全国I卷届高三五省优创名校联考数学理精校 Word版含答案.docx
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全国I卷届高三五省优创名校联考数学理精校Word版含答案
2018~2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考
数学(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U=R,集合M={x|3x2-13x-10<0}和N={x|x=2k,k∈Z}的关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
A.1个
B.2个
C.3个
D.无穷个
2.
A.-4
B.4
C.-4i
D.4i
3.如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图,图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图,下列对统计图理解错误的是
A.2018年1~4月的业务量,3月最高,2月最低,差值接近2000万件
B.2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%,在3月最高
C.从两图来看,2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D.从1~4月来看,该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
4.设x,y满足约束条件
,则
的取值范围是
A.(-∞,-8]∪[1,+∞)
B.(-∞,-10]∪[-1,+∞)
C.[-8,1]
D.[-10,-1]
5.某几何体的三视图如图所示,其中,正视图中的曲线为圆弧,则该几何体的体积为
A.
B.64-4π
C.64-6π
D.64-8π
6.有一程序框图如图所示,要求运行后输出的值为大于1000的最小数值,则在空白的判断框内可以填入的是
A.i<6
B.i<7
C.i<8
D.i<9
7.在直角坐标系xOy中,F是椭圆C:
(a>b>0)的左焦点,A,B分别为左、右顶点,过点F作x轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,连接PB交y轴于点E,连接AE交PQ于点M,若M是线段PF的中点,则椭圆C的离心率为
A.
B.
C.
D.
8.已知f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)=f(x)-x,且当x∈(-∞,0]时,g(x)单调递增,则不等式f(2x-1)-f(x+2)≥x-3的解集为
A.(3,+∞)
B.[3,+∞)
C.(-∞,3]
D.(-∞,3)
9.函数f(x)=ln|x|+x2-x的图象大致为
A.
B.
C.
D.
10.用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里,每个格子填一个数字,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总是1的个数不少于0的个数,则这样填法的概率为
A.
B.
C.
D.
11.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),
,对任意x∈R恒有
,且在区间(
,
)上有且只有一个x1使f(x1)=3,则ω的最大值为
A.
B.
C.
D.
12.设函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数,且
,f[f(x)-ex+x]=e.若不等式f(x)+f′(x)≥ax对x∈(0,+∞)恒成立,则a的取值范围是
A.(-∞,e-2]
B.(-∞,e-1]
C.(-∞,2e-3]
D.(-∞,2e-1]
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题.将答案填在答题卡中的横线上.
13.已知单位向量a,b的夹角为60°,则
.
14.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6,AB=4,点D为棱BB1的中点,则四棱锥C—A1ABD的表面积是________.
15.在(x2-2x-3)4的展开式中,含x6的项的系数是________.
16.已知双曲线C:
(a>0,b>0),圆M:
.若双曲线C的一条渐近线与圆M相切,则当
取得最大值时,C的实轴长为________.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题.
17.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且Sn=nan+1-n2-n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足
,求{bn}的前n项和Tn.
18.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
.
(1)求B的大小;
(2)若b=8,a>c,且△ABC的面积为
,求a.
19.如图所示,在四棱锥S—ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,∠ADC=90°,AD=AS=2,AB=1,CD=3,且
.
(1)若
,证明:
BE⊥CD;
(2)若
,求直线BE与平面SBD所成角的正弦值.
20.在直角坐标系xOy中,动圆P与圆Q:
(x-2)2+y2=1外切,且圆P与直线x=-1相切,记动圆圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)设过定点S(-2,0)的动直线l与曲线C交于A,B两点,试问:
在曲线C上是否存在点M(与A,B两点相异),当直线MA,MB的斜率存在时,直线MA,MB的斜率之和为定值?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
21.已知函数f(x)=ex+ax2,g(x)=x+blnx.若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与曲线y=g(x)在点(1,g
(1))处的切线相交于点(0,1).
(1)求a,b的值;
(2)求函数g(x)的最小值;
(3)证明:
当x>0时,f(x)+xg(x)≥(e-1)x+1.
(二)选考题:
请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程]
已知直线l的参数方程为
(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=48,其左焦点F在直线l上.
(1)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|+|FB|的值;
(2)求椭圆C的内接矩形面积的最大值.
23.[选修4—5:
不等式选讲]
已知函数f(x)=|x+2|-|ax-2|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥2x+1的解集;
(2)若不等式f(x)>x-2对x∈(0,2)恒成立,求a的取值范围.
2018~2019年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考
数学参考答案(理科)
1.C
2.D
3.D
4.A
5.B
6.B
7.C
8.B
9.C
10.B
11.C
12.D
13.1
14.
15.12
16.
17.解:
(1)由条件知Sn=nan+1-n2-n,①
当n=1时,a2-a1=2;
当n≥2时,Sn-1=(n-1)an-(n-1)2-(n-1),②
①-②得an=nan+1-(n-1)an-2n,
整理得an+1-an=2.
综上可知,数列{an}是首项为3、公差为2的等差数列,从而得an=2n+1.
(2)由
(1)得
,
所以
.
18.解:
(1)由
得
,
所以
,即
,
所以有
,
因为C∈(0,π),所以sinC>0,所以
,
即
,所以
.
又0<B<π,所以
,所以
,即
.
(2)因为
,所以ac=12.
又b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac=(a+c)2-36=64,
所以a+c=10,
把c=10-a代入到ac=12(a>c)中,得
.
19.
(1)证明:
因为
,所以
,在线段CD上取一点F使
,连接EF,BF,则EF∥SD且DF=1.
因为AB=1,AB∥CD,∠ADC=90°,
所以四边形ABFD为矩形,所以CD⊥BF.
又SA⊥平面ABCD,∠ADC=90°,
所以SA⊥CD,AD⊥CD.
因为AD∩SA=A,所以CD⊥平面SAD.
所以CD⊥SD,从而CD⊥EF.
因为BF∩EF=F,所以CD⊥平面BEF.
又BE
平面BEF,所以CD⊥BE.
(2)解:
以A为原点,
的正方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系A—xyz,
则A(0,0,0),B(0,1,0),D(2,0,0),S(0,0,2),C(2,3,0),
所以
,
,
.
设n=(x,y,z)为平面SBD的法向量,则
,
所以
,令z=1,得n=(1,2,1).
设直线BE与平面SBD所成的角为θ,则
.
20.解:
(1)设P(x,y),圆P的半径为r,
因为动圆P与圆Q:
(x-2)2+y2=1外切,
所以
,①
又动圆P与直线x=-1相切,所以r=x+1,②
由①②消去r得y2=8x,
所以曲线C的轨迹方程为y2=8x.
(2)假设存在曲线C上的点M满足题设条件,不妨设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则
,
,
,
,
,
所以
,③
显然动直线l的斜率存在且非零,设l:
x=ty-2,
联立方程组
,消去x得y2-8ty+16=0,
由Δ>0得t>1或t<-1,
所以y1+y2=8t,y1y2=16,且y1≠y2,
代入③式得
,令
(m为常数),
整理得
,④
因为④式对任意t∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立,
所以
,
所以
或
,即M(2,4)或M(2,-4),
即存在曲线C上的点M(2,4)或M(2,-4)满足题意.
21.
(1)解:
因为f′(x)=ex+2ax,
所以f′
(1)=e+2a,切点为(1,e+a),
所以切线方程为y=(e+2a)(x-1)+(e+a),
因为该切线过点(0,1),所以a=-1.
又
,g′
(1)=1+b,切点为(1,1),
所以切线方程为y=(1+b)(x-1)+1,同理可得b=-1.
(2)解:
由
(1)知,g(x)=x-lnx,
,
所以当0<x<1时,g′(x)<0;当x>1时,g′(x)>0,
所以当x=1时,g(x)取极小值,同时也是最小值,
即g(x)min=g
(1)=1.
(3)证明:
由
(1)知,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y=(e-2)x+1.
下面证明:
当x>0时,f(x)≥(e-2)x+1.
设h(x)=f(x)-(e-2)x-1,则h′(x)=ex-2x-(e-2),再设k(x)=h′(x),则k′(x)=ex-2,所以h′(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增.
又因为h′(0)=3-e,h′
(1)=0,0<<ln2<1,所以h′(ln2)<0,
所以存在x0∈(0,1),使得h′(x0)=0,
所以,当x∈(0,x0)∪(1,+∞)时,h′(x)>0;当x∈(x0,1)时,h′(x)<0.
故h(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
又因为h(0)=h
(1)=0,所以h(x)=f(x)-(e-2)x-1≥0,
当且仅当x=1时取等号,所以ex-(e-2)x-1≥x2.
由于x>0,所以
.
又由
(2)知,x-lnx≥1,当且仅当x=1时取等号,所以,
,
所以ex-(e-2)x-1≥x(1+lnx),即ex-x2+x(x-lnx)≥(e-1)x+1,
即f(x)+xg(x)≥(e-1)x+1.
22.解:
(1)将
代入ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=48,
得x2+3y2=48,即
,
因为c2=48-16=32,所以F的坐标为(
,0),
又因为F在直线l上,所以
.
把直线l的参数方程
代入x2+3y2=48,
化简得t2-4t-8=0,所以t1+t2=4,t1t2=-8,
所以
.
(2)由椭圆C的方程
,可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为(
,4sinθ)(
),