高等代数第四章矩阵练习题目参考问题详解.docx

1、高等代数第四章矩阵练习题目参考问题详解适用标准文案第四章 矩阵习题参照答案一、判断题1. 关于随意 n 阶矩阵 A ， B ，有 A B A B .错 .2.假如 A20,则A 0.错.如A110,但A 0.1, A213.假如 AA2E ，则 A 为可逆矩阵 .正确. A A2EA( EA)E，所以 A可逆，且 A 1A E .4.设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且AB 0 ，则 A, B 的秩一个等于 n ，一个小于 n .错.由AB0可得 r ( A)r (B)n . 若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆， 另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾 .只可能两个秩都小于 n .5 A, B,

2、 C 为 n 阶方阵，若 ABAC ,则 BC.错.如 A112132AC,但B C.11, B,C3，有 AB2126 A 为 m n 矩阵，若 r ( A)s, 则存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 .右侧为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形 .7 n 阶矩阵 A 可逆，则 A * 也可逆 .正确.由 A可逆可得 |A| 0，又 AA*A* A | A| E.所以 A* 也可逆，且(A*) 1 1A .| A |出色文档适用标准文案8设 A, B 为 n 阶可逆矩阵，则 ( AB)* B* A * .正确 .(AB)(AB)* | AB

3、 |E | A|B| E.又(AB)(B* A*) A(BB*) A* A|B|EA* | B| AA* | A|B| E .所以 ( AB)( AB )* ( AB)( B * A*) .由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得 AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得 (AB)* B* A* .二、选择题1设 A 是 n 阶对称矩阵， B 是 n 阶反对称矩阵 (BT B) , 则以下矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A) AB BA (B) AB BA (C) ( AB)2 (D) BAB(A)(D) 为对称矩阵， （B）为反对称矩阵， （ C）当 A, B 可互换时为对称矩阵 .2.设

4、 A 是随意一个 n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵 .(A) AT A (B) A AT (C) A2 (D) AT A3以下结论不正确的选项是（C） .(A)假如 A 是上三角矩阵，则A2也是上三角矩阵；(B)假如 A 是对称矩阵，则A2也是对称矩阵；(C) 假如 A 是反对称矩阵，则A2也是反对称矩阵；(D)假如 A 是对角阵，则 A2 也是对角阵 .4 A 是 m k 矩阵 , B 是 k t 矩阵 , 若 B 的第 j 列元素全为零，则以下结论正确的是（B ）( A) AB 的 第 j 行 元 素 全 等 于 零 ； ( B) AB 的 第 j 列 元 素 全 等 于 零 ；( C

5、) BA 的 第 j 行 元 素 全 等 于 零 ； ( D) BA 的 第 j 列 元 素 全 等 于 零 ；出色文档适用标准文案5 设 A, B 为 n 阶方阵， E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的选项是（ D ）(A) ( A B)2 A2 2AB B2 (B) A2 B2 (A B)( A B)(C) ( AB)2 A2B2 (D) A2 E2 (A E)(A E)6以下命题正确的选项是（ B ） .(A) 若AB AC，则B C(B) 若AB AC，且 A 0，则B C(C) 若AB AC，且A 0，则B C(D) 若AB AC，且B 0,C 0，则 B C7.A 是 m n

6、矩阵， B 是 n m 矩阵，则（ B ） .(A) 当 m n 时，必有队列式 AB 0 ；(B)当 m n 时，必有队列式 AB 0(C) 当 n m 时，必有队列式 AB 0 ；(D)当 n m 时，必有队列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 mn 时， r ( A)n, r ( B) n, 所以 r ( AB )n m ，所以AB 0.8以下结论正确的选项是（ C）(A) 假如矩阵 A 的队列式A 0,则A0 ；(B) 假如矩阵 A 知足 A20，则A 0；(C)n 阶数目阵与任何一个 n 阶矩阵都是可互换的；(D)对随意方阵A,B ，有 (A B)(A B)A2B29设1,2,

7、3,4是非零的四维列向量， A( 1 ,2 ,3, 4 ), A* 为 A 的陪伴矩阵，已知 Ax0 的基础解系为(1,0,2,0) T ，则方程组A * x0 的基础解系为（C ） .（A） 1, 2,3 .（B） 12 , 23,31.出色文档适用标准文案（C） 2, 3, 4.（D） 12 ,23 , 34 , 41 .1由 Ax 0 的基础解系为(1,0,2,0) T 可得 ( 1 ,2, 3,4 )00,1 230 .20所以（ A），（B）中向量组均为线性有关的，而（ D）明显为线性有关的，所以答案为（C）.由A* A A*( 1, 2, 3, 4) (A* 1, A* 2, A*

8、 3, A* 4) O可得 1 , 2 , 3 , 4 均为 A* x 0 的解 .10. 设 A 是 n 阶矩阵， A 合适以下条件（ C ）时， I n A 必是可逆矩阵(A) An A (B) A 是可逆矩阵 (C) An 0(B)A 主对角线上的元素全为零11 n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充足必需条件是（D）(A)A 1(B)A 0(C)AAT (D)A012 A, B, C 均是 n 阶矩阵，以下命题正确的选项是（A）(A)若 A 是可逆矩阵，则从ABAC 可推出 BACA(B)若 A 是可逆矩阵，则必有ABBA(C) 若A 0，则从 AB AC可推出 B C(D) 若 B C ，则必

9、有 AB AC13 A, B, C 均是 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 ABC E ，则有（ C ）(A) ACB E （ B） BAC E （C） BCA E (D) CBA E14 A 是 n 阶方阵， A* 是其陪伴矩阵，则以下结论错误的选项是（ D ）(A) 若 A 是可逆矩阵，则 A* 也是可逆矩阵；(B) 若 A 是不行逆矩阵，则 A* 也是不行逆矩阵；出色文档适用标准文案(C)若 A*0，则 A 是可逆矩阵；（） AA*A .AA*A EnA .15设 A 是 5 阶方阵，且 A0，则 A*（ ）(A)A(B)23(D)A4A(C) A16设 A*是 A(a)n n的

10、陪伴阵，则 A*A 中位于 (i , j ) 的元素为（）ijnnnn(A)a jk Aki(B)akj Aki(C)a jk Aik(D)aki Akjk 1k 1k 1k 1应为 A 的第 i列元素的代数余子式与A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11a1nA11A1n17.设 A,B, 此中 A 是 a 的代数余子式， 则（ C ）ijijan1annAn1Ann(A) A是 B的陪伴 (B) B是 A的陪伴 (C) B 是 A 的陪伴(D)以上结论都不对18设 A, B 为方阵，分块对角阵CA0( )0,则C*B(A)A*0(B) CA A*0C0 B*0B B*(C)CB A*0(D

11、)ABA*00A B*CA BB*0利用 CC*|C |E考证.4613519已知 A2, B4，以下运算可行的是（C）126(A)A B(B)A B(C) AB(D) ABBA出色文档适用标准文案20设 A, B 是两个 m n 矩阵， C 是 n 阶矩阵，那么（ D ）(A)C(A B) CA CB(B)( AT BT )C ATC BTCT()TTCC B(C)(D)(A B)C AC BC21对随意一个n 阶矩阵 A ，若 n 阶矩阵 B 能知足 ABBA ，那么 B 是一个（）(A)对称阵(B)对角阵(C)数目矩阵(D)A 的逆矩阵与随意一个 n 阶矩阵均可互换的矩阵为数目矩阵 .2

12、2设 A 是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）起码有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23设 A1 3，则A1（ D）20010101012332(A)（ B）（ C）（ D）1111111136362636a1b1c1a1c12b124 设 Aa2b2c2 ，若 APa2c22b2，则 P（ B）a3b3c3a3c32b3100100001200(A)001（ B ）002（C） 020（D） 001020010100010出色文档适用标准文案1aaaa1aa25设 n(n 3) 阶矩阵 Aaa1a ，若矩阵 A 的秩为 1，则

13、 a 必为（ A ）aa a1(A) 1（B）-1（C）111 n（D ）n 1矩阵 A 的随意两行成比率 .26.设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :若 A, B 为等价矩阵 , 则 A, B 的行向量组等价 ;若 A,B 的队列式相等 , 即 | A | |B |,则 A, B 为等价矩阵 ;若 Ax 0与 Bx 0 均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ;若 A, B 为相像矩阵 , 则 Ax 0 与 Bx 0 解空间的维数同样 .以上命题中正确的选项是 ( D )(A) , . (B) , . (C) , . (D) , .当 B P 1 AP 时， A, B 为

14、相像矩阵。 相像矩阵的秩相等。 齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数。三、填空题1设 A 为三阶方阵，A* 为 A 的陪伴矩阵，有 A2，则 (1A) 13A* |A|A12A 1，(1A) 13A 1 ，所以(1A) 132A* 3A 14 A 1A 1( 1)3A132 A *1.22设 A,B为 4阶方阵，且 A 3，则(3A) 11/27,BA2B 19。3设 A 是一个 m n 矩阵， B 是一个 ns矩阵，那么是( AB) 一个 s m 阶矩阵，它的出色文档适用标准文案n第 i 行第 j 列元素为ajk bki .k14. n 阶矩阵 A 可逆A 非退化|A| 0A

15、 与单位矩阵等价A 能够表示为一系列初等矩阵的乘积.a00bc004. 三阶对角矩阵 A0b0，则 A 的陪伴矩阵 A* = 0ac0 .00c00ab1231 A .5设 A0 2 3 ，则(A*)10036(A*) 1A| A |0a10000a206设 ai0,i1,2,n ，矩阵的逆矩阵为000an 1an000000an1a110000a2100.00an1107设 A, B 都是可逆矩阵，矩阵 C0A0B 1.B0的逆矩阵为10A8设 A12, B1331B(2A C)（）342, C2，则449 A 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A 为零矩阵 .出色文档适用标准文案b1x1c1

16、b1y1c110设方阵 Ab2x2c2， Bb2y2c2，且 A2, B3 则队列式b3x3c3b3y3c3A B4.b1x1c1b1y1c12b1x1y12c1b1x1y1c1| A B | b2x2c2b2y2c22b2x2y22c24 b2x2y2c2b3x3c3b3y3c32b3x3y32c3b3x3y3c3b1x1c1b1y1c14 b2x2c24 b2y2c24(2)434.b3x3c3b3y3c311设 A 为 m 阶方阵， B为 n 阶方阵，已知 Aa, B0A( 1)mn ab .b ，则队列式0B将 A 的各列挨次与 B 的各列互换，共需要互换mn 次，化为A00B12设

17、A 为 n 阶方阵，且A0 ，则 在 A 等价关系下的标准形为n 阶 单位矩阵 .12213. 设A21a（ a 为某常数），B 为 43 的非零矩阵， 且 BA0，则矩阵 B 的311秩为1 .由 BA0可得 A 的各列为齐次线性方程组Bx0 的解， A 的前两列线性没关，所以Bx0 的基础解系起码有两个解，所以r ( B)1. 又 B 为非零矩阵，所以 r ( B)1 . 即r ( B)1.四、解答以下各题1求解矩阵方程254621113(1)X 2111X2; (2)03;3111421出色文档适用标准文案(3)14X2031;121101010100143(4)100X0012010010101202163546223解：（ 1） X5413211221082111113221（2） X2104328 / 352 / 31111131201124311 10(3)X4120111611012 12