小学奥数经典专题点拨 算式谜+速算公式.docx

1、小学奥数经典专题点拨 算式谜+速算公式速算公式【首同末合十的两位数相乘公式】若两个两位数的十位数字都是a，个位上的数分别为b和c，且b+c=10，则这样的两个数便是“首同末合十”的两个两位数，它们的积为（10a+b）（10a+c）=（10a）2+10ab+10ac+bc=102a2+10a（b+c）+bc=100a2+100a+bca（a+1）100+bc。根据这一公式，两个“首同末合十”的两位数相乘，可以先把首位数乘以比它大1的数的积的100倍，然后在所得的结果后面，添上两个末位数的积。例如，7278=（78）100+28=56164545=（45）100+55=2025首同末合十的计算公式

2、，也可以推广到两个三位数、两个四位数相乘的速算中去。例如256254可取a=25，b=6，c=4，再运用公式计算，得256254=25（25+1）100+64=2526100+24=65024又如，155155=（1516）100+55=24025【末同首合十的两位数相乘公式】若两个两位数十位上的数字分别是a和b，且a+b=10，个位上的数字都是c，则这样的两个数便是“末同首合十”的两个两位数，它们的积为（10a+c）（10b+c）=102ab+10ac+10bc+c2 100ab+10c（a+b）+c2 =100ab+100c+c2 =（ab+c）100+c2。根据这一公式，两个“末同首合十

3、”的两位数相乘，可以先把两个首位数字的乘积加上一个末位数，再乘100然后再在所得的结果后面，添上末位数自乘的积（末位数的平方）。例如，3474=（37+4）100+42=25100+16=2516【两个末位是1的两位数相乘公式】设两个末位都是1的两位数，十位上的数字分别是a和b，则它们的积是（10a+1）（10b+1）100ab+10a+10b+1210a10b+（a+b）10+1由这一公式可知，两个末位是1的两位数相乘，可以先把两个首位数值相乘，然后在所得的结果后面添上两个首位数的和（和满十时要进位）的10倍，最后在后面添上1。例如，5171=5070+（5+7）10+1=3500+1209

4、1=3621。这样的题目，口算的方法可以是：【两个首位是1的两位数相乘公式】设两个首位为1的两位数，个位上的数字分别是a和b，则它们的积是：（10+a）（10+b）100+10a+10b+ab=（10+a+b）10+ab。由这一公式可知，两个首位是1的两位数相乘，可以把一个数加上另一个数的末位数，所得的结果乘以10以后，再加上两个末位数的乘积。例如，1716=（17+6）10+76=230+42=272。【接近100的两个数相乘公式】接近100的两个数相乘，可以分三种情况来寻找它的速算方法。（1）两个超过100的数相乘。设两个超过100的数分别为a和b，它们与100的差分别为h和k，则a=10

5、0+h，b=100+k。它们的积是ab（100+h）（100+k）=（100+h）100+100k-hk=（100+h+k）100+hk=（a+k）100+hk。由这一公式可知，两个超过100的数相乘，可以先把一个数加上另一个数与100的差，然后将所得的结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（补充数）的乘积。例如，108112=（108+12）100+812=12000+96=12096。快速口算的思考方法可以是：又如，103102=（103+2）100+32=10500+6=10506快速口算的思考方法可以是（2）两个不足100的数相乘。设两个不足100的数一个为a=100-h，

6、另一个为b=100-k，则它们的积是a b=（100h）（100k）=（100-h）100-100k+hk=（100-h-k）100+hk=（a-k）100+hk。由这个公式可知，两个不足100的两位数相乘，可以先从一个因数中减去另一个因数与100的差，然后将所得结果乘以100以后，再加上两个因数分别与100的差（两个补充数）的乘积。例如，8997=（89-3）100+113=8600+33=8633快速口算的思考方法可以是又如，8988=（89-12）100+1112=7700+132=7832。快速口算的思考方法可以是（3）一个超过100，一个不足100的两个数相乘。设一个因数a比100大

7、h，即a=100+h；另一个因数b比100小k，即b=100-k，则它们的积是ab=（100+h）（100-k）=（100+h）100-100k+hk=（100+h-k）100+hk（a-k）100-hk。由这个公式可知，一个超过100、一个不足100的两个数相乘，可以先从大于100的因数中，减去另一个因数与100的差，然后将所得的结果乘上100以后，再减去两个因数分别与100之差（两个补充数）的乘积。例如，10497=（104-3）100-43=10100-12=10088快速口算思考方法可以是【平方差公式】两个数的和，乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差。平方差公式用字母表达就是：（a+

8、b）（a-b）=a2-b2运用平方差公式计算，可以使一些题目的计算变得比较简便、快速。例如362-262=（36+26）（36-26）=6210=620672-522=（67+52）（67-52）=11915=1190+595=1785872-762=（87+76）（87-76）=16311=1630+163=1793这个公式反过来，也可以运用于两数相乘的速算。但其前提是：两个因数必须能化成同样的两个数的和与差。例如1723=（20-3）（20+3）=（20+3）（20-3）=202-32=400-9=3919486=（90+4）（90-4）=902-42=8100-16=8084以上两例的特

9、点是：首位相差1，末位数字之和是10。这样两个数相乘，可用较大数的十位数值与它的个位数字的和，去乘以它们的差，然后运用平方差公式进行速算。【十位数相同的两位数相乘公式】十位数相同的两个两位数相乘，可先将一个乘数的个位数字加到另一个乘数上，再乘十位数值，然后加上两个个位数字的积。即（10a+b）（10a+c）=（10a+b+c）10a+bc例如，4346=（43+6）40+36=19788487=（84+7）80+47=7308【一因数两数字和是10，另一因数为11的倍数的两数乘法公式】一个因数的两个数字为a和b，且a+b=10，另一个因数为11的倍数，这样的两个两位数相乘，可先将前一个乘数的十

10、位数字加1，再与后一个乘数的十位数字相乘后乘以100，然后加上两个个位数之积。即（10a+b）（10c+c）=（a+1）c100+bc。例如，7344（7+1）4100+34=3212。【个位数相同的两位数相乘公式】个位数相同的两个两位数相乘，可先将两个十位数字相乘，再乘以100，再加上一个因数与另一个因数十位数值的和，然后乘以另一因数的个位数。即（10a+c）（10b+c）=100ab+（10a+c+10b）c。例如，4232=43100+（42+30）2=1344。【几十几与十几相乘公式】几十几与十几相乘，可将几十几的十位数值乘以十几的个位数数字，再加上几十几的10倍，然后加上两个个位数字

11、之积。即（10a+b）（10+c）=10ac+（10a+b）10+bc。例如，6517=607+650+57=1105。【末两位为25的三位数自乘公式】末两位为25的三位数自乘时，可以用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字的1000倍，然后加上625。即（100a+25）2=（10a+5）1000a+625。例如，7252=（70+5）7000+625=525625如果直接写答案，可以是7252=525 625 757 252又如，3252=105 625 353 252【末两位为75的三位数自乘公式】 末两位为75的三位数自乘时，可用首位数字的10倍与5的和，去乘以首位数字与1的和的积的

12、1000倍，再加上625。即（100a+75）2=（10a+5）（a+1）1000+625。例如，8752=（80+5）（8+1）1000+625=765625如果直接写答案，可以是8752=765 625859又如，3752=140 625354算式谜【添运算符号】例1 能不能在下式的每个方框中，分别填入“+”或“-”，使等式成立？123456789=10（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：在只有加减法运算的算式中，如果只改变“”、“-”符号，不会改变结果的奇偶性。而12+9=45，是奇数。所以无论在中，怎样填“”、“-”符号，都不能使结果为偶数。例2 在下列中分别填上适当的运算符号，

13、使等式成立。12345678=1990（1990年广州市小学数学邀请赛试题）讲析：首先凑足与1990接近的数。12345=2040，然后调整为：12345-67-8=1990。例3 在下面十八个数字之间适当的地方添上括号或运算符号，使等式成立（中南地区小学数学竞赛试题）讲析：可先凑足与1993接近的数。1122334455+66+7+7=1991。然后，用后面的二个8和二个9，凑成2，得1122+334+455+66+7+7-8-8+9+9=1993。【横式填数】例1 如果10+9-87+6-54=3，那么，“”中所表示的数是_。（上海市小学数学竞赛试题）讲析：等式左边能计算的，可先计算出来，

14、得556=3，=28。例2 在两个中分别填上两个不同的自然数，使等式成立。（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：时，等式都能成立。所以，A=1994；B=19931994=3974042。 （1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：A+B=3。例4 在下面的、和中分别填上不同的自然数，使等式成立。（1987年北大友好数学邀请赛试题）讲析：最大为： 所以，、和应填的数分别是2、3、9。例5 在下面的中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字（每个式子中的数字不能重复），使带分数算式：（第一届从小爱数学邀请赛试题）讲析：可从整数部分和小数部分分开考虑。要使减法式的值最大，

15、必须使被减数最大而减数最小，从而可得要使加法式的值最小，首先必须使每个加数中的整数部分尽可能小。从【数字谜】例1 图5.8的算式里，每个代表一个数字。问：这6个中的数字总和是多少？（全国第三届“华杯赛”初赛试题）讲析：任意两个数字之和最多为18，且最多只向前一位进一，所以百位上的两个数字和十位上的两个数字都是9，而个位上的两位数可能为：（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）之一种，故6个内的数字总和为9411=47。例2 已知两个四位数的差是8921（图5.9），那么这两个四位数的和最大是_。（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：要使这两个四位数的和最大，必须使被减数尽量大。

16、故被减数为9999。进而可求出减数为1078，两数和为99991078=11077。例3 如图5.10的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，求使算式成立的汉字所表示的数字（数+学+喜）爱=_。（北京市第八届“迎春杯”小学数学邀请赛试题）讲析：可从个位上开始思考。（学+学+学+学）的个位为2，则“学”只能是3或8。当“学”=8时，“数”=2。这时十位上的数相加之后，没有向百位上进一，从而使（“爱”“爱”）不可能个位上是9。所以，“学不等于8。当“学”=3时，容易推出“数”=6，“爱”=4，“喜”=1。所以，（数+学+喜）爱=（631）4=40。例4 如图5.11，竖式中四

17、个是被盖住的四个数字，这四个数字的和是多少？（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：1992=222383。从分解质因数情况看，要把1992分成两个两位数之积，两个两位数只能是24和83，故这四个数字之和为24+83=17例5 在图5.12的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1。那么这个算式的乘积是_。（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：可用字母来代替各数字（如图5.13）。显然，F=K，E=O。又，只有274或176。C3。于是得B=3，C=7。又因ABD=10F，可推出A=5，D=2，从而容易求出算式的答案为5372=3816例6 在图5.14的式子中，不同的汉字代表不同的数字，代表一位自然数。要使算式成立，“盼”字代表数字_。（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）讲析：经观察发现，积是由相同的数字组成的9位数，则积中一定含有因数3和9。而当为3时，式中的积除以3所得的商，一定含有相同的数字。这与题意矛盾。所以为9。经检验，“盼”字代表“7”。被乘数是 86419753。例7 把图5.15中的算式补充完整。（辽宁省首届小学数学竞赛试题）讲析：为方便起见，可将算式中各数分别用字母代替（如图5.16）。