3三角形中的模型一教师版鸟头模型五大模型.docx
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3三角形中的模型一教师版鸟头模型五大模型
本讲主要是通过等积变形体会鸟头模型的证明，并在复杂图形中找到鸟头模型来解决相关面积问题。
例1：
用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．
解析：
省略。
练习1
（1）用三种不同的方法，把任意一个三角形分成六个面积相等的三角形．
解析：
省略。
（2）用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为1∶3∶4．
（3）如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
解析：
12÷4=3（倍）
（4）如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
解析：
12÷4=3（倍）
（5）如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，问：
△AOB与△COD面积是否相等？
解析：
相等。
（6）正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？
解析：
10÷2=5（平方厘米）
（7）图中三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积。
解析：
15+5+15+45=80（平方厘米）
（8）如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若
，求△BEF的面积。
解析：
△BEF的面积为1。
（9）如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。
问：
阴影部分与空白部分的面积比为多少？
解析：
例2
（1）已知三角形ADE的面积是1，AD:
AB=2:
3，AE:
AC=1:
4，求三角形ABC的面积。
解析：
4×3÷（2×1）×1=6
（2）在△ABC中，D在AB的延长线上，
，E在AC的延长线上，
，两个三角形的总面积为250平方厘米。
求△ABC的面积。
解析：
250÷（2×2+1）=50（平方厘米）
50×4=250（平方厘米）
教学建议：
这是鸟头定理第一种类型：
两个三角形中有一个角相等，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角（相等角）两夹边的乘积之比．
练习2
（1）三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？
解析：
3×5×1=15
（2）D是AC的中点，AB边上有3等分点E,已知△DCE的面积为20平方厘米，求△ABC的面积.
解析：
20×2×[2×3÷（2×2）]=60（平方厘米）
（3）如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
解析：
4÷4=16÷3=2（2+1）×（1+1）-1=5（倍）
（4）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=
AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.
解析：
35÷（3×2-1）=7
7×3×2=42
（5）如图，在三角形ABC中，BC等于10厘米，BC边上的高等于6厘米，D在AC上，并且DC=DA，E是BD上一点，BD=3BE，求三角形BEC的面积。
解析：
10×6÷2=30
30÷（2×3）=5
（6）如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且BN是AN的两倍，那么阴影部分的面积等于多少？
解析：
（7）在四边形ABCD中，其对角线AC、DB交于E点。
且AF=CE，DE=BG。
已知四边形ABCD的面积为1，求△EFG的面积。
解析：
1
（8）图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？
解析：
22.5
（9）已知四边形ABCD中，CD=3DF，AE=3ED，三角形BFC的面积是6，四边形BEDF的面积为7，求大四边形ABCD的面积。
解析：
25
例3
已知三角形ABC的面积是9，AD:
AB=1:
2，AE:
EC=1:
1，求三角形AED的面积。
解析：
2.25
练习3
（1）如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:
BE=2:
5，BC:
CD=3:
2，三角形BDE的面积是多少？
（第四届“迎春杯”试题改编题）
解析：
12.5
（2）如下左图，在△ABC中，D、E分别是BC、AB的三等分点，且△ABC的面积是54，求△CDE的面积。
解析：
12
（3）已知正方形ABCD的边长是5厘米，又EF=FG，FD=DG，求三角形ECG的面积。
解析：
50
（4）如图在△DEF包含着一个面积为1平方厘米的等腰△ABC，其中AB=AC，AC：
AF=1：
3，AB：
AD=1：
2，BC:
CE=1：
2，求△DEF的面积。
解析：
16
（5）如图，四边形EFGH包含着一个面积为5平方厘米的四边形ABCD，其中A、B、C、D分别是EB、FC、DG、AH四条线段的三等分点。
求四边形EFGH的面积。
解析：
65
例4
如图，△ABC与△DAE皆为等腰三角形，其中∠BAD与∠EAC都是90度，
，两个三角形的面积和是450平方厘米。
分别求出两个三角形的面积。
解析：
360
练习4
（1）如图以△ABC的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED,连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知△ABC的面积是10平方厘米，则另外三个三角形的面积和是多少？
解析：
30
（2）园林小路，曲径通幽.如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。
问：
内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？
请说明理由.
解析：
相等。
例5
如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？
解析：
1.5
练习5
（1）已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积
解析：
24
（2）如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=
BC,求阴影部分面积占三
角形ABC面积的分之几？
解析：
。
（3）如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、
G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是．
解析：
75
（4）如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，
三角形DEF的面积为多少平方厘米？
解析：
。
（5）如图，在△ABC中，延长AB至D,使BD=AB，延长BC至E,使
，F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？
解析：
3.5
（6）（清华附中入学测试题）如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，则△DCF的面积等于多少？
解析：
0.75
（7）（北京四中入学测试题）如图，书籍CD=5，ED=7，EF=15，FG=6，线段AB将图形分成两个部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是多少？
解析：
40
专题小结
共角定理（鸟头模型）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．
如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图（或D、E分别在BA、CA延长线上），则（夹角两边：
）
即，共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比
（1）三角形ABC被线段DE分成三角形BDE和四边形ACDE两部分，问：
三角形BDE的面积是四边形ACDE面积的几分之几？
（2）如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
（3）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:
AD=5:
2，AE:
EC=3:
2，
，求△ABC的面积．
（4）如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？
（5）已知正方形ABCD和正方形DEFG，且正方形ABCD的边长为8分米，图中阴影部分的面积是多少平方分米？
（6）如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。
（7）如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD的面积。
（9）已知正方形ABCD的边长为4，E、P、F分别是AD、CE、BP的中点，三角形DBF的面积是多少？
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