直线的一般式方程附答案.docx
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直线的一般式方程附答案
直线的一般式方程
[学习目标]1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)都表示直线,且直线方程都可以化为Ax+By+C=0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.
知识点直线的一般式方程
1.在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y的二元一
次方程;任何关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.
AC
2.对于直线Ax+By+C=0,当B≠0时,其斜率为-,在y轴上的截距为-;当B=BB
CCC
0时,在x轴上的截距为-;当AB≠0时,在两轴上的截距分别为-,-.
AAB
3.直线一般式方程的结构特征
(1)方程是关于x,y的二元一次方程.
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.
(3)x的系数一般不为分数和负数.
(4)虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
思考
(1)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0表示什么?
(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗?
答
(1)当C=0时,方程对任意的x,y都成立,故方程表示整个坐标平面;
当C≠0时,方程无解,方程不表示任何图象.
故方程Ax+By+C=0,不一定代表直线,只有当A,B不同时为零时,即A+B2≠0时才代表直线.
C=0时,
1,求此直
(2)不是.当一般式方程中的B=0时,直线的斜率不存在,不能化成其他形式;当直线过原点,不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.
xy
解设所求直线方程为+=1,
ab
22
∵点A(-2,2)在直线上,∴-+=1.①
ab
又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1,
1
∴2|a|·|b|=1.②
a-b=1,
a-b=-1,
由①②可得或
ab=2,
ab=-2.
a=2,a=-1,
解得或
第二个方程组无解
b=1,b=-2.
xy
xy
故所求直线方程为+=1或
+=1,
21
-1-2
即x+2y-2=0或2x+y+2
=0.
l′的方程:
题型二直线方程的应用
例2已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
3
解方法一l的方程可化为y=-x+3,
4
3∴l的斜率为-.
4
3
(1)∵l′与l平行,∴l′的斜率为-.
4
又∵l′过点(-1,3),
3由点斜式知方程为y-3=-(x+1),
4
即3x+4y-9=0.
4
(2)∵l′与l垂直,∴l′的斜率为3,又l′过点(-1,3),
3
4由点斜式可得方程为y-3=3(x+1),
m=
即4x-3y+13=0.
方法二
(1)由l′与l平行,可设l′的方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得
-9.
∴所求直线的方程为3x+4y-9=0.
(2)由l′与l垂直,可设l′的方程为4x-3y+n=0.
将(-1,3)代入上式得n=13.
∴所求直线的方程为4x-3y+13=0.
跟踪训练2a为何值时,直线(a-1)x-2y+4=0与x-ay-1=0.
(1)平行;
(2)垂直.
解当a=0或1时,两直线既不平行,也不垂直;
-1+a当a≠0且a≠1时,直线(a-1)x-2y+4=0的斜率为k1=2,b1=2;
11直线x-ay-1=0的斜率为k2=,b2=-.
aa
(1)当两直线平行时,由k1=k2,b1≠b2,
1-1+a1
得a=2,a≠-2,解得a=-1或a=2.
所以当a=-1或2时,两直线平行.
(2)当两直线垂直时,由k1·k2=-1,
例3
(1)若方程(m2+5m+6)x+(m2+3m)y+1=0表示一条直线,则实数m满足
(2)当实数m为何值时,直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1.
①倾斜角为45°;②在x轴上的截距为1.
(1)答案m≠-3解析若方程不能表示直线,则m2+5m+6=0且m2+3m=0.
2
m2+5m+6=0,解方程组2得m=-3,
m2+3m=0,
所以m≠-3时,方程表示一条直线.
(2)解①因为已知直线的倾斜角为45
所以此直线的斜率是1,
2
2m2+m-3所以-2=1,
m-m
m-m≠0,所以22
2m2+m-3=-m2-m
m≠0且m≠1,
解得所以m=-1.m=-1或m=1.
②因为已知直线在x轴上的截距为1,
令y=0得x=
4m-1
2
2m2+m-3
2
2m2+m-3≠0,所以2
4m-1=2m2+m-3,
3
m≠1且m≠-,
2解得
1m=-或m=2.
2
1
所以m=-2或m=2.
跟踪训练3已知直线l:
5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:
不论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值围.
31
(1)证明直线方程变形为y-=ax-5,
55
13
它表示经过点A,,斜率为a的直线.
55
13
∵点A,在第一象限,55
∴直线l必过第一象限.
∵直线不过第二象限,
∴直线的斜率a≥3.
∴a的取值围为[3,+∞).
例4设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-(2m-6)=0,若此直线的斜率为1,试确定实数m的值.
分析由直线方程的一般式,可转化为斜截式,利用斜率为1,建立方程求解,但要注意分
母不为0.
2
=1,①
m2-2m-3
2
解由题意,得
2m2+m-1
2m2+m-1≠0.②
4
由①,得m=-1或m=3.
3
当m=-1时,②式不成立,不符合题意,故应舍去;当m=3时,②式成立,符合题意
3
4
故m=3.
3
1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A、B应满足的条件为()
A.A≠0B.B≠0
C.A·B≠0D.A2+B2≠0
2.已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c通过()
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限
3.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
4.若直线x-2y+5=0与直线
2x+my-6=0互相垂直,则实数m等于()
1
A.-1B.1C.
2
1D.-
2
5.已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,则a=
一、选择题
1.直线x+y-3=0的倾斜角的大小是()
A.45°B.135°C.1D.-1
2.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角为45°,则m的值为()A.-2B.2C.-3D.3
3.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二、四象限,则()A.C=0,B>0B.A>0,B>0,C=0
C.AB<0,C=0D.AB>0,C=0
4.直线ax+3my+2a=0(m≠0)过点(1,-1),则直线的斜率k等于()
11
A.-3B.3C.D.-
33
5.直线y=mx-3m+2(m∈R)必过定点()
A.(3,2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(3,-2)
6.若三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3构成三角形,则a的取值围是()
A.a≠±1B.a≠1,a≠2
C.a≠-1D.a≠±1,a≠2
7.直线l1:
ax-y+b=0,l2:
bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()
二、填空题
8.已知直线l1:
ax+3y-1=0与直线l2:
2x+(a-1)y+1=0垂直,则实数a=.
9.若直线mx+3y-5=0经过连接点A(-1,-2),B(3,4)的线段的中点,则m=.
10.直线l:
ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45°,则a的取值围是.
11.已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),则过两点P1(a1,b1),
P2(a2,b2)的直线方程为.
三、解答题
12.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,数a的取值围.
13.
(1)已知直线l1:
2x+(m+1)y+4=0与直线l2:
mx+3y-2=0平行,求m的值.
(2)当a为何值时,直线l1:
(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:
(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?
当堂检测答案
1.答案D
解析方程Ax+By+C=0表示直线的条件为A、B不能同时为0,即A2+B2≠0.
2.答案C
ac
解析由ax+by=c,得y=-bx+b,
a
∵ab<0,∴直线的斜率k=->0,
c
直线在y轴上的截距<0.
b
由此可知直线通过第一、三、四象限
3.答案A
11
解析由题意,得所求直线斜率为2,且过点(1,0).故所求直线方程为y=2(x-1),即x-
2y-1=0.
4.答案B
12
解析由两直线垂直,得2×-m=-1,解得m=1.
5.答案-3或1
a1-2解析两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,所以=≠,解得a
3a+21
=-3或a=1.
课时精练答案
、选择题
1.答案B
解析直线x+y-3=0,即y=-x+3,它的斜率等于-1,故它的倾斜角为135°,故选B.
2.答案D
2
2m2-5m+2
解析由已知得m2-4≠0,且2=1,
m-4
解得:
m=3.
3.答案D
解析通过直线的斜率和截距进行判断.
4.答案D
解析由点(1,-1)在直线上可得a-3m+2a=0(m≠0),解得m=a,故直线方程为ax
1+3ay+2a=0(a≠0),即x+3y+2=0,其斜率k=-3.
3
5.答案A
解析由y=mx-3m+2,得y-2=m(x-3).所以直线必过点(3,2).
6.答案A
解析因为直线x+ay=3恒过点(3,0),所以此直线只需不和x+y=0,x-y=0两直线平行就能构成三角形.所以a≠±1.
7.答案C
解析将l1与l2的方程化为斜截式得:
y=ax+b,y=bx+a,根据斜率和截距的符号可得选C.
二、填空题
3
8.答案
5
3解析由两直线垂直的条件,得2a+3(a-1)=0,解得a=5.
9.答案2
解析线段AB的中点为(1,1),则m+3-5=0,即m=2.
1
10.答案(-∞,-2)∪(0,+∞)
解析当a=-1时,直线l的倾斜角为90°,符合要求;
aa
只要-a+1>1或者-a+1<0即可,
1
解得-10.
综上可知,实数a的取值围是
11.答案2x+3y+4=0
2x+3y
2a1+3b1+4=0,
解析由条件知易知两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)都在直线
2a2+3b2+4=0,
+4=0上,即2x+3y+4=0为所求.
三、解答题
12.
a=2,
解
(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距都为0,当然相等,所以方程即为3x+y=0.
当a≠2时,截距存在且均不为0,
a-2
所以=a-2,即a+1=1.
a+1
所以a=0,方程即为x+y+2=0.
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
-a+1>0,-a+1=0,
所以或
a-2≤0a-2≤0,
所以a≤-1.
综上,a的取值围是a≤-1.
13.解方法一
(1)由l1:
2x+(m+1)y+4=0,
l2:
mx+3y-2=0知:
1当m=0时,显然l1与l2不平行.
2m+14
2当m≠0时,l1∥l2,需=≠.m3-2
解得m=2或m=-3,∴m的值为2或-3.
(2)由题意知,直线l1⊥l2.
①若1-a=0,即a=1时,直线l1:
3x-1=0与直线l2:
5y+2=0显然垂直.
3
②若2a+3=0,即a=-2时,直线l1:
x+5y-2=0与直线l2:
5x-4=0不垂直
a-1
2a+3
a+2
3若1-a≠0,且2a+3≠0,则直线l1,l2的斜率k1,k2都存在,k1=-,k2
1-a
当l1⊥l2时,k1·k2=-1,
a+2a-1
即(-)·(-)=-1,
1-a2a+3
∴a=-1.
综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
方法二
(1)令2×3=m(m+1),
解得m=-3或m=2.
当m=-3时,l1:
x-y+2=0,l2:
3x-3y+2=0,
显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.
同理当m=2时,l1:
2x+3y+4=0,l2:
2x+3y-2=0,
显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.
∴m的值为2或-3.
(2)由题意知直线l1⊥l2,
∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,
解得a=±1,
将a=±1代入方程,均满足题意.
故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.