阿波罗尼斯圆教案整理.docx
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阿波罗尼斯圆教案整理
阿波罗尼斯圆
【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B，则所以满足PA=kPB（k≠1）的点P的
轨迹是一个圆，这个轨迹最先是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称阿氏圆．
初中数学中，常借助一动点P在某圆上运动，来解决类似“PA+kPB”的最小值问题．题型经常以压轴题的形式出现，学生较难解决．
【构图模型】构造共边共角型相似
构造△PCB△ACP，则
ACCPAPCPCBPB
．主要目的是要将kPB转移．
即：
半径的平方=原有线段×构造线段．
【引入】
（2016秋•新区期末）问题提出：
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆
1
上一动点，连结AP、BP，求AP+
PB的最小值．
2
（1）尝试解决：
为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：
如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，
CDCP1PD11
则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴=，∴PD=
PB，
CPCB2
1
PB22
∴AP+
PB=AP+PD．
2
1
请你完成余下的思考，并直接写出答案：
AP+
PB的最小值为．
2
（2）自主探索：
在“问题提出”的条件不变的情况下，1AP+PB的最小值为．
3
（3）拓展延伸：
已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是劣弧CD上一点，求2PA+PB
最小值．
例1、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
PA
已知平面上两点A、B，则所有符合
PB
k（k
0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊
数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：
构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，
OP
且OP=r，设
OD
k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：
如图1，在OD上取点M，使得OM：
OP=OP：
OD=k；
第二步：
证明kPD=PM；第三步：
连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：
解：
在OD上取点M，使得OM：
OP=OP：
OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM～△DOP．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为△ABC内一动点，满足CD=2，利用
（1）中的
2
结论，请直接写出ADBD的最小值．
3
例2、
（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+
1
1
PC
2
的最小值和PD-
PC的最大值；
2
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+2PC
3
的最小值为，PD-
2
PC的最大值为．
3
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么
PD+
1PC的最小值为，PD-
2
1PC的最大值为．
2
例3、（2018•镇江模拟）在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点
D，连接AD、BD、CD，则1BD+AD的最小值是．
2
例3图例4图例4备用图
例4、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，C的半径为2，点P是圆上一动点，连接AP，BP，
试求①AP+1BP，②2AP+BP，③1AP+BP，④AP+3BP的最小值分别：
23
、、、．
向内构造类型
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4．C的半径为2，点P是C上一动点，则AP+1PB
2
的最小值为．
第1题图第2题图第3题图
2、如图，O的半径为最小值为．
，PO=
，MO=2，∠POM=90︒，Q为O上一动点点，则PQ+2QM的
2
3、如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，B的半径为2，P为B上一动点，则小值为．
PD+1
2
PC的最
4、如图，点C坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），C的半径为的最小值为．
，点B是在OC上一动点，OB+
5AB
5
第6题图
5、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（6，-1），M（4，4），以M为圆心，2
是OM上一动点，则PO+2PA的最小值为．
为半径画圆，O为原点，P
6、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135︒，则2PD+PC的最小值是．
7、如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为AB上一动点，
则2PC+PD的最小值为．
2
第7题图
第9题图
8、如图，AB为O的直径，AB=2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD=1，BC=3，
点P是O上的一动点，则2PD+PC的最小为．
2
9、如图，边长为4的正方形，内切圆记为O，P是O上一动点，则PA+PB的最小值为．
10、如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为O，P是O上一动点，则2PB+PC的最小值为．
第10题图第11题图
11、如图，在△ABC中，∠B=90︒，AB=CB=2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则
PA+2PC的最小值为．
2
12、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60︒，A与BC相切于点E，点P是A上一动点，PB+
最小值为．
3PD的
2
13、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90︒，AC=8，BC=6，点P是AB上一点，且AP=m，点F在以点P
BP
为圆心，AP为半径的P上，则CF+mBF的最小值为，此时AP=．
第13题图
14、如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=8，以C为圆心，4为半径作C．
（1）试判断C与AB的位置关系，并说明理由；
（2）点F是C上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明△FCD~△ACF；
（3）点E是AB边上任意一点，在
（2）的情况下，试求出EF+1
2
FA的最小值．
第14题图
15、（2016•济南）如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x
轴上有一动点E（m，0）（0PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C，△AEN的周长为C，若C1=6，求m的值；
C
5
12
2
（3）如图2，在
（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、
E′B，求E'A+2E'B的最小值．
3
16、如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A（-4，-4），B（0，4）两点，直线AC：
y=-1x-6
2
交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？
求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求1AM+CM的最小值．
2
向外构造类型
1、如图，点A、B在O上，OA⊥OB，OA=OB=12，点C是OA的中点，点D在OB上，OD=10．点
P是O上一动点，则
1的最小值为．
PC+
2
PD
第1题图第2题图第2题备用图
2、（二种解法）如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为BC上一动点（不与C，
B重合），则2PD+PB的最小值为（）
A、4+2
B、4
C、10D、4+4
3、如图O的半径为2，AB为直径．过AO的中点C作CD⊥AB交O于点D，DE为O的直径，点P
为O上动点，则2PC+PE的最小值是．
第3题图
4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，C的半径为2，点D是C上的动点，点E在CB上，
CE=1，连接AD，DE，则1AD+2DE的最小值为．
2
5、如图，在平面直角坐标系xoy中，A（-2，0），B（0，1），C（0，3），以O为圆心，OC为半径画圆，P为
上一动点，则3PA+PB最小值为．
2
6、如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，
点D为AB上的动点，则BD+10OD的最小值为
2
为半径的圆与x轴、y轴分别交于点A和点B，
．
第6题图第7题图
7、如图，抛物线，y=-x2+2x+3与x轴交于点A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，D过点A、B、
C三点，P是D上的一动点，连接PC、PO，则
PC+
PO的最小值为．
8、已知点A（-4，0）、P（t，0）（t>0），在第一象限作正方形OPQR，过A、P、Q三点作B，连接OQ，作
CQ⊥OQ交圆于点C，连接OB、AQ．
（1）求证：
∠CQP=∠AOQ；
（2）CQ的长度是否随着t的变化而变化？
如果变化，请用含t的代数式表示CQ的长度，如果不变，求出CQ的长；
（3）当tan∠AQO=1时，
2
①求点C的坐标；
②点D是B上的任意一点，求CD+OD的最小值．
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