线性代数公式手册doc.docx
《线性代数公式手册doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数公式手册doc.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
线性代数公式手册doc
线性代数1
（-）行列式1
（二）矩阵2
（三）向量5
（四）线性方程组8
（五）矩阵的特征值和特征向量10
（六）二次型11
线性代数
（-）行列式
考试内容
对应公式、定理、概念
行列式的行列式按行（列）展开定理
概念和基
本性质、⑴设A=（%）g,则为%+0仍2+•••+《/,•〃='}
行列式按IQ'
行（列）一
展开定理
0,山
即AA*=A*A=|A|E,其中
Ai心…Ah
A*=A2盅2…An2=（A”）=（Aj
••••••••••••
人〃…
（2）设A,B为〃阶方阵，则|设=\A\\B\=\B\\A\=\BA\
但|a±b|=|a|±b不一定成立
（3）|姐|=”|人|,人为邠介方阵
（4）介溯•，则目A|;|妒H（耕nJ3$）|术目A”S22）
=|A||8|,A,8为方阵,
QA
但=（-irqA||B|.
11•••1
（6）范德蒙行列式Dn=A,土…'=n）
设A是n阶方阵，=是A的n个特征值，贝ij
Mi=m
i=l
（二）矩阵
考试内容
对应公式、定理、概念
矩阵的概念，矩阵的线性运
r«n%…I
矩阵：
个数与.排成"7行〃列的表格""""ain称
算，矩阵的乘法，
[_am\aml…a,nnJ
为矩阵，简记为A,或（勾板.若m则称A是〃阶矩阵或n
阶方阵.
矩阵的线性运算
1矩阵的加法设A=0j）,B=（bjj）是两个mx〃矩阵，则mxn
矩阵C=（%）=%+如称为矩阵A与8的和，记为A+B=C
2矩阵的数乘设A=（%）是〃7X〃矩阵，k是一个常数，则
〃2X〃矩阵（3/称为数&与矩阵人的数乘，记为kA.
3矩阵的乘法设A=（%）是mx〃矩阵，B=（外）是矩阵，
那么mxs矩阵C=（句）,其中
ctj=.+ai2b2j+•••+《,/%•=£《也・称为人与8的乘积的乘
&=i
积，记为C=
方阵的幕，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，
1疽、妒、A*三者之间的关系
1）（Ar）T=A,（AB）t=BrAr,（M）r=Mr,（A±B）r=A7±B7
2）（"）T=A,（AB）-|=矿顷T,（屈）T=』A：
但
k
（人±B）T=/T‘土Bi不一定成立，
3）（A*）*=|Ar2A（〃>3）,（AB）*=B*A*,
（M）*=r_|A*（/7>2）.但（A±B）*=A*土B*不一定成立
4）（A-1）r=（Ar）-1,（A-1）*=（A*）-1,（A*）r=（Ar）*
2有关A*的结论
1）M*=A*A=|A|E
2）|A*|=|A|i（n>2）,（姐）*=广A*,（A*）*=|A件A（n>3）
3）若A可逆,则A*=|A|A-,,（A*）*=—A
1A|
（A）=n
4）若A为〃阶方阵，则尸（A*）=<1,r（A）=n-\
|o,r（A）3有关Q的结论
A可逆。
AB=E;=|A|。
0;=r（A）=n;
0AnJ以表示为初等矩阵的乘积；
<=>A无零特征值;<=>Ax=O只有零解
矩阵的初等变换，
初等矩阵，矩阵的秩，矩阵等价，分块矩阵及其运算
1有关矩阵秩的结论
1）秩r（A）二行秩=列秩；
2）r（H,g）Vmin（m,〃）；
3）A^0=>r（A）>1；
4）r（A±B）5）初等变换不改变矩阵的秩
6）r（A）+r（B）-n7）若A-】存在=>r（AB）=r（B）;若B'X存在
=>r（AB）=r（A）;
若r（A»xJ=n=>「（AB）=r（B）;
若,（A*）=n=>「（AB）=r（A）;
8）r（Ag,）=〃oAx=O只有零解
2分块求逆公式
（A0丫*_⑷o）.
〔0B）~[oB-J；
（AeVA-'-人赤-]
[oB）~[oB~l）
（A0丫_「足0）
[cB）~[-B-]CA~}B~l）9
（n4V1（cE、
_=.这里A，B均为可逆方阵
槌o）3oj
（三）向量
==|
考试内容
对应公式、定理、概念
向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量的线性相关与线性无关
1有关向量组的线性表示
（1）0,%,•••，《线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示.
（2）若％,%,•••,名线性无关，弓,％,…,/,/?
线性相关<=>°
可以由《，四，…，/惟线性表示.
（3）“可以由％,%,•••,/线性表示
2有关向量组的线性相关性
（1）部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.
⑵①n个n维向量
线性无关<=>|[%,%，…，％]I/O，
n个n维向量线性相关
<=>1
%1n+1个n维向量线性相关.
%1若/，角…％线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关
向量组的
1有关向量组的线性表示
（I）%,线性相关V*至少有一个向量可以用其余向
极大线性
量线性表示.
无关组，
⑵若线性无关，［,%,•.•,《，"线性相关<=>0
等价向量组，向量
可以由％,%,•••,%惟一线性表示.
组的秩
（3）小可以由0,%,•••,/线性表示
0武％,%,・・・，％）=尸（0,%,•••,《，”）
1设「（A*,）=',则A的秩尸（A）与A的行列向量组的线性
向量组的
相关性关系为：
秩与矩阵的秩之间的关系，
⑴若,（&x〃）=r=m，则A的行向量组线性无关•
向量空间及相关概
（2）若尸（凡弘）=r念
（3）若尸（凡弘）=r=n，则A的列向量组线性无关.
（4）若r（A/rixn）=厂V〃，则A的列向量组线性相关
n维向量空间的基
1基变换公式及过渡矩阵
变换和坐
标变换，
过渡矩阵
若与*,”2,…，腐是向量空间V的两组基,则基变换公式为
[勺C】2…
0,/V."』）=（q，%，...，％）%%%=（%%,...,%）c
K%…C；J
其中C是可逆矩阵，称为由基％,%,•••,%到基旗队的过渡矩阵
2坐标变换公式
若向量/在基%,%，••，%与基的坐标分别是
X=（XpX2,---,Xn）f,丫=（凹况，…即
7=矽|+x2a2+・・・+矽“=y{Px+y2/J2+•••+月尻，则向量坐标变换公式为X=CT或丫=C'X
其中c是从基％,%,•••,%到基艮印*•••，%的过渡矩阵
向量的内积，线性无关向量组的正交规范化方法
内积：
（a,。
）*"+a2b2+•••+anbn=a'[3=p1a
Schmidt正交化
若%%,•叱线性无关，则可构造角腐，…』使其两两正交，且同仅是%,%,・•,％的线性组合0=1,2,•••,〃），再把用单位化，记乙=禹，则X，*，•••，X是规范正交向量组.其中
|月1
”1=0，
腐=%-零钮
22（*,"
少（^A）0（%，窿
33叩邙\）'2*
B_（%,*）、_皿‘助g&
ss叩、q）'（A>A）2如，幻）
规范正交基，正交矩阵及其性质
1正交基及规范正交基
向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基
（四）线性方程组
考试内容
对应公式、定理、概念
线性方程
1克莱姆法则
组的克莱
《内+如易+・..+《,山=4
姆法则，
线性方程组,内+。
22冬+•••+%叫=力2,如果系数行列式
奇次线性
方程组有
1/妇也+]〃2易+...+%“/〃=K
非零解的充分必要
D=\A\^O，则方程组有唯一解
条件
%=4,丛=土,・••*=%,其中r.是把。
中第/列元素换
'D-D一DJ
成方程组右端的常数列所得的行列式.
2n阶矩阵A可逆<=>Ax=O只有零解=b总有唯
一解，一般地，
r（4,xn）=«<=>Ax=O只有零解.
非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构
1设A为矩阵，若=则对Ax=b而言必有
r（A）=r（A:
b）=tn,从而Ax=b有解.
2设xpx2,---x5Ax=b的解，则k}x{+k2x2+•••+&/$当佑+（+•••+A=]时仍为Ar=b的解;但当的+（+•••+A=0时，则为Ar=（）的解.特别壬旦为弘"的解；2毛-（岗+易）为Ar=O的解.
3非齐次线性方程组Ax=b无解<=>厂（A）+1=r（A）<=>人不能由人的列向量％,%,•••,%线性表示.
奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解.
1齐次方程组Ar=O恒有解（必有零解）.当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此弘=0的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是〃-尸（A）,解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.
2是仙=0的基础解系,即
（1）n，%,•••,%是弘=0的解；
（2）〃],%,••,,%线性无关;
（3）Ax=0的任一•解都可以由%,名，…，〃,线性表出.
切1+灿2+•••+《％是Ar=0的通解,其中&是任意
常数.
（五）矩阵的特征值和特征向量
考试内容
对应公式、定理、概念
矩阵的特征值和特征向量的概念及性
质，
1设4是A的一个特征值，则kA,aA+bE,A2yAm,f（A）fAr9A~{9A^有一个特征值分别为
以以+。
/2彳jQM/T，岬，且对应特征向量相同（A'
例外）.
2若如为A的n个特征值，则跖£%血"1/-I/-IJ=l
从而|A伊（）u>A没有特征值.
3设W，几,…，人为A的s个特征值，对应特征向量为
%,%,•••,》，若
a=kxa}+k2a2+.••+«《，贝ij
A/=4A'q+k2A"a2+•••+""《=楣％+k2A^a2+•••&&《
相似变换、相似矩阵的概念及性质，
1若ALJB,贝ij
（1）A『□B1l□矿［A*日B*.
（2）1A|=|B|,£&=£m（A）=r（B）
i=li=l
（3）|AE-A|=|人已一E|,对VA成立
矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵，
1设A为n阶方阵，则A可对角化0对每个&重根特征值儿，Wn-r（^E-A）=kt-
2设A可对角化，则由PlAP=A,有人=户八尸-'，从而A"=PAW
3重要结论
（1）若AdB,CUD,则人°口&°.
（2）若AQB,则/（A）D/（B）,|/（A）|n|/（B）|,其中了（A）为关
于〃阶方阵A的多项式.
（3）若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数（重根重复计算）=秩（A）
实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵
1相似矩阵：
设48为两个〃阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P-'AP成立，则称矩阵A与B相似，记为ADB.
2相似矩阵的性质
如果人口8则有
（1）ArDBt
（2）A-】DB-i（若A,8均可逆）
⑶A'□Bk{k为正整数）
（4）|/l£-A|=|/lE-B|,从而/U珀'相问的特征值
（5）A=8|,从而A,3同时可逆或同时不可逆
（6）秩（A）=秩（B）,|2E-A|=\AE-B\,A.B不一定相似
（六）二次型
考试内容
对应公式、定理、概念
二次型及
1n个变量为,邑，…，玉的二次齐次函数
其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的秩
惯性定理，二次型的标准形和规范形
/（x*2,也为，其中％=。
*,顶=1,2,・••,〃），1=1;=1
称为〃元二次型，简称二次型.若令
—
工1
a\2
…
工2
A=
a2\
…%
.
…
x=
，这二次型r可改写成矩阵
向量形式f=xrAx.其中A称为二次型矩阵，因为
°*（i,j=1,2,•••,〃）,所以二次型矩阵均为对称矩阵，且
二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵*的秩称为二次型的秩.
1惯性定理
对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理.
2标准形
二次型f=（xl,x29-,xn）=xTAx经过合同变换x=Cy化为
f=xTAx=yTClACy=称为
!
=1
f（r3规范形
用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性
任一实二次型/都可经过合同变换化为规范形y=z；+z；+・..+zfl・T，其中r为A的秩，〃为正惯性指数，尸-p为负惯性指数，且规范型唯一.
1设A正定=>姐破>O）,A「,A正定；|A|>0,A可逆;
au>0,且I&|>0
2A,B正定=>A+B正定，但AB,BA不一定正定
3A正定=/（a）=x1Ax>0,Vx工0
A的各阶顺序主子式全大于零
0A的所有特征值大于零
A的正惯性指数为n
0可逆阵P使A=PtP
存在正交矩阵Q,使。
『aq=qtaq=,
<如
其中4>0,i=1,2,・•・,〃.正定=>姐。
>0）,疽,A-I,A*正定;
IA|>0,A可逆；％>0,且|&|>0
升级会员 