
快速口算的思考方法可以是
（3）一个超过100，一个不足100的两个数相乘。
设一个因数a比100大h，即a=100+h；另一个因数b比100小k，即b=100-k，则它们的积是
a·b=（100+h）（100-k）
=（100+h）×100-100k+hk
=（100+h-k）×100+hk
＝（a-k）×100-hk。
由这个公式可知，一个超过100、一个不足100的两个数相乘，可以先从大于100的因数中，减去另一个因数与100的差，然后将所得的结果乘上100以后，再减去两个因数分别与100之差（两个补充数）的乘积。
例如，104×97=（104-3）×100-4×3
=10100-12
=10088
快速口算思考方法可以是
【平方差公式】两个数的和，乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。
平方差公式用字母表达就是：
（a+b）（a-b）=a2-b2
运用平方差公式计算，可以使一些题目的计算变得比较简便、快速。
例如
362-262=（36+26）×（36-26）
=62×10=620
672-522=（67+52）×（67-52）
=119×15
=1190+595=1785
872-762=（87+76）×（87-76）
=163×11
=1630+163
=1793
这个公式反过来，也可以运用于两数相乘的速算。
但其前提是：
两个因数必须能化成同样的两个数的和与差。
例如
17×23=（20-3）×（20+3）
=（20+3）×（20-3）
=202-32
=400-9
=391
94×86=（90+4）×（90-4）
=902-42
=8100-16
=8084
以上两例的特点是：
首位相差1，末位数字之和是10。
这样两个数相乘，可用较大数的十位数值与它的个位数字的和，去乘以它们的差，然后运用平方差公式进行速算。
【十位数相同的两位数相乘公式】十位数相同的两个两位数相乘，可先将一个乘数的个位数字加到另一个乘数上，再乘十位数值，然后加上两个个位数字的积。
即
（10a+b）（10a+c）=（10a+b+c）×10a+bc
例如，43×46=（43+6）×40+3×6
=1978
84×87=（84+7）×80+4×7
=7308
【一因数两数字和是10，另一因数为11的倍数的两数乘法公式】一个因数的两个数字为a和b，且a+b=10，另一个因数为11的倍数，这样的两个两位数相乘，可先将前一个乘数的十位数字加1，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积。
即
（10a+b）（10c+c）=（a+1）c×100+bc。
例如，73×44＝（7+1）×4×100+3×4
=3212。
【个位数相同的两位数相乘公式】个位数相同的两个两位数相乘，可先将两个十位数字相乘，再乘以100，再加上一个因数与另一个因数十位数值的和，然后乘以另一因数的个位数。
即
（10a+c）（10b+c）=100ab+（10a+c+10b）c。
例如，42×32=4×3×100+（42+30）×2=1344。
【几十几与十几相乘公式】几十几与十几相乘，可将几十几的十位数值乘以十几的个位数数字，再加上几十几的10倍，然后加上两个个位数字之积。
即
（10a+b）（10+c）=10a×c+（10a+b）×10+bc。
例如，65×17=60×7+650+5×7
=1105。
【末两位为25的三位数自乘公式】末两位为25的三位数自乘时，可以用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字的1000倍，然后加上625。
即
（100a+25）2=（10a+5）×1000a+625。
例如，7252=（70+5）×7000+625
=525625
如果直接写答案，可以是
7252=525625
↑↑
75×7252
又如，3252=105625
↑↑
35×3252
【末两位为75的三位数自乘公式】末两位为75的三位数自乘时，可用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字与1的和的积的1000倍，再加上625。
即
（100a+75）2=（10a+5）×（a+1）×1000+625。
例如，8752=（80+5）×（8+1）×1000+625
=765625
如果直接写答案，可以是
8752=765625
↑
85×9
又如，3752=140625
↑
35×4
算式谜
【添运算符号】
例1能不能在下式的每个方框中，分别填入“+”或“-”，使等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=10
（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析：
在只有加减法运算的算式中，如果只改变“＋”、“-”符号，不会改变结果的奇偶性。
而1＋2+……＋9=45，是奇数。
所以无论在□中，怎样填“＋”、“-”符号，都不能使结果为偶数。
例2在下列□中分别填上适当的运算符号，使等式成立。
12□34□5□6□7□8=1990
（1990年广州市小学数学邀请赛试题）
讲析：
首先凑足与1990接近的数。
12×34×5=2040，然后调整为：
12×34×5-6×7-8=1990。
例3在下面十八个数字之间适当的地方添上括号或运算符号，使等式成立
（中南地区小学数学竞赛试题）
讲析：
可先凑足与1993接近的数。
1122＋334＋455+66+7+7=1991。
然后，用后面的二个8和二个9，凑成2，得1122+334+455+66+7+7-8-8+9+9=1993。
【横式填数】
例1如果10+9-8×7÷□+6-5×4=3，那么，“□”中所表示的数是______。
（上海市小学数学竞赛试题）
讲析：
等式左边能计算的，可先计算出来，得5—56÷□=3，∴□=28。
例2在两个□中分别填上两个不同的自然数，使等式成立。
（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）
讲析：
时，等式都能成立。
所以，A=1994；B=1993×1994=3974042。
（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：
A+B=3。
例4在下面的○、□和△中分别填上不同的自然数，使等式成立。
（1987年北大友好数学邀请赛试题）
讲析：
最大为：
所以，○、□和△应填的数分别是2、3、9。
例5在下面的□中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字（每个式子中的数字不能重复），使带分数算式：
（第一届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：
可从整数部分和小数部分分开考虑。
要使减法式的值最大，必须使被减数最大而减数最小，从而可得
要使加法式的值最小，首先必须使每个加数中的整数部分尽可能小。
从
【数字谜】
例1图5.8的算式里，每个□代表一个数字。
问：
这6个□中的数字总和是多少？
（全国第三届“华杯赛”初赛试题）
讲析：
任意两个数字之和最多为18，且最多只向前一位进一，所以百位上的两个数字和十位上的两个数字都是9，而个位上的两位数可能为：
（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）之一种，故6个□内的数字总和为9×4＋11=47。
例2已知两个四位数的差是8921（图5.9），那么这两个四位数的和最大是______。
（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：
要使这两个四位数的和最大，必须使被减数尽量大。
故被减数为9999。
进而可求出减数为1078，两数和为9999＋1078=11077。
例3如图5.10的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，求使算式成立的汉字所表示的数字（数+学+喜）×爱=______。
（北京市第八届“迎春杯”小学数学邀请赛试题）
讲析：
可从个位上开始思考。
（学+学+学+学）的个位为2，则“学”只能是3或8。
当“学”=8时，“数”=2。
这时十位上的数相加之后，没有向百位上进一，从而使（“爱”＋“爱”）不可能个位上是9。
所以，“学’不等于8。
当“学”=3时，容易推出“数”=6，“爱”=4，“喜”=1。
所以，（数+学+喜）×爱=（6＋3＋1）×4=40。
例4如图5.11，竖式中四个□是被盖住的四个数字，这四个数字的和是多少？
（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）
讲析：
1992=2×2×2×3×83。
从分解质因数情况看，要把1992分成两个两位数之积，两个两位数只能是24和83，故这四个数字之和为2＋4+8＋3=17
例5在图5.12的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1。
那么这个算式的乘积是______。
（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：
可用字母来代替各数字（如图5.13）。
显然，F=K，E=O。
又，
只有27×4或17×6。
C≠3。
于是得B=3，C=7。
又因AB×D=10F，可推出A=5，D=2，从而容易求出算式的答案为53×72=3816
例6在图5.14的式子中，不同的汉字代表不同的数字，□代表一位自然数。
要使算式成立，“盼”字代表数字______。
（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）
讲析：
经观察发现，积是由相同的数字组成的9位数，则积中一定含有因数3和9。
而当□为3时，式中的积除以3所得的商，一定含有相同的数字。
这与题意矛盾。
所以□为9。
经检验，“盼”字代表“7”。
被乘数是86419753。
例7把图5.15中的算式补充完整。
（辽宁省首届小学数学竞赛试题）
讲析：
为方便起见，可将算式中各数分别用字母代替（如图5.16）。
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