大一下高数下册知识点.docx
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大一下高数下册知识点
高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
（一）向量线性运算
定理1：
设向量az0,则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数入，使
b=
1、
线性运算：
加减法、数乘;
向量的模、方向角、投影:
空间直角坐标系：
坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式;
3、
利用坐标做向量的运算：
设a（ax,ay,az）,b（bx,by,bz）；
ab（axbx,ayby,azbz）,a（ax,ay,az）；
（二）数量积，向量积
1、
数量积:
bcos
1）
2）a
abaxbxayby
azbz
2、向量积：
cab
大小：
|a||bsin，方向：
a,b,c符合右手规则
1）aa0
2）a//bab0
ijk
axayaz
bxbybz
运算律：
反交换律ba
（3）曲面及其方程
1、曲面方程的概念：
S:
f（x,y,z）0
2、旋转曲面：
yoz面上曲线C:
f（y,z）0，
/22
绕y轴旋转一周：
f（y,xz）0
/22
绕z轴旋转一周：
f（\Xy,z）0
3、柱面：
0
的柱面
F（x,y）
F（x,y）0表示母线平行于z轴，准线为
z0
4、二次曲面
1）椭圆锥面：
亍
a
2
y
z2
2
x
2）椭球面：
「
a
2yb2
2x旋转椭球面：
y
2
y
2
a
2
z
-2
c
2x
3）
单叶双曲面：
2a
2x
4）
双叶双曲面：
2a
2x
5）
椭圆抛物面：
2a
b2
b2
b2
x2
2
y
6）
双曲抛物面
（马鞍面）
2a
b2
2
2
x
y
-1
7）
椭圆柱面：
2a
b2
2
2
x
y
1
8）
双曲柱面：
2a
b2
2
9）
抛物柱面：
x
ay
（四）空间曲线及其方程
1、
般方程:
F（x,y,z）0
G（x,y,z）0
x
x（t）
x
acost
2、参数方程：
y
y（t），如螺旋线：
y
asint
z
z（t）
z
bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
F（x,y,z）0H（x,y）0
，消去z，得到曲线在面xoy上的投影
G（x,y,z）0z0
（5）
平面及其方程
（6）
A（xx。
）B（yy。
）C（zz。
）
x
截距式方程：
a
A,A2B1B2C1C2
i〃
A2b2C2
4、点P°（x。
，y°,z°）到平面Ax
By
CzD0的距离:
Ax。
By。
Cz。
D,A2B2C
（7）空间直线及其方程
A1xB1yC1z
Di
0
1、
一般式方程：
A2
xB2y
C2z
d2
0
x
X。
y
yozZo
2、
对称式（点向式）万程：
m
n
P
方向向量：
s
（m,n,p）
，过点（X。
yo,Zo）
x
x0mt
3、
参数式方程：
y
yont
z
Zopt
4、
两直线的夹角：
Si
（5,6,
Pi）,
S2
（m2,n2,P2）
Img
ngP1P2
cos
/22佃ni
2
Pi
Jm；n；
22
P2
Li
m1m2n1n2p1p20
L1//L2
mLnijpi_
m2n2p2
5、直线与平面的夹角：
直线与它在平面上的投影的夹角,
ein
Am
BnCp
JA2B2C2.m2n2p2
L//
Am
Bn
Cpo
A
B
C
L
m
n
P
第九章多元函数微分法及其应用
（一）
基本概念
1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域,
闭区域，有界集，无界集。
2、多元函数：
（1）定义：
设n维空间内的点集D是R的一个非空子集，称映射f:
D-R为定义在D上的n元函数。
当n》2时，称为多元函数。
记为
U=f（Xi,X2,…，Xn）,（Xi,X2,…，Xn）€Do
3、二次函数的几何意义：
由点集D所形成的一张曲面。
如z=ax+by+c的图形为一张平面，而z=X2+y2的图形是旋转抛物线。
4、极限：
（1）定义：
设二元函数f（p）=f（X,y）的定义域D,pO（xO,yO）是D的聚
点D,如果存在函数A对于任意给定的正数£，总存在正数3,使得当点p（X,y）
€DAU（p0,3）时，都有If（p）-AI=If（X,y）-AI<£成立，那么就称常数A为函数f（X,y）当（X,y）—（xo,yo）时的极限，记作
limf（X,y）A
（X,y）（X0,y°）
定义3设M元函数f（P）的定义域为点集0,化
是其聚点且匕如果limf（P）=
尸T%
则称“元函数在点几处连续.
设匕是函数f（p）的定义域的聚点.如果
f（p）在点化处不连续，则称化是函数f（p）的
多元函数的连续性与不连续的定义
5、有界闭合区域上二元连续函数的性质：
（1）在有界闭区域D上的多元连续
函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；
（2）在有界区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
6、偏导数：
设有二元函数z=f（x,y），点（x0,y0）是其定义域D内一点。
把y固定在y0而让x在x0有增量△（,相应地函数z=f（x,y）有增量（称为对x/y的偏增量）如果△:
与△
：
（Xo,y。
）
Iimf（x°x,y0）f（xo,y0）
x0x
fy（x°,y。
）
Iimf（x°,y°y）f（x°,y°）
yoy
7、混合偏导数定理：
如果函数的两个二姐混合偏导数fxy（x,y）和fyx（x,y）在D
内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。
fff
8、方向导数：
~~r~^cos=cos其中,为I的方向角。
I入y
9、全微分：
如果函数z=f（x,y）在（x,y）处的全增量△z=f（x△y）-f（x,y）可以表示为△z=A^x+B%+o（p，其中A、B不依赖于△△，仅与x,y有关,
当PT,此时称函数z=f（x,y）在点（x,y）处可微分，A&+B△称为函数
z=f（x,y）在点（x,y）处的全微分，记为
dz—Zdx—dy
xy
1、
（二）性质
函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:
微分法
1）定义：
2）复合函数求导：
链式法则
若zf（u,v）,uu（x,y）,vv（x,y），则
zzuzvzzuzV
xuxvx，yuyvy
3）隐函数求导：
两边求偏导，然后解方程（组）
（三）应用
1、极值
1）无条件极值：
求函数zf（x,y）的极值
fx
0
解方程组
fy
0
求出所有驻点，对于每一个驻点（X°,y°）,
Afxx（Xo
y。
）,
B
fxy（x°,y°）,Cfyy（x°,y°）,
①若AC
B2
0
A0，函数有极小值，
若AC
B2
0,
A0，函数有极大值；
②若AC
B2
0
函数没有极值；
③若AC
B2
0,
不定。
2）条件极值：
求函数zf（x,y）在条件（x,y）0下的极值
令：
L（x,y）f（x,y）（x,y）Lagrange函数
Lx0
解方程组Ly0
（x,y）0
2、几何应用
1）曲线的切线与法平面
xx（t）
曲线：
yy（t），贝S上一点M（Xo,y°,Zo）（对应参数为to）处的
zz（t）
切线方程为:
xXox（to）y（to）
yyo
Z（to）
法平面方程为：
X（to）（xXo）
y（to）（yy。
）z（t°）（zz°）o
2）曲面的切平面与法线
曲面：
F（x,y,z）o,则
上一点M（Xo,y°,z°）处的切平面方程为:
Fx（Xo,y°,z0）（x
Xo）Fy（Xo,y°,z））（yy。
）Fz（Xg,y°,z））（zzo）0
xXo
法线方程为:
yyo
zZ°
（一）二重积分
Fx（Xo，yo，Zo）
Fy（Xo，yo，Zo）
Fz（Xo，yo，Zo）
第十章重积分
lim
o
n
f（k,k）
k1
2、性质：
（6条）
3、
几何意义：
曲顶柱体的体积。
4、
计算：
1）
直角坐标
D
（x,y）
i（x）y2（x）
1、
a
X
b
定义：
f（x,y）d
D
2（X）
f（x,y）dxdy
dx
a
1（x）
f（x,y）dy
（x,y）
i（y）
c
x2（y）
yd，
2）
f（x,y）dxdy
极坐标
i（
f（x,y）dxdy
D
d2（y）
cdyI（y）f（x，y）dx
2（）
2（）
1（）
f（cos,sin）d
1、
定义：
f（x,y,z）dv
1叫f（k,k,k）
Uk1
2、
性质：
3、
计算：
1）
直角坐标
Z2（x,y）
f（x,y,z）d
vdxdy
（）f（x,y,z）dz.
D
Z1（x,y）
b
f（x,y,z）d
vdz
f（x,y,z）dxdy一
aDz
一”
2）
柱面坐标
x
cos
y
sin
，f（x,y,z）dvf（cos
z
z
3）
球面坐标
n
Vk
sin
）三重积分
z）dddz
xrsincos
yrsinsin
zrcos
f（x,y,z）dvf（rsincos,rsinsin,rcos）r2sindrdd
（三）应用
曲面S:
z
Adr
f（x,y）,（x,y）
D的面积：
dxdy
（z）2
x
（z）2y
第十二章无穷级数
（一）常数项级数
1、定义：
1）无穷级数
Un
n1
U1
U2U3Un
部分和：
Sn
n
Uk
k1
U1u
2U3Un，
正项级数：
Un，Un
n1
0
交错级数：
（1）nUn
，un
0
n1
2）级数收敛：
若limSnS存在，则称级数Un收敛，否则称级数Un发散
n
nn1n1
3）绝对收敛：
Un|收敛，则Un绝对收敛；
1）
2）
级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性;
级数an与bn分别收敛于和S与b,,贝y（anbn）收敛且，其和为
n1n1n1
4）
5）
在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛;
级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。
Un发散，则Vn发散.
1n1
若Vn收敛，则Un收敛；若
n1n1n
比较法的推论：
Un,Vn为正项级数，若存在正整数m，当lm时,
n1n1
Un
kVn，而Vn收敛，则Un收敛；若存在正整数m，当nm时,
n1n1
UnkVn，而Vn发散，则Un发散.
n1n1
做题步骤：
①找比较级数（等比数列，调和数列，p级数1/np）;②比较大小;
③是否收敛
敛；则当I1时，级数Un发散；当I1时，级数Un可能收敛也可能发散.
n1n1
7）根值法：
1Un为正项级数，设'imnUnI，则当I1时，级数1Un收敛;
则当I1时，级数Un发散；当I1时，级数Un可能收敛也可能发散
n1n1
8）极限审敛法：
Un为正项级数，若IimnUn0或IimnUn，则级
n1，nn，
数Un发散；若存在p1，使得IimnpUnI（0I），则级数Un收敛.
n1nn1
交错级数：
莱布尼茨审敛法：
交错级数：
（1）nUn,Un0满足：
Un1Un（n1,2,3,），
n1
且IimUn0，则级数
（1）nUn收敛。
nn1
任意项级数：
Un绝对收敛，则Un收敛
收敛，
q1
常见典型级数：
几何级数：
aq
n0
发散，
q1
1
收敛，
p1
p-级数：
np
n111
发散，
p1
（二）函数项级数
1、定义：
函数项级数Un（X），收敛域，收敛半径，和函数;
n1
n
2、幕级数：
anX
n0
-,0
收敛半径的求法：
nim
an1
an
，则收敛半径R
0,
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