3三角形中的模型一教师版鸟头模型五大模型.docx
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3三角形中的模型一教师版鸟头模型五大模型
本讲主要是通过等积变形体会鸟头模型的证明,并在复杂图形中找到鸟头模型来解决相关面积问题。
例1:
用三种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.
解析:
省略。
练习1
(1)用三种不同的方法,把任意一个三角形分成六个面积相等的三角形.
解析:
省略。
(2)用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形,使它们的面积比为1∶3∶4.
(3)如图,BD长12厘米,DC长4厘米,B、C和D在同一条直线上。
求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?
解析:
12÷4=3(倍)
(4)如图,BD长12厘米,DC长4厘米,B、C和D在同一条直线上。
求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?
解析:
12÷4=3(倍)
(5)如右图,在梯形ABCD中,AC与BD是对角线,其交点O,问:
△AOB与△COD面积是否相等?
解析:
相等。
(6)正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形ABCD边长为10厘米,则图中三角形BDF面积为多少平方厘米?
解析:
10÷2=5(平方厘米)
(7)图中三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍,求梯形ABCD的面积。
解析:
15+5+15+45=80(平方厘米)
(8)如右图,在平行四边形ABCD中,直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若
,求△BEF的面积。
解析:
△BEF的面积为1。
(9)如图,三角形两边上的点都是各边上的五等分点。
问:
阴影部分与空白部分的面积比为多少?
解析:
例2
(1)已知三角形ADE的面积是1,AD:
AB=2:
3,AE:
AC=1:
4,求三角形ABC的面积。
解析:
4×3÷(2×1)×1=6
(2)在△ABC中,D在AB的延长线上,
,E在AC的延长线上,
,两个三角形的总面积为250平方厘米。
求△ABC的面积。
解析:
250÷(2×2+1)=50(平方厘米)
50×4=250(平方厘米)
教学建议:
这是鸟头定理第一种类型:
两个三角形中有一个角相等,这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角)两夹边的乘积之比.
练习2
(1)三角形ABC中,AB是AD的5倍,AC是AE的3倍,如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少?
解析:
3×5×1=15
(2)D是AC的中点,AB边上有3等分点E,已知△DCE的面积为20平方厘米,求△ABC的面积.
解析:
20×2×[2×3÷(2×2)]=60(平方厘米)
(3)如图,三角形ABC被分成了甲、乙两部分,BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部分面积是甲部分面积的几倍?
解析:
4÷4=16÷3=2(2+1)×(1+1)-1=5(倍)
(4)如图,在三角形ABC中,D为BC的中点,E为AB上的一点,且BE=
AB,已知四边形EDCA的面积是35,求三角形ABC的面积.
解析:
35÷(3×2-1)=7
7×3×2=42
(5)如图,在三角形ABC中,BC等于10厘米,BC边上的高等于6厘米,D在AC上,并且DC=DA,E是BD上一点,BD=3BE,求三角形BEC的面积。
解析:
10×6÷2=30
30÷(2×3)=5
(6)如图,长方形ABCD的面积是1,M是AD边的中点,N在AB边上,且BN是AN的两倍,那么阴影部分的面积等于多少?
解析:
(7)在四边形ABCD中,其对角线AC、DB交于E点。
且AF=CE,DE=BG。
已知四边形ABCD的面积为1,求△EFG的面积。
解析:
1
(8)图中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE长的3倍,EF的长是BF长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?
解析:
22.5
(9)已知四边形ABCD中,CD=3DF,AE=3ED,三角形BFC的面积是6,四边形BEDF的面积为7,求大四边形ABCD的面积。
解析:
25
例3
已知三角形ABC的面积是9,AD:
AB=1:
2,AE:
EC=1:
1,求三角形AED的面积。
解析:
2.25
练习3
(1)如图,三角形ABC的面积为3平方厘米,其中AB:
BE=2:
5,BC:
CD=3:
2,三角形BDE的面积是多少?
(第四届“迎春杯”试题改编题)
解析:
12.5
(2)如下左图,在△ABC中,D、E分别是BC、AB的三等分点,且△ABC的面积是54,求△CDE的面积。
解析:
12
(3)已知正方形ABCD的边长是5厘米,又EF=FG,FD=DG,求三角形ECG的面积。
解析:
50
(4)如图在△DEF包含着一个面积为1平方厘米的等腰△ABC,其中AB=AC,AC:
AF=1:
3,AB:
AD=1:
2,BC:
CE=1:
2,求△DEF的面积。
解析:
16
(5)如图,四边形EFGH包含着一个面积为5平方厘米的四边形ABCD,其中A、B、C、D分别是EB、FC、DG、AH四条线段的三等分点。
求四边形EFGH的面积。
解析:
65
例4
如图,△ABC与△DAE皆为等腰三角形,其中∠BAD与∠EAC都是90度,
,两个三角形的面积和是450平方厘米。
分别求出两个三角形的面积。
解析:
360
练习4
(1)如图以△ABC的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED,连接HG、EF、ID,又得到三个三角形,已知△ABC的面积是10平方厘米,则另外三个三角形的面积和是多少?
解析:
30
(2)园林小路,曲径通幽.如下图所示,小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。
问:
内圈红色三角形石板的总面积大,还是外圈青色三角形石板的总面积大?
请说明理由.
解析:
相等。
例5
如图所示,正方形ABCD边长为8厘米,E是AD的中点,F是CE的中点,G是BF的中点,三角形ABG的面积是多少平方厘米?
解析:
1.5
练习5
(1)已知△DEF的面积为7平方厘米,BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积
解析:
24
(2)如下图,在△ABC中,BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC=
BC,求阴影部分面积占三
角形ABC面积的分之几?
解析:
。
(3)如图,将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、
G、H,若四边形ABCD的面积为5,则四边形EFGH的面积是.
解析:
75
(4)如图所示,正方形ABCD边长为6厘米,
三角形DEF的面积为多少平方厘米?
解析:
。
(5)如图,在△ABC中,延长AB至D,使BD=AB,延长BC至E,使
,F是AC的中点,若△ABC的面积是2,则△DEF的面积是多少?
解析:
3.5
(6)(清华附中入学测试题)如图,在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点,并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1,则△DCF的面积等于多少?
解析:
0.75
(7)(北京四中入学测试题)如图,书籍CD=5,ED=7,EF=15,FG=6,线段AB将图形分成两个部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是多少?
解析:
40
专题小结
共角定理(鸟头模型)
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图(或D、E分别在BA、CA延长线上),则(夹角两边:
)
即,共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
(1)三角形ABC被线段DE分成三角形BDE和四边形ACDE两部分,问:
三角形BDE的面积是四边形ACDE面积的几分之几?
(2)如右图,已知在△ABC中,BE=3AE,CD=2AD.若△ADE的面积为1平方厘米.求三角形ABC的面积.
(3)如图在△ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:
AD=5:
2,AE:
EC=3:
2,
,求△ABC的面积.
(4)如图,三角形ABC的面积为1,其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少?
(5)已知正方形ABCD和正方形DEFG,且正方形ABCD的边长为8分米,图中阴影部分的面积是多少平方分米?
(6)如右图所示,已知三角形ABC面积为1,延长AB至D,使BD=AB;延长BC至E,使CE=2BC;延长CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面积。
(7)如图,四边形EFGH的面积是66平方米,EA=AB,CB=BF,DC=CG,HD=DA,求四边形ABCD的面积。
(9)已知正方形ABCD的边长为4,E、P、F分别是AD、CE、BP的中点,三角形DBF的面积是多少?