直线的一般式方程附答案.docx

1、直线的一般式方程附答案直线的一般式方程学习目标 1.掌握直线的一般式方程 .2. 了解关于 x、y 的二元一次方程 AxByC0(A、 B 不同时为 0)都表示直线， 且直线方程都可以化为 AxByC0 的形式 .3. 会进行直线方 程不同形式的转化 .知识点 直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于 x， y 的二元一次方程；任何关于 x，y 的二元一次方程都表示一条直线 .方程 AxBy C0(其中 A、B 不同时为 0) 叫做直线方程的一般式 .AC2.对于直线 AxByC0 ，当 B 0时，其斜率为 ，在 y 轴上的截距为 ；当 B BBC

2、C C0 时，在 x 轴上的截距为 ；当 AB 0时，在两轴上的截距分别为 ， .A A B3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于 x，y 的二元一次方程 .(2)方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y，常数的先后顺序排列 .(3)x 的系数一般不为分数和负数 .(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程 .思考 (1)当 A，B 同时为零时，方程 Ax ByC0 表示什么？(2) 任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答 (1)当 C0 时，方程对任意的 x， y 都成立，故方程表示整个坐标平面；当 C 0时，方程无解，方程不表示任何图象

3、.故方程 Ax ByC0，不一定代表直线，只有当 A，B 不同时为零时，即 A B20 时 才代表直线 .C 0 时，1，求此直(2)不是.当一般式方程中的 B0 时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当 直线过原点，不能化为截距式 . 但其他四种形式都可以化为一般式 .xy解 设所求直线方程为 1，ab22点 A( 2,2) 在直线上， 1. ab又直线与坐标轴围成的三角形面积为 1 ，12| a|b|1. ab1，ab 1 ，由可得 或ab2，ab 2.a2 ， a 1，解得 或第二个方程组无解b1， b 2.xyxy故所求直线方程为 1 或 1，21 1 2即 x 2y20 或 2xy

4、20.l的方程：题型二 直线方程的应用例 2 已知直线 l 的方程为 3x4y12 0 ，求满足下列条件的直线(1) 过点 (1,3) ，且与 l 平行；(2) 过点 (1,3) ，且与 l 垂直 .3解 方法一 l 的方程可化为 y x3，43 l 的斜率为 .43(1) l与 l 平行， l的斜率为 .4又 l过点 （ 1,3） ，3 由点斜式知方程为 y 3 （x1），4即 3x4y9 0.4（2） l与 l垂直， l的斜率为 3，又 l过点（ 1,3） ，34 由点斜式可得方程为 y3 3（x1） ，m即 4x3y13 0.方法二 （1）由 l与 l平行，可设 l的方程为 3x4ym0

5、.将点（1,3） 代入上式得9.所求直线的方程为 3x4y90.（2） 由 l与 l 垂直，可设 l的方程为 4x 3yn0.将（ 1,3） 代入上式得 n13.所求直线的方程为 4x3y13 0.跟踪训练 2 a 为何值时，直线 （a1）x2y40 与 x ay10.（1）平行； （2）垂直.解 当 a 0 或 1 时，两直线既不平行，也不垂直； 1 a 当 a0且 a1时，直线 （a 1）x2y40 的斜率为 k1 2 ，b12；11 直线 xay10 的斜率为 k 2 ，b2 .aa（1） 当两直线平行时，由 k 1 k2，b1b2，1 1 a 1得a 2 ，a 2， 解得 a 1 或

6、a 2.所以当 a1 或 2 时，两直线平行 . (2)当两直线垂直时，由 k1k2 1，例 3 (1)若方程 (m 25m6)x(m23m)y10 表示一条直线， 则实数 m 满足 (2)当实数 m 为何值时，直线 (2m2 m3)x(m2 m)y4m1.倾斜角为 45 ；在 x 轴上的截距为 1.(1) 答案 m 3 解析 若方程不能表示直线，则 m 25m 6 0 且 m 23m 0.2m25m60， 解方程组 2 得 m 3，m23m0，所以 m 3 时，方程表示一条直线 .(2) 解 因为已知直线的倾斜角为 45所以此直线的斜率是 1 ，22m 2m3 所以 2 1 ，m mm m

7、0， 所以 2 22m 2 m 3 m 2 mm 0 且m 1 ，解得 所以 m 1. m 1或m 1.因为已知直线在 x 轴上的截距为 1 ，令 y0 得 x 4m122m 2m 322m 2m 3 0， 所以 24m12m2m3，3m 1 且m ，2 解得1 m 或 m 2.21所以 m2或 m 2.跟踪训练 3 已知直线 l：5ax 5ya30.(1) 求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限；(2)为使直线 l不经过第二象限，求 a 的取值围 .31(1) 证明 直线方程变形为 y a x5 ，5513它表示经过点 A ， ，斜率为 a 的直线 .5513点 A ， 在第一象限

8、， 55直线 l 必过第一象限 .直线不过第二象限，直线的斜率 a 3.a 的取值围为 3 ， ）.例 4 设直线 l 的方程为 （m22m3）x （2m 2 m 1） y （2 m 6） 0 ，若此直线的斜率 为 1，试确定实数 m 的值 .分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为 1 ，建立方程求解，但要注意分母不为 0.21，m 22m32解 由题意，得2m2m12m2m 1 0. 4由，得 m1 或m3.3当 m1 时，式不成立，不符合题意，故应舍去； 当 m 3 时，式成立，符合题意34故 m 3.31.若方程 AxBy C0 表示直线，则 A、B 应满足的条件为 ( )

9、A.A 0 B.B0C.AB 0 D. A2B202.已知 ab 0 ， bc 0 B.A0，B0 ，C0C.AB0 ，C 04.直线 ax3my2a0(m0) 过点(1 ， 1) ，则直线的斜率 k 等于( )11A.3 B.3 C. D.335.直线 y mx 3 m 2( m R)必过定点 ( )A.(3,2) B.( 3,2) C.( 3 ， 2) D.(3 ，2)6.若三条直线 xy0，xy0，xay3 构成三角形，则 a 的取值围是 ( )A.a 1 B.a 1，a2C.a1 D.a 1，a27.直线 l1：axyb0，l2：bxya0(a 0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大

10、致是( )二、填空题8.已知直线 l1：ax 3y10 与直线 l2： 2x（a1）y10 垂直，则实数 a .9.若直线 mx3y50 经过连接点 A（ 1， 2） ，B（3,4） 的线段的中点，则 m .10.直线 l：ax（a1）y20 的倾斜角大于 45，则 a 的取值围是 .11.已知两条直线 a1xb1y4 0 和 a2xb2y4 0 都过点 A（2,3） ，则过两点 P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线方程为 .三、解答题12.设直线 l 的方程为 （a1）xy2a0（aR）.（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若l不经过第二象限，数 a的取值围 .

11、13.（1） 已知直线 l1：2x（m1）y40 与直线 l2：mx 3y20 平行，求 m 的值.（2）当 a 为何值时， 直线 l1：（a2）x（1a）y10 与直线 l2：（a1）x（2a3）y20 互相垂直？当堂检测答案1.答案 D解析 方程 AxByC0 表示直线的条件为 A、B 不能同时为 0，即 A2B2 0.2.答案 Cac解析 由 axby c，得 ybxb，aab0 ，c直线在 y 轴上的截距 1 或者 a10 即可，1解得 1a 2或者 a0.综上可知，实数 a 的取值围是11.答案 2x3y 402x3y2a13b14 0，解析 由条件知 易知两点 P1（a1，b1），

12、P2（a2， b2）都在直线2a23b24 0，4 0 上，即 2x 3y40 为所求 .三、解答题12.a2，解 (1) 当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距都为 0，当然相等，所以 方程即为 3xy0.当 a2时，截距存在且均不为 0 ，a 2所以 a2 ，即 a1 1.a1所以 a0，方程即为 xy2 0.(2)将 l 的方程化为 y (a1)xa2， a1 0， a 1 0，所以 或a 2 0 a 2 0 ，所以 a 1.综上， a 的取值围是 a 1.13.解 方法一 (1)由 l1：2x(m1)y 40，l2：mx 3y20 知：1当 m0 时，显然 l1 与 l2不

13、平行 .2 m 1 42当 m0时， l1l2，需 . m 3 2解得 m2或 m3，m的值为 2 或3.(2) 由题意知，直线 l1l2.若 1 a0，即 a1 时，直线 l1：3x1 0 与直线 l2：5y2 0 显然垂直 .3若 2a30 ，即 a 2时，直线 l1：x5y2 0 与直线 l2：5x4 0 不垂直a12a3a23若 1a 0，且 2a 3 0，则直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 都存在，k 1 ，k21a当 l1l2 时，k1k2 1，a2 a 1即（ ） （ ） 1 ，1a 2a3 a 1.综上可知，当 a1 或 a 1 时，直线 l1l2.方法二 （1）令 2 3m（m1），解得 m 3 或 m2.当 m 3 时， l1：xy20，l2： 3x3y20，显然 l1 与 l2 不重合， l1l2.同理当 m2 时， l1：2x3y40，l2：2x3y20，显然 l1 与 l2 不重合， l1l2.m 的值为 2 或 3.（2） 由题意知直线 l1l2，（a 2）（ a 1） （1 a ）（2 a 3） 0 ，解得 a 1 ，将 a1 代入方程，均满足题意 .故当 a 1 或 a 1 时，直线 l1 l2.