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反比例函数常见几何模型

反比例函数常见模型

一、知识点回顾

1。

反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=(k≠0)。

其解析式有三种表示方法:

① ();②();③

  2、反比例函数y=(k≠0)的性质

 

(1)当k>0时函数图像的两个分支分别在第一,三象限内在每一象限内,y随x的增大而减小、

 

(2)当k<0时函数图像的两个分支分别在第二,四象限内在每一象限内,y随x的增大而增大、

(3)在反比例函数y=中,其解析式变形为xy=k,故要求k的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积)、

(4)若双曲线y=图像上一点(a,b)满足a,b是方程Z2-4Z-2=0的两根,求双曲线的解析式、由根与系数关系得ab=-2,又ab=k,∴k=-2,故双曲线的解析式是y=、

(5)由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零,因此图像和x轴,y轴都没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势、

二、新知讲解与例题训练

模型一:

如图,点A为反比例函数图象上的任意一点,且AB垂直于轴,则有

 

例1:

如图的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线y=在第一象限的交点,且,

(1)求m的值

(2)求的面积

 

变式题

1、如图所示,点,,在x轴上,且O==,分别过,,作y轴平行线,与反比例函数y=(x>0)的图像交于点,,,分别过点,,作x轴的平行线,分别与y轴交于点,,,连结,那么图中阴影部分的面积之和为__________

 

2、如图,点A在双曲线上,点B在双曲线上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为    。

 

 

模型二:

A

B

D

F

M

N

x

y

O

如图:

点A、B是双曲线任意不重合的两点,直线AB交轴于M点,交轴于N点,再过A、B两点分别作轴于D点,轴于F点,再连结DF两点,则有:

且BM=AN

D

F

 

y

x

D

C

A

B

O

F

E

例2:

如图,一次函数

的图象与

轴,

轴交于A,B两点,与反比例函数

的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作

轴,

轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE、有下列四个结论:

①;②相似于;③△DCE≌△CDF;④

其中正确的结论是     、(把您认为正确结论的序号都填上)

 

例3:

一次函数的图象分别与轴、轴交于点,与反比例函数的图象相交于点、过点分别作轴,轴,垂足分别为;过点分别作轴,轴,垂足分别为与交于点,连接。

(1)若点在反比例函数的图象的同一分支上,如图1,试证明:

①;②、

(2)若点分别在反比例函数的图象的不同分支上,如图2,则与还相等不?

试证明您的结论、

 

图1

图2

图1

 

模型三:

如图,已知反比例函数(k≠0,x>0)上任意两点P、C,过P做PA⊥x轴,交x轴于点A,过C做CD⊥x轴,交x轴于点D,则、

 

 

 

例4:

如图,在直角坐标系中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A(1,4)、B(4,1)两点,则△AOB的面积是______。

 

例5:

如图,在直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于A(1,4)、B(3,m)两点,则△AOB的面积是______。

 

 

例6:

如图1,已知直线与双曲线交于A、B两点,且点A的横坐标为4、ﻫ

(1)求k的值;

(2)如图2,过原点O的另一条直线l交双曲线于C、D两点(点C在第一象限且在点A的左边),当四边形ACBD的面积为24时,求点C的坐标、

 

模型四:

在矩形AOBC中,OB=a,OA=b,分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系、F是BC上的一个动点(不与B、C重合),过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E,则。

 

例7:

两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示,点P在的图象上,PC⊥x轴于点C,交的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交的图象于点B,当点P在的图象上运动时,以下结论:

①△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积可不能发生变化;③PA与PB始终相等;④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点。

其中一定正确的是    _________(把您认为正确结论的序号都填上)、

 

课堂练习:

一、选择题

1、已知m<0,则函数与的图像如图,大致是( )

 

A。

    B、   C、      D

2、如图,点A在双曲线上,且OA=4,过点

A作ACx轴,垂足为c,OA的垂直平分线交OC

于B,则的周长为()

A.  B。

5     

C、   D、

3、如图,双曲线(k〉0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D,若梯形ODBC的面积为3,则双曲线的解析式为()

A、 B。

 C、  D、

 

  题3    题4        题5

4、如图,A,B是函数的图像上关于原点对称的任意两点,BC//x轴,AC//y轴,的面积记为S,则S()

A、S=2    B、S=4 C、24

5、如图所示,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB,AC分别平行于x轴,y轴,若双曲线y=(k≠0)与△ABC有交点,则k的取值范围是( )

A、1〈k<2  B、1≤k≤3    C、1≤k≤4 D、1≤k<4

二、填空题

1、如图,点A在双曲线上,点B在双曲线上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为  。

     

 

2、如图,双曲线经过四边形OABC的顶点A、C,∠ABC=90°,OC平分OA与轴正半轴的夹角,AB∥轴,将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C,B’点落在OA上,则四边形OABC的面积是     。

3、如图,将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中,B(2,0),∠AOB=60°,点A在第一象限,过点A的双曲线为y=

在x轴上取一点P,过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,线段OB经轴对称变换后的像是O′B′、

(1)当点O′与点A重合时,点P的坐标是  、

(2)设P(t,0),当O′B′与双曲线有交点时,t的取值范围是   。

  

4、如图,已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C、若点A的坐标为(,4),则△AOC的面积为 、

 

5、双曲线、在第一象限的图像如图,,

过上的任意一点,作轴的平行线交于,

交轴于,若,则的解析式是    、

课后习练

一、填空题

1、如图,直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则2x1y2-7x2y1的值等于_______、

2、反比例函数y=的图像上有一点P(a,b),且a,b是方程t2—4t-2=0的两个根,则k=_______;点P到原点的距离OP=_______、

3、已知双曲线xy=1与直线y=-x+无交点,则b的取值范围是______、

4、反比例函数y=的图像经过点P(a,b),其中a,b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根,那么点P的坐标是_______、

5、如图,已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OB的中点D,与直角边AB相交于点C、若△OBC的面积为3,则k=___、

A

B

C

D

E

y

x

O

 

 

   第5题图      第6题图

6、如图,已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点,点B在x轴的负半轴上,且OA=OB,那么△AOB的面积为( )

A、2 B。

 C、   D、2

7、已知P为函数y=的图像上一点,且P到原点的距离为,则符合条件的P点数为()

 A、0个B、2个  C。

4个 D、无数个

 

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