高等代数第四章矩阵练习题目参考问题详解.docx
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高等代数第四章矩阵练习题目参考问题详解
适用标准文案
第四章矩阵习题参照答案
一、判断题
1.关于随意n阶矩阵A，B，有ABAB.
错.
2.
假如A2
0,则A0
.
错.如A
1
1
0,但A0.
1
A2
1
3.
假如A
A2
E，则A为可逆矩阵.
正确.AA2
E
A（E
A）
E，所以A可逆，且A1
AE.
4.
设A,B都是n阶非零矩阵，且
AB0，则A,B的秩一个等于n，一个小于n.
错.由AB
0
可得r（A）
r（B）
n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，
与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.
5．A,B,C为n阶方阵，若AB
AC,
则B
C.
错.如A
1
1
2
1
3
2
AC,但BC.
1
1
B
C
3
，有AB
2
1
2
6．A为mn矩阵，若r（A）
s,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使
Is
0
PAQ
.
0
0
正确.右侧为矩阵
A的等价标准形，矩阵
A等价于其标准形.
7．n阶矩阵A可逆，则A*也可逆.
正确.由A可逆可得|A|0，又AA*
A*A|A|E.所以A*也可逆，且
（A*）11
A.
|A|
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适用标准文案
8．设A,B为n阶可逆矩阵，则（AB）*B*A*.
正确.（AB）（AB）*|AB|E|A||B|E.又
（AB）（B*A*）A（BB*）A*A|B|EA*|B|AA*|A||B|E.
所以（AB）（AB）*（AB）（B*A*）.由A,B为n阶可逆矩阵可得AB可逆，两边同时左乘
式AB的逆可得（AB）*B*A*.
二、选择题
1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵（BTB）,则以下矩阵中为反对称
矩阵的是（B）.
（A）ABBA（B）ABBA（C）（AB）2（D）BAB
（A）（D）为对称矩阵，（B）为反对称矩阵，（C）当A,B可互换时为对称矩阵.
2.设A是随意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.
（A）ATA（B）AAT（C）A2（D）ATA
3．以下结论不正确的选项是（C
）.
（A）
假如A是上三角矩阵，则
A2
也是上三角矩阵；
（B）
假如A是对称矩阵，则
A2
也是对称矩阵；
（C）假如A是反对称矩阵，则
A2
也是反对称矩阵；
（D）假如A是对角阵，则A2也是对角阵.
4．A是mk矩阵,B是kt矩阵,若B的第j列元素全为零，则以下结论正确
的是（B）
（A）AB的第j行元素全等于零；（B）AB的第j列元素全等于零；
（C）BA的第j行元素全等于零；（D）BA的第j列元素全等于零；
出色文档
适用标准文案
5．设A,B为n阶方阵，E为n阶单位阵，则以下命题中正确的选项是（D）
（A）（AB）2A22ABB2（B）A2B2（AB）（AB）
（C）（AB）2A2B2（D）A2E2（AE）（AE）
6．以下命题正确的选项是（B）.
（A）若ABAC，则BC
（B）若ABAC，且A0，则BC
（C）若ABAC，且A0，则BC
（D）若ABAC，且B0,C0，则BC
7.A是mn矩阵，B是nm矩阵，则（B）.
（A）当mn时，必有队列式AB0；
（B）当mn时，必有队列式AB0
（C）当nm时，必有队列式AB0；
（D）当nm时，必有队列式AB0.
AB为m阶方阵，当m
n时，r（A）
n,r（B）n,所以r（AB）
nm，所以
AB0.
8．以下结论正确的选项是（C
）
（A）假如矩阵A的队列式
A0,则A
0；
（B）假如矩阵A知足A2
0，则A0
；
（C）n阶数目阵与任何一个n阶矩阵都是可互换的；
（D）
对随意方阵
A,B，有（AB）（AB）
A2
B2
9．设
1,2,3,4
是非零的四维列向量，A
（1,
2,
3,4）,A*为A的陪伴矩阵，
已知Ax
0的基础解系为
（1,0,2,0）T，则方程组
A*x
0的基础解系为（
C）.
（A）1,2,
3.
（B）1
2,2
3,31.
出色文档
适用标准文案
（C）2,3,4.
（D）1
2,
2
3,3
4,4
1.
1
由Ax0的基础解系为
（1,0,2,0）T可得（1,
2,3,
4）
0
0,123
0.
2
0
所以（A），（B）中向量组均为线性有关的，而（D）明显为线性有关的，所以答案
为（C）.由
A*AA*（1,2,3,4）（A*1,A*2,A*3,A*4）O
可得1,2,3,4均为A*x0的解.
10.设A是n阶矩阵，A合适以下条件（C）时，InA必是可逆矩阵
（A）AnA（B）A是可逆矩阵（C）An0
（B）A主对角线上的元素全为零
11
．n阶矩阵
A是可逆矩阵的充足必需条件是（
D
）
（A）
A1
（B）A0（C）A
AT（D）
A
0
12
．A,B,C均是n阶矩阵，以下命题正确的选项是（
A
）
（A）
若A是可逆矩阵，则从
AB
AC可推出BA
CA
（B）
若A是可逆矩阵，则必有
AB
BA
（C）若A0，则从ABAC可推出BC
（D）若BC，则必有ABAC
13．A,B,C均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若ABCE，则有（C）
（A）ACBE（B）BACE（C）BCAE（D）CBAE
14．A是n阶方阵，A*是其陪伴矩阵，则以下结论错误的选项是（D）
（A）若A是可逆矩阵，则A*也是可逆矩阵；
（B）若A是不行逆矩阵，则A*也是不行逆矩阵；
出色文档
适用标准文案
（C）
若A*
0
，则A是可逆矩阵；
（Ｄ）AA*
A.
AA*
AE
n
A.
15．设A是5阶方阵，且A
0，则A*
（Ｄ
）
（A）
A
（B）
2
3
（D）
A
4
A
（C）A
16．设A*
是A
（a
）
nn
的陪伴阵，则A*
A中位于（i,j）的元素为（Ｂ
）
ij
n
n
n
n
（A）
ajkAki
（B）
akjAki
（C）
ajkAik
（D）
akiAkj
k1
k1
k1
k1
应为A的第i
列元素的代数余子式与
A的第j列元素对应乘积和.
a11
a1n
A11
A1n
17.设A
B
此中A是a的代数余子式，则（C）
ij
ij
an1
ann
An1
Ann
（A）A是B的陪伴（B）B是A的陪伴（C）B是A的陪伴
（D）以上结论都不对
18．设A,B为方阵，分块对角阵
C
A
0
（
Ｃ）
0
则C*
B
（A）
A*
0
（B）C
AA*
0
C
0B*
0
BB*
（C）
C
BA*
0
（D）
ABA*
0
0
AB*
C
ABB*
0
利用CC*
|C|E考证.
4
6
1
3
5
19．已知A
2
B
4
，以下运算可行的是（C
）
1
2
6
（A）
AB
（B）AB
（C）AB（D）AB
BA
出色文档
适用标准文案
20．设A,B是两个mn矩阵，C是n阶矩阵，那么（D）
（A）C（AB）CACB
（B）（ATBT）CATCBTC
T
（
）
T
T
C
CB
（C）
（D）（AB）CACBC
21．对随意一个
n阶矩阵A，若n阶矩阵B能知足AB
BA，那么B是一个（
Ｃ
）
（A）
对称阵
（B）
对角阵
（C）
数目矩阵
（D）
A的逆矩阵
与随意一个n阶矩阵均可互换的矩阵为数目矩阵.
22．设A是一个上三角阵，且
A
0
，那么A的主对角线上的元素（
Ｃ
）
（A）
全为零
（B）只有一个为零
（C）起码有一个为零
（D）可能有零，也可能没有零
23．设A
13，则A1
（D
）
2
0
0
1
0
1
0
1
0
1
2
3
3
2
（A）
（B）
（C）
（D）
1
1
1
1
1
1
1
1
3
6
3
6
2
6
3
6
a1
b1
c1
a1
c1
2b1
24．设Aa2
b2
c2，若AP
a2
c2
2b2
，则P
（B
）
a3
b3
c3
a3
c3
2b3
1
0
0
1
0
0
0
0
1
2
0
0
（A）
0
0
1
（B）
0
0
2
（C）0
2
0
（D）0
0
1
0
2
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
出色文档
适用标准文案
1
a
a
a
a
1
a
a
25．设n（n3）阶矩阵Aa
a
1
a，若矩阵A的秩为1，则a必为（A）
a
aa
1
（A）1
（B）-1
（C）
1
1
1n
（D）
n1
矩阵A的随意两行成比率.
26.设A,B为两个n阶矩阵,现有四个命题:
①若A,B为等价矩阵,则A,B的行向量组等价;
②若A,B的队列式相等,即|A||B|,则A,B为等价矩阵;
③若Ax0与Bx0均只有零解,则A,B为等价矩阵;
④若A,B为相像矩阵,则Ax0与Bx0解空间的维数同样.
以上命题中正确的选项是（D）
（A）①,③.（B）②,④.（C）②,③.（D）③,④.
当BP1AP时，A,B为相像矩阵。
相像矩阵的秩相等。
齐次线性方程组基础解系所含
解的个数即为其解空间的维数。
三、填空题
1．设A为三阶方阵，
A*为A的陪伴矩阵，有A
2
，则（
1
A）1
3
A*|A|A1
2A1，（1A）1
3A1，所以
（1A）1
3
2A*3A1
4A1
A1
（1）3A
1
3
2A*
1
.
2
2．设A,B为4阶方阵，且A3，则
（3A）1
1/27
BA2B1
9。
3．设A是一个mn矩阵，B是一个n
s矩阵，那么是
（AB）'一个sm阶矩阵，它的
出色文档
适用标准文案
n
第i行第j列元素为
ajkbki.
k
1
4.n阶矩阵A可逆
A非退化
|A|0
A与单位矩阵等价
A能够表示为一系列初等矩阵的乘积.
a
0
0
bc
0
0
4.三阶对角矩阵A
0
b
0
，则A的陪伴矩阵A*=0
ac
0.
0
0
c
0
0
ab
1
2
3
1A.
5．设A023，则（A*）1
0
0
3
6
（A*）1
A
|A|
0
a1
0
0
0
0
a2
0
6．设ai
0,i
1,2,
n，矩阵
的逆矩阵为
0
0
0
an1
an
0
0
0
0
0
0
an
1
a1
1
0
0
0
0
a2
1
0
0
.
0
0
an
11
0
7．设A,B都是可逆矩阵，矩阵C
0
A
0
B1
.
B
0
的逆矩阵为
1
0
A
8．设A
1
2
B
1
3
3
1
B（2AC）
（
）．
3
4
2
C
2
，则
4
4
9．A既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则
A为
零
矩阵.
出色文档
适用标准文案
b1
x1
c1
b1
y1
c1
10．设方阵A
b2
x2
c2
，B
b2
y2
c2
，且A
2,B
3则队列式
b3
x3
c3
b3
y3
c3
AB
4
.
b1
x1
c1
b1
y1
c1
2b1
x1
y1
2c1
b1
x1
y1
c1
|AB|b2
x2
c2
b2
y2
c2
2b2
x2
y2
2c2
4b2
x2
y2
c2
b3
x3
c3
b3
y3
c3
2b3
x3
y3
2c3
b3
x3
y3
c3
b1
x1
c1
b1
y1
c1
4b2
x2
c2
4b2
y2
c2
4
（2）434.
b3
x3
c3
b3
y3
c3
11．设A为m阶方阵，B
为n阶方阵，已知A
a,B
0
A
（1）mnab.
b，则队列式
0
B
将A的各列挨次与B的各列互换，共需要互换
mn次，化为
A
0
0
B
12．设A为n阶方阵，且
A
0，则在A等价关系下的标准形为
n阶单位矩阵.
1
2
2
13.设A
2
1
a
（a为某常数），B为4
3的非零矩阵，且BA
0，则矩阵B的
3
1
1
秩为
1.
由BA
0
可得A的各列为齐次线性方程组
Bx
0的解，A的前两列线性没关，所以
Bx
0的基础解系起码有两个解，所以
r（B）
1.又B为非零矩阵，所以r（B）
1.即
r（B）
1.
四、解答以下各题
1．求解矩阵方程
2
5
4
6
2
1
1
1
3
（1）
X2
1
1
1
X
2
;
（2）
0
3
;
3
1
1
1
4
2
1
出色文档
适用标准文案
（3）
1
4
X
2
0
3
1
;
1
2
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
4
3
（4）
1
0
0
X
0
0
1
2
0
1
0
0
1
0
1
0
1
2
0
2
1
6
3
5
4
6
2
23
解：
（1）X
5
4
1
3
2
1
1
2
2
1
0
8
2
1
1
1
1
1
3
2
2
1
（2）X
2
1
0
4
3
2
8/3
5
2/3
1
1
1
1
1
3
1
2
0
1
1
2
4
3
1
11
0
（3）X
4
1
2
0
1
1
1
6
1
1
0
1
21
2
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