学年人教版九年级上册数学把关提分类专练四223 实际问题与二次函数解答题专练.docx
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学年人教版九年级上册数学把关提分类专练四223实际问题与二次函数解答题专练
22.3实际问题与二次函数(解答题专练)(四)
1.有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.
(1)在如图所示的直角坐标系中,求出该抛物线的解析式;
(2)设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.
2.如图,在△ABC中,BC=7cm,AC=24cm,AB=25cm,P点在BC上,从B点到C点运动(不包括C点),点P运动的速度为2cm/s;Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点),速度为5cm/s.若点P、Q分别从B、C同时运动,请解答下面的问题,并写出探索的主要过程:
(1)经过多少时间后,P、Q两点的距离为5
cm2?
(2)经过多少时间后,S△PCQ的面积为15cm2?
(3)请用配方法说明,何时△PCQ的面积最大,最大面积是多少?
3.商场销售一批衬衫,每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,减少库存,决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果一件衬衫每降价1元,每天可多售出2件.
(1)若商场每天要盈利1200元,每件应降价多少元?
(2)设每件降价x元,每天盈利y元,则每件降价多少元时,商场每天的盈利达到最大?
盈利最大是多少元?
4.某公司经销一种绿茶,每千克成本为50元.市场调查发现,在一段时间内,销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化,具体关系式为:
w=﹣2x+240,且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元),解答下列问题:
(1)求y与x的关系式;
(2)当x取何值时,y的值最大?
(3)如果公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润,销售单价应定为多少元?
5.某商场以每件42元的价钱购进一种服装,根据试销得知:
这种服装每天的销售量t(件),与每件的销售价x(元/件)可看成是一次函数关系:
t=﹣3x+204
(1)写出商场卖这种服装每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差);
(2)通过对所得函数关系式进行配方,指出:
商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适;最大销售利润为多少?
6.如图,矩形的长是4cm,宽是3cm,如果将长和宽都增加xcm,那么面积增加ycm2.
(1)求y与x的函数表达式;
(2)求当边长增加多少时,面积增加8cm2.
7.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM为12米,现在O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示).
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2)求出这条抛物线的函数解析式;
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D点在抛物线上,B、C点在地面OM上.为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?
请你帮施工队计算一下.
8.2009年度东风公司神鹰汽车改装厂开发出A型农用车,其成本价为每辆2万元,出厂价为每辆2.4万元,年销售价为10000辆,2010年为了支援西部大开发的生态农业建设,该厂抓住机遇,发展企业,全面提高A型农用车的科技含量,每辆农用车的成本价增长率为x,出厂价增长率为0.75x,预测年销售增长率为0.6x.(年利润=(出厂价﹣成本价)×年销售量)
(1)求2010年度该厂销售A型农用车的年利润y(万元)与x之间的函数关系.
(2)该厂要是2010年度销售A型农用车的年利润达到4028万元,该年度A型农用车的年销售量应该是多少辆?
9.3月国际风筝节在铜仁市万山区举办,王大伯决定销售一批风筝,经市场调研:
蝙蝠型风筝进价每个为10元,当售价每个为12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个,请回答以下问题:
(1)用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30);
(2)王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为多少?
(3)当售价定为多少时,王大伯获得利润最大,最大利润是多少?
10.凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元,售价20元,多买优惠,优惠方法是:
凡是一次买10只以上的,每多买一只,所买的全部计算器每只就降价0.1元,例如:
某人买18只计算器,于是每只降价0.1×(18﹣10)=0.8(元),因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买,但是每只计算器的最低售价为16元.
(1)求一次至少购买多少只计算器,才能以最低价购买?
(2)求写出该文具店一次销售x(x>10)只时,所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)一天,甲顾客购买了46只,乙顾客购买了50只,店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多,请你说明发生这一现象的原因;当10<x≤50时,为了获得最大利润,店家一次应卖多少只?
这时的售价是多少?
参考答案
1.解:
(1)设该抛物线的解析式是y=ax2,
结合图象,把(10,﹣4)代入,得
100a=﹣4,
a=﹣
,
则该抛物线的解析式是y=﹣
x2.
(2)当x=9时,则有y=﹣
×81=﹣3.24,
4+2﹣3.24=2.76(米).
所以水深超过2.76米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.
2.解:
(1)设经过ts后,P、Q两点的距离为5
cm,
ts后,PC=7﹣2tcm,CQ=5tcm,
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2,
代入数据
;
解得t=1或t=﹣
(不合题意舍去);
(2)设经过ts后,S△PCQ的面积为15cm2
ts后,PC=7﹣2tcm,CQ=5tcm,
S△PCQ=
=
×(7﹣2t)×5t=15
解得t1=2,t2=1.5,
经过2或1.5s后,S△PCQ的面积为15cm2
(3)设经过ts后,△PCQ的面积最大,
ts后,PC=7﹣2tcm,CQ=5tcm,
S△PCQ=
×PC×CQ=
×(7﹣2t)×5t=
×(﹣2t2+7t)
当t=﹣
时,即t=
=1.75s时,△PCQ的面积最大,
即S△PCQ=
×PC×CQ=
×(7﹣2×1.75)×5×1.752=
当时间为1.75秒时,最大面积为
.
3.解:
(1)设每件降价x元,则销售了(20+2x)件,
(40﹣x)(20+2x)=1200,
解得x1=10,x2=20,
因为要减少库存,x=20.即降价20元;
(2)y=(40﹣x)(20+2x)
=﹣2x2+60x+800
当x=15元时,有最大值y=1250,
答:
降价20元时可降低库存,并使每天盈利1200元;每件降价15元时商场每天的盈利达到最大1250元.
4.解:
(1)y=(x﹣50)•w=(x﹣50)•(﹣2x+240)=﹣2x2+340x﹣12000,
因此y与x的关系式为:
y=﹣2x2+340x﹣12000.
(2)y=﹣2x2+340x﹣12000=﹣2(x﹣85)2+2450,
∴当x=85时,在50<x≤90内,y的值最大为2450.
(3)当y=2250时,可得方程﹣2(x﹣85)2+2450=2250,
解这个方程,得x1=75,x2=95;
根据题意,x2=95不合题意应舍去.
答:
当销售单价为75元时,可获得销售利润2250元.
5.解:
(1)由题意,销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系为
y=(x﹣42)(﹣3x+204),
即y=﹣3x2+330x﹣8568.
故商场卖这种服装每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式为y=﹣3x2+330x﹣8568;
(2)配方,得y=﹣3(x﹣55)2+507.
故当每件的销售价为55元时,可取得最大利润,每天最大销售利润为507元.
6.解:
(1)由题意可得:
(4+x)(3+x)﹣3×4=y,
化简得:
y=x2+7x;
(2)把y=8代入解析式y=x2+7x中得:
x2+7x﹣8=0,
解之得:
x1=1,x2=﹣8(舍去).
∴当边长增加1cm时,面积增加8cm2
7.解:
(1)M(12,0),P(6,6)
(2)∵顶点坐标(6,6)
∴设y=a(x﹣6)2+6(a≠0)
又∵图象经过(0,0)
∴0=a(0﹣6)2+6
∴
∴这条抛物线的函数解析式为y=﹣
(x﹣6)2+6,即y=﹣
x2+2x;
(3)设A(x,y)
∴A(x,﹣
(x﹣6)2+6)
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC=﹣
(x﹣6)2+6,
根据抛物线的轴对称性,可得:
OB=CM=x,
∴BC=12﹣2x,即AD=12﹣2x,
∴令L=AB+AD+DC=2[﹣
(x﹣6)2+6]+12﹣2x=﹣
x2+2x+12=﹣
(x﹣3)2+15.
∴当x=3,L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米.
8.解:
(1)由题意得:
y=[2.4×(1+0.75x)﹣2(1+x)]×10000×(1+0.6x)=﹣1200x2+400x+4000;
(2)由y=4028,即﹣1200x2+400x+4000=4028,
解得x1=0.1,x2=
.
该年度A型农用车的年销售量=10000(1+0.6x)
将x1=0.1,x2=
代入得10600辆或11400辆.
9.解:
(1)设蝙蝠型风筝售价为x元时,销售量为y个,
根据题意可知:
y=180﹣10(x﹣12)=﹣10x+300(12≤x≤30).
(2)设王大伯获得的利润为W,则W=(x﹣10)y=﹣10x2+400x﹣3000,
令W=840,则﹣10x2+400x﹣3000=840,
解得:
x1=16,x2=24,
答:
王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为16元.
(3)∵W=﹣10x2+400x﹣3000=﹣10(x﹣20)2+1000,
∵a=﹣10<0,
∴当x=20时,W取最大值,最大值为1000.
答:
当售价定为20元时,王大伯获得利润最大,最大利润是1000元.
10.解:
(1)设一次购买x只,
则20﹣0.1(x﹣10)=16,
解得:
x=50.
答:
一次至少买50只,才能以最低价购买;
(2)当10<x≤50时,
y=[20﹣0.1(x﹣10)﹣12]x=﹣0.1x2+9x,
当x>50时,y=(16﹣12)x=4x;
综上所述:
y=
;
(3)y=﹣0.1x2+9x=﹣0.1(x﹣45)2+202.5,
①当10<x≤45时,y随x的增大而增大,即当卖的只数越多时,利润更大.
②当45<x≤50时,y随x的增大而减小,即当卖的只数越多时,利润变小.
且当x=46时,y1=202.4,
当x=50时,y2=200.
y1>y2.
即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象.
当x=45时,最低售价为20﹣0.1(45﹣10)=16.5(元),此时利润最大.