同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案可编辑.docx
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同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案可编辑
同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案
习题1?
11.设A?
∞,?
5∪5,+∞,B[?
10,3,写出A∪B,A∩B,A\B及A\A\B的表达式解A∪B?
∞,3∪5,+∞,A∩B[?
10,?
5,A\B?
∞,?
10∪5,+∞,A\A\B[?
10,?
5
CCC2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:
A∩BA∪B证明因为
CCCCCx∈A∩B?
x?
A∩B?
x?
A或x?
B?
x∈A或x∈Bx∈A∪B,CCC
所以A∩BA∪B3.设映射f:
X→Y,A?
X,B?
X证明1fA∪BfA∪fB;2fA∩B?
fA∩fB证明因为y∈fA∪B?
?
x∈A∪B,使fxy?
因为x∈A或x∈By∈fA或y∈fB?
y∈fA∪fB,所以fA∪BfA∪fB2因为y∈fA∩Bx∈A∩B,使fxy?
因为x∈A且x∈By∈fA且y∈fB?
y∈fA∩fB,
所以fA∩B?
fA∩fB4.设映射f:
X→Y,若存在一个映射g:
Y→X,使gfI,fgI,其中I、I分别是X、
XY
XY
Y上的恒等映射,即对于每一个x∈X,有Ixx;对于每一个y∈Y,有Iyy.证明:
f是双射,且g
XY?
1
是f的逆映射:
gf证明因为对于任意的y∈Y,有xgy∈X,且fxf[gy]Iyy,即Y中任意元素都是X中某
y
元素的像,所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x≠x,必有fx≠fx,否则若fxfx?
g[fx]g[fx]xx
1212121212因此f既是单射,又是满射,即f是双射对于映射g:
Y→X,因为对每个y∈Y,有gyx∈X,且满足fxf[gy]Iyy,按逆映射的
y
定义,g是f的逆映射5.设映射f:
X→Y,A?
X证明:
?
11ffA?
A;?
12当f是单射时,有ffAA?
1?
1证明1因为x∈Afxy∈fAfyx∈ffA,?
1
所以ffA?
A12由1知ffA?
A1?
1另一方面,对于任意的x∈ffA?
存在y∈fA,使fyx?
fxy因为y∈fA且f是单1?
1
射,所以x∈A.这就证明了ffA?
A.因此ffAA6.求下列函数的自然定义域:
1y3x+2;
22解由3x+2≥0得x函数的定义域为[?
+∞
33
12y;
2
1?
x
2解由1?
x≠0得x≠±1函数的定义域为?
∞,?
1∪?
1,1∪1,+∞1
23y1?
x;
x
2解由x≠0且1?
x≥0得函数的定义域D[?
1,0∪0,1]14y;
2
4?
x
2解由4?
x0得|x|2函数的定义域为?
2,25ysinx;解由x≥0得函数的定义D[0,+∞6ytanx+1;
ππ
x≠kπ+?
1解由x+1≠k0,±1,±2,得函数的定义域为k0,±1,±2,
227yarcsinx?
3;解由|x?
3|≤1得函数的定义域D[2,4]
18y3?
x+arctan;x解由3?
x≥0且x≠0得函数的定义域D?
∞,0∪0,39ylnx+1;解由x+10得函数的定义域D?
1,+∞
1
x10ye解由x≠0得函数的定义域D?
∞,0∪0,+∞7.下列各题中,函数fx和gx是否相同?
为什么?
21fxlgx,gx2lgx;
22fxx,gxx;
33
433fxxx,gxxx?
1
224fx1,gxsecx?
tanx解1不同因为定义域不同2不同因为对应法则不同,x0时,gx?
x3相同因为定义域、对应法则均相相同4不同因为定义域不同
π|sinx||x|πππ
38.设?
x,求?
?
?
?
?
?
2,并作出函数y?
x的图形π644
?
0|x|≥3
ππ1ππ2ππ2解?
|sin|,?
|sin|,?
?
|sin?
|,?
?
20
6624424429.试证下列函数在指定区间内的单调性:
x1y,?
∞,1;1?
x2yx+lnx,0,+∞证明1对于任意的x,x∈?
∞,1,有1?
x0,1?
x0.因为当xx时,
121212
xxxx
1212yy0,12
1?
x1?
x1?
x1?
x
1212
x
所以函数y在区间?
∞,1内是单调增加的
1?
x2对于任意的x,x∈0,+∞,当xx时,有
1212
x
1yyx+lnx?
x+lnxxx+ln0,12112212
x
2
所以函数yx+lnx在区间0,+∞内是单调增加的10.设fx为定义在?
l,l内的奇函数,若fx在0,l内单调增加,证明fx在?
l,0内也单
调增加证明对于?
x,x∈?
l,0且xx,有?
x,?
x∈0,l且?
x?
x
12121212因为fx在0,l内单调增加且为奇函数,所以
f?
xf?
x,fx?
fx,fxfx,212121
这就证明了对于?
x,x∈?
l,0,有fxfx,所以fx在?
l,0内也单调增加121211.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间?
l,l上的,证明:
1两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;2两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是
奇函数证明1设Fxfx+gx.如果fx和gx都是偶函数,则F?
xf?
x+g?
xfx+gxFx,所以Fx为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数如果fx和gx都是奇函数,则F?
xf?
x+g?
x?
fx?
gx?
Fx,所以Fx为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数2设Fxfx?
gx.如果fx和gx都是偶函数,则F?
xf?
x?
g?
xfx?
gxFx,所以Fx为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数如果fx和gx都是奇函数,则F?
xf?
x?
g?
x[?
fx][?
gx]fx?
gxFx,所以Fx为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数如果fx是偶函数,而gx是奇函数,则F?
xf?
x?
g?
xfx[?
gx]?
fx?
gx?
Fx,所以Fx为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数?
221yx1?
x;232y3x?
x;
2
1?
x3y;2
1+x4yxx?
1x+1;5ysinx?
cosx+1;
x?
x
a+a6y
2
2222解1因为f?
x?
x[1?
?
x]x1?
xfx,所以fx是偶函数
23232由f?
x3?
x?
?
x3x+x可见fx既非奇函数又非偶函数
2
2
1?
?
x
1?
x3因为f?
xfx,所以fx是偶函数
2
2
1+x
1+x4因为f?
x?
x?
x?
1?
x+1?
xx+1x?
1?
fx,所以fx是奇函数5由f?
xsin?
x?
cos?
x+1?
sinx?
cosx+1可见fx既非奇函数又非偶函数
?
x?
?
x?
xx
a+aa+a6因为f?
xfx,所以fx是偶函数
2213.下列各函数中哪些是周期函数?
对于周期函数,指出其周期:
1ycosx?
2;2ycos4x;3y1+sinπx;4yxcosx;
25ysinx解1是周期函数,周期为l2π
π2是周期函数,周期为l
23是周期函数,周期为l24不是周期函数5是周期函数,周期为lπ14.求下列函数的反函数:
31yx+1;1?
x2y;
1+x
ax+b3yad?
bc≠0;cx+d4y2sin3x;5y1+lnx+2;x
26
y
x
2+1
33
33解1由yx+1得xy?
1,所以yx+1的反函数为yx?
1
1?
y
1?
x1?
x1?
x2由y得x,所以y的反函数为y
1+x1+y1+x1+x
?
dy+b
ax+bax+b?
dx+b3由y得x,所以y的反函数为y
cy?
a
cx+dcx+dcx?
a
y
11x4由y2sin3x得xarcsin,所以y2sin3x的反函数为yarcsin
3232
y?
1x?
15由y1+lnx+2得xe?
2,所以y1+lnx+2的反函数为ye?
2xx
y
22x6由y得xlog,所以y的反函数为ylog
22
xx
2+11?
y2+11?
x15.设函数fx在数集X上有定义,试证:
函数fx在X上有界的充分必要条件是它在X
上既有上界又有下界证明先证必要性.设函数fx在X上有界,则存在正数M,使|fx|≤M,即?
M≤fx≤M.这
这就证明了fx在X上有下界?
M和上界M再证充分性.设函数fx在X上有下界K和上界K,即K≤fx≤K取M|K|,|K|,
121212
则M≤K≤fx≤K≤M,12
即|fx|≤M
这就证明了fx在X上有界16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值
x和x的函数值:
12
2ππ1yu,usinx,x,x;12
63
ππ2ysinu,u2x,x,x;
12
8,4
23yu,u1+x,x1,x2;
12
u24ye,ux,x0,x1;
12
2x5yu,ue,x1,x?
112
2π11π33
2222解1ysinx,ysin,ysin
12
624324
ππ2ππ2ysin2x,ysin2?
sin,ysin2?
sin1
12
84242
2223y,1+xy1+12,y1+25
12
222
x014ye,ye1,yee
12
2x2?
122?
?
1?
25ye,yee,yee
1217.设fx的定义域D[0,1],求下列各函数的定义域:
21fx;2fsinx;3fx+aa0;4fx+a+fx?
aa0
22解1由0≤x≤1得|x|≤1,所以函数fx的定义域为[?
1,1]2由0≤sinx≤1得2nπ≤x≤2n+1πn0,±1,±2?
所以函数fsinx的定义域为
[2nπ,2n+1π]n0,±1,±2?
3由0
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