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隐函数求导

第五节隐函数的求导公式

教学目的:

掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的

导函数。

教学重点:

由一个方程确定的隐函数求导方法。

教学难点:

隐函数的高阶导函数的计算。

教学内容:

一、一个方程的情形

在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程

（1）f（x,y）

求它所确定的隐函数的方法。

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.

隐函数存在定理1设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，P（x,y）F（x,y）00

且，,F（x,y）,0，则方程=0在点的某一邻域内恒能唯F（x,y）,0（x,y）F（x,y）y000000

一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有y,f（x）y,f（x）00

Fdyx,,

（2）dxFy

公式

（2）就是隐函数的求导公式

这个定理我们不证。

现仅就公式

（2）作如下推导。

将方程

（1）所确定的函数代入，得恒等式y,f（x）

F（x,f（x））,0

其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得

F,Fdy，,0,,x,ydx

F（x,y）,0F,0F由于连续，且，所以存在（x,y）的一个邻域，在这个邻域内，于00y00yy

是得

Fdyx,,.dxFy

如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式

（2）的两端看作的复合函数而再xF（x,y）

一次求导，即得

2,,,,FFdydy,,xx,,,,,,，,2,,,,xFyFdx,,dxyy,,,,

,FF,FFFF,FFFxxyyzxxyyyyxx,,,,,,22,,FFFyyy,,22FF,FFF，FF2xxyxyxyyyx,,.3Fy

22例1验证方程在点（0,1）的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导x，y,1,0

=0时，的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。

数、当xxy,1y,f（x）

22解设，则,F（0,1）,0,F（0,1）,2,0.因此F,2x,F,2yF（x,y）,x，y,1yxy

22由定理1可知，方程在点（0,1）的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导x，y,1,0

数、当=0时，的隐函数。

xy,1y,f（x）

下面求这函数的一阶和二阶导数

Fdydyxx,,,0=，;,dxFdxyyx,0

xy,x,（）222,y,xyy，xy1dy,,,,,,,,=22233dxyyyy

2dy,,1。

2dxx,0

隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程

（1）可以确定一个一元隐函

数，那末一个三元方程

Fx,y,z（）=0（3）

就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1一样，我们同样可以由三元函数（）的性质来断定由方程（）=0FFx,y,zx,y,z所确定的二元函数=的存在，以及这个函数的性质。

这就是下面的定理。

（x,y）z

隐函数存在定理2设函数（）在点的某一邻域内具有连续的偏Fx,y,zP（x,y,z）000

导数，且，，则方程（）=0在点的Fx,y,zF（x,y,z）,0F（x,y,z）,0（x,y,z）000z000000某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件z,f（x,y）

，并有z,f（x,y）000

FF,z,zyx=,=.（4）,,,xF,yFzz

这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式（4）作如下推导.

由于F（,）?

0,x,y（x,y）f

将上式两端分别对和求导，应用复合函数求导法则得yx

z,z+=0,+=0。

FFFFyxzz,x,y

因为连续，且,所以存在点的一个邻域，在这个邻域内F（x,y,z）,0（x,y,z）FFz000000zz?

0，于是得

FF,z,zyx,=,=。

,xF,yFzz

2,z222.例2设，求x，y，z,4z,02,x

222F2z,4x,y,zF解设（）=，则=2,=.应用公式（4），得xFx，y，z,4zxz

zx=。

2,z,x

再一次x对求偏导数，得

z（2,z），x2,z,x,22（2,z）,x

x,,,z，x

（2）,,22,z，x

（2）,z2,,,,.23,z,z

（2）

二、方程组的情形

下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。

我们不仅增加方程中变量的个数。

而且增加方程的个数，例如，考虑方程组

F（x,y,u,v）,0,,（5）,G（x,y,u,z）,0.,

这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组（5）就有可能确定两个二

G元函数。

在这种情形下，我们可以由函数F、的性质来断定由方程组（5）所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。

我们有下面的定理。

隐函数存在定理3设函数、在点的某一邻P（x,y,u,v）F（x,y,u,v）G（x,y,u,v）00000域内具有对各个变量的连续偏导数，又，,且偏导F（x,y,u,v）,0G（x,y,u,v）,000000000数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式）:

F,F

（F,G）,u,vJ,=,G,G,（u,v）

u,v

在点不等于零，则方程组，在点P（x,y,u,v）F（x,y,u,v）,0G（x,y,u,v）,000000

（x,y,u,v）的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数0000

u,u（x,y）,v,v（x,u），它满足条件，并有u,u（x,y）,v,v（x,y）000000

FFxv

GG,u1,（F,G）xv,,,,,FF,xJ,（x,v）uv

GGuv

FFux

GG,v1,（F,G）ux,,,,,（6）FF,xJ,（u,x）uv

GGuv

FFyv

GGyv1,（F,G）,u,,,,,FF,yJ,（y,v）uv

GGvv

FFuy

GG1,（F,G）uy,v,,,,.FFJ,y,（u,y）uv

GGuv

这个定理我们不证.

u,v,u,v例3设，求,,和.xu,yv,0,yu，xv,1,x,x,y,y解此题可直接利用公式（6），但也可依照推导公式（6）的方法来求解。

下面我们利用后

一种方法来做。

将所给方程的两边对求导并移项，得x

u,v,x,y,,u,,,x,x,,u,v,y，x,,v.,x,x,

x,y22在的条件下，J,,x，y,0yx

u,y

vx,uxu，yv,,,,22x,y,xx，y

x,u

y,v,vyu,xv.,,22x,y,xx，y

22y将所给方程的两边对求导，用同样方法在的条件下可得J,x，y,0

uxv,yu,vxu，yv,,,,.2222,y,yx，yx，y小结:

本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐

函数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一

个方程或方程组确定的隐函数的导数。

作业:

作业卡p14-15

第六节微分法在几何上的应用

教学目的:

根据导函数的几何性质，学习并掌握空间曲线的切线与法平面、曲面

的切平面与法线方程的形成过程和确定方法。

教学重点:

空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的方程。

教学难点:

曲线切线、曲面切平面的切向量。

教学内容:

一、空间曲线的切线与法平面

设空间曲线Г的参数方程为

（1）xtytztt,,,,,,,,,,（）,（）,（）,（）

这里假定式

（1）的三个函数都可导。

在曲线上取对应于的一点及对应于的邻近一点t,tM（x,y,z）t,t，,t00000

MMM'（x，,x,y，,y,z，,z）。

根据解析几何，曲线的割线的方程是000

x,xy,yz,z000,,.,x,y,z

MMMMTM当,沿着Г趋于M时，割线的极限位置就是曲线Г在点处的切线（图

t8―7）.用除上式的各分母，得

x,xy,yz,z000,,,,x,y,z

t,t,t

MMM令,?

这时（,t,0）,通过对上式取极限，即得曲线在点处的切线方程为

y,yz,zx,x000,.=

（2）,,,,（t）,t,t（）（）000

'（t）,,'（t）,,'（t）这里当然要假定不能都为零.如果个别为零，则应按空间解析几何000

有关直线的对称式方程的说明来理解。

切线的方向向量称为曲线的切向量。

向量

T,{,'（t）,,'（t）,,'（t）}000就是曲线Г在点处的一个切向量。

通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面，它是通过点MM

而以T为法向量的平面，因此这法平面的方程为M（x,y,z）000

（3）,'（t）（x,x），,'（t）（y,y），,'（t）（z,z）,0000000

23例1求曲线在点（1,1,1）处的切线及法平面方程。

x,t,y,t,z,t

2t,1解因为而点（1,1,1）,所对应的参数，所以x',1,y',2t,z',3t,ttt

T,（1,2,3）于是，切线方程为

x,1y,1z,1,,,123

法平面方程为

（x,1），2（y,1），3（z,1）,0,即x，2y，3z,6.

如果空间曲线Г的方程以

y,（x）,,,,z,（x）,

的形式给出，取x为参数，它就可以表为参数方程的形式

x,x,,

,y,（x）,,

z,,（x）.,

若,（x）,,（x）都在x=x处可导，那末根据上面的讨论可知，T,{1,,'（x）,,'（x）},因此曲线0

M（x,y,z）在点处的切线方程为000

xxyyzz,,,000,,,（4）,,,x,x1（）（）00

在点处的法平面方程为M（x,y,z）000

（5）（x,x），,'（x）（y,y），,'（x）（z,z）,0000

设空间曲线Г的方程以

F（x,y,z）,0,,（6）,G（x,y,z）,0,

的形式给出，是曲线Г上的一个点，又设有对各个变量的连续偏导数，M（x,y,z）FG,000

且

FG,（,）,0.yz,（,）（x,y,z）000

这时方程组（6）在点的某一邻域内确定了一组函数要求曲M（x,y,z）y,,（x）,z,,（x）.000

线Г在点M处的切线方程和法平面方程，只要求出然后代入（4）、（5）两式就行,'（x）,,'（x）,了.为此，我们在恒等式

F[x,,（x）,,（x）],0,

G[x,,（x）,,（x）],0

两边分别对x求全导数，得

F,Fdy,Fdz,，，,0,,,,x,ydx,zdx,,G,Gdy,Gdz,，，,0.,,x,ydx,zdx,

由假设可知，在点M的某个邻域内

（F,G）J,,0,,（y,z）

FFFFxyzx

GGGGdzdyxyzx,,,x,,x,,（）,故可解得,（）,FFFFdxdxyzyz

GGGGyzyz

M于是T,{1,,'（x）,,'（x）}是曲线在点处的一个切向量，这里

FFFFxyzx

GGGGxyzx00,,x,,（x）,,,（）,00FFFFyzyz

GGGGyzyz00分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点的值.把上面的切向量乘以TM（x,y,z）000FFyz得,GGyz0

,FFFFFF,,yzxyzx,T,,,,,1GGGGGG,,yzxyzx000,,这也是曲线在点M处的一个切向量，由此可写出曲线Г在点处的切线方程M（x,y,z）,000为

x,xy,yz,z000,,,（7）FFFFFFyzzxxy

GGGGGGyzzxxy000

曲线Г在点处的法平面方程为M（x,y,z）000

FFFFFFxyyzzx（x,x），（y,y），（z,z）,0.（8）000GGGGGGyzxyzx000

（F,G）,（F,G）,（F,G）,如果,0而中至少有一个不等于零，我们可得同样的结果.,（z,x）,（x,y）,（y,z）000

222例2求曲线,在点（1,-2,1）处的切线及法平面方程。

x，y，z,0x，y，z,6

解将所给方程的两边对x求导并移项，得

dydz,y，z,,x,,dxdx,dydz,，,,1.dxdx,

由此得

xzy,x

111,1dyz,xdzx,y,,,,,.yzyzdxy,zdxy,z

1111

dydz,0,,,1.dxdx（1,,2,1）（1,,2,1）

从而T,{1,0,,1},

故所求切线方程为

x,1y，2z,1,,,10,1

法平面方程为

（x,1），0，（y，2）,（z,1）,0

x,z,0.即

二、曲线的切平面与法线

我们先讨论由隐式给出曲面方程

F（）=0（9）x,y,z

作为它的特殊情形.的情形，然后把由显式给出的曲面方程zfxy,（,）

F设曲面?

由方程（9）给出，是曲面?

上的一点，并设函数（）的偏x,y,zM（x,y,z）000

M导数在该点连续且不同时为零.在曲面?

上，通过点任意引一条曲线（图8―8），假定曲线的参数方程为

（10）x,,（t）,y,,（t）,z,,（t）,

t,t对应于点M（x,y,z）且,'（t）,,'（t）,,'（t）不全为零，则由

（2）式可得这曲线的切0000000

线方程为

y,yz,zx,x000,,=,,,,（t）,t,t（）（）000

MM上通过点我们现在要证明，在曲面?

且在点处具有切线的任何曲线，它们在点M处的切线都在同一个平面上.事实上，因为曲线Г完全在曲面?

上，所以有恒等式

F[,（t）,,（t）,,（t）],0,

Fx,y,z（x,y,z）,'（t）,,'（t）,'（t又因（）在点处有连续偏导数，且和）存在，所以这000000

t,t恒等式左边的复合函数在时有全导数，且这全导数等于零:

d,,F,（t）,,（t）,,（t）,0,dtt,t0

即有

（11）Fx（x,y,z）,'（t），F（x,y,z）,'（t），F（x,y,z）,'（t）,00000y0000z0000

引入向量

n,{F（x,y,z）,F（x,y,z）,Fz（x,y,z）},x000y000000则（11）式表示曲线（10）在点M处的切向量

T,{,'（t）,,'（t）,,'（t）}000

与向量垂直.因为曲线（10）是曲面上通过点M的任意一条曲线，它们在点M的切线都与同一

个向量垂直,所以曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上（图8―8）.n

这个平面称为曲面?

M在点的切平面.这切平面的方程是

（12）F（x,y,z）（x,x），F（x,y,z）（y,y），F（x,y,z）（z,z）x0000y0000z0000

而垂直于切平面（12）的直线称为曲面在该点的法线。

法线方程是通过点M（x,y,z）000

xxyyzz,,,000.（13）,,FxyzFxyzFxyz（,,）（,,）（,,）x000y000z000

垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量

Mn,{F（x,y,z）,F（x,y,z）,Fz（x,y,z）},就是曲面?

在点处的一个x000y000000

法向量。

现在来考虑曲面方程

（14）z,（x,y）

Fx,y,z令（）=—z,f（x,y）

FFFx,y,zx,y,zx,y,z可见（）=,（）=,（）=-1.f（x,y）f（x,y）xxyyz

（x,y）于是，当函数f（x,y）的偏导数f（x,y）、f（x,y）在点连续时，曲面（14）在xy00M（x,y,z）点处的法向量为000

nfxyfxy,,（（,）,（,）,1）xy0000

切平面方程为

f（x,y）（x,x），f（x,y）（y,y）,（z,z）,0,x000y0000或

（15）z,z,f（x,y）（x,x），f（x,y）（y,y）0x000y000而法线方程为

x,xy,yz,z000,,.fxyfxy,（,）（,）1xy0000

这里顺便指出，方程（15）右端恰好是函数在点的全微分，而左端是（x,y）z,（x,y）00切平面上点的竖坐标的增量.因此，函数在点的全微分，在几何上表示曲（x,y）z,（x,y）00面在点处的切平面上点的竖坐标的增量.（x,y,z）z,（x,y）000

如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使

得它与轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为z

f,fyxcos,,,,cos,,2222，f，f，f，f11xyxy

1,cos,.22，f，f1xy

f（x,y）,f（x,y）这里，把分别简记为,f。

fx00y00yx

222例3求球面在点（1,2,3）处的切平面及法线方程。

x，y，z,14

222Fx,y,z解（）=,x，y，z,14

FFF=（,,）=n（2,2,2）,xyzxyz

|=（2,4,6）.n（1,2,3）

所以在点（1,2,3）处此球面的切平面方程为

2（x,1），4（y,2），6（z,3）,0,即x，2y，3z,14,0,

法线方程为

x,1y,2z,3,,,123

xyz即,,.123

由此可见，法线经过原点（即球心）.

小结:

本节在空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线两方面研究了微分

法的应用。

利用导函数的几何性质，针对空间曲线的一般表现方式，给出

了空间曲线的切向量，从而确定了空间曲线的切线与法平面方程;同时针

对由隐式给出的曲面方程，推导出曲面的切平面与法线方程，并给出了曲

面法向量的方向角。

作业:

作业卡p16-17

第七节方向导数与梯度

教学目的:

掌握方向导数的定义和求法;掌握梯度的定义、求法及其与等高线的

关系。

教学重点:

方向导数与梯度的求法。

教学难点:

方向角的确定。

教学内容:

一、方向导数

P现在我们来讨论函数在一点沿某一方向的变化率问题。

z,f（x,y）

lPP设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线。

设轴正xz,f（x,y）（x,y）U（p）

lP,,,y向到射线的转角为（逆时针方向:

0;顺时针方向:

0），并设,（+?

+xx,,

lPyyy?

）为上的另一点且,?

。

我们考虑函数的增量（+?

）,xxU（p）ff（x,y）

22l,,（,x），（,y）PPPP与、,两点间的距离的比值.当,沿着趋于时，如果这个比

flP的极限存在，则称这极限为函数f（x,y）在点沿方向的方向导数，记作，即,l

（,）（,）,ffx，,xy，,y,fxy.

（1）,lim,,l,,0

f关于方向导数的存在及计算，我们有下面的定理。

定理如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任一方向的Pz,f（x,y）（x,y）方向导数都存在，且有

f,f,f

（2）,，cos,sin,,,l,x,y

l其中为轴到方向的转角。

证根据函数在点P可微分的假定，函数的增量可以表达为z,f（x,y）（x,y）

ff,,fxxyyfxyxy（,）（,）（）.,，,，,,,,，,，,xy,,两边各除以，得到,

（,）（,）fx，,xy，,y,fxy

（）,f,x,f,y,,,，,，,,,,x,y

,f,f,（）,,cossin.,，，,,x,y

fxxyyfxyff（,）（,），,，,,,,所以,,limcossin.,，,,0,,xy,这就证明了方向导数存在且其值为

f,f,f,，cos,sin,.,l,x,y

2yPPe例1求函数=在点处沿从点到点，，方向的方向导数。

x2,,1（1,0）（1,0）Qz

ll,,.解这里方向即向量,=,的方向，因此轴到方向的转角，1,,1x,PQ4

z,z2y2y,e,因为,2xe,,x,y

z,z,1,2在点（1,0），,.故所求方向导数,x,y

z,,2,,,，,,,1cos（）2sin（）.,l442

ll对于三元函数=来说，它在空间一点沿着方向（设方向的方Puf（x,y,z）（x,y,z）

向角为的方向导数，同样可以定义为，，,、,、,

，,，,，,,ffxxyyzzfxyz（,,）（,,）（3）,lim,,,0,,l

222,,（,x），（,y），（,z）其中，?

=,?

=。

y,,cos,cos,xcos,z

l同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可微分，那末函数在该点沿着方向的方向导数为

（4）,f,f,f,f,，，cos,cos,cos,.,l,x,y,z

二、梯度

与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.在二元函数的情形，设函数在z,f（x,y）

DD平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量（x,y）,

,,,ffij，,,,xy

P这向量称为函数=在点的梯度，记作，即（x,y）（x,y）gradf（x,y）z

,,,ff=ij，,gradf（x,y）,,xy

,l如果设是与方向同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可eij,，cossin,,

知

,,,,,,fffffcossin,cos,sin,,,,,，,,,,,,lxyxy,,,,,,,

gradfxye（,）,,

gradfxygradfxye（,）cos（（,）^,）.,

gradfxye（,）,egradf（x,y）这里，（）表示向量与的夹角。

由此可以看出，就是梯度在射ll线上的投影，当方向与梯度的方向一致时，有

（）,1，gradfxye（,）,cos

f从而有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说,梯度的方向是函数,l

在这点增长最快的方向.因此，我们可以得到如下结论:

（x,y）f

函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它

的模为方向导数的最大值.

由梯度的定义可知，梯度的模为

22,,,f,f,,,,gradfxy,，（,）.,,,,,x,y,,,,,f当不为零时，那末轴到梯度的转角的正切为x,x

ytan,,.,f

x我们知道，一般说来二元函数在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c（cz,f（x,y）

l是常数）所截得的曲线的方程为

z,f（x,y）,,,z,c.,

*lL这条曲线在面上的投影是一条平面曲线，它在平面直角坐标系中的方程为xOyxOy

f（x,y）,c.

**LL对于曲线上的一切点，已给函数的函数值都是，所以我们称平面曲线为函数c

的等值线.z,f（x,y）

由于等值线上任一点处的法线的斜率为f（x,y）,c（x,y）

f11y,,,,,dyf,,fxx,,,dx,,fy,,

,,,ff所以梯度ij，,,xy

为等值线上点处的法向量，因此我们可得到梯度与等值线的下述关系:

函数在Pz,f（x）点的梯度的方向与过点的等值线在这点的法线的一个方向相同，且PP（x,y）f（x,y）,c

从数值较低的等值线指向数值较高的等值线

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