阿波罗尼斯圆教案整理.docx

1、阿波罗尼斯圆教案整理阿波罗尼斯圆【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B ，则所以满足 PA = kPB ( k 1)的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称阿氏圆初中数学中，常借助一动点 P 在某圆上运动，来解决类似“ PA+ kPB”的最小值问题 题型经常以压轴题的形式出现，学生较难解决【构图模型】构造共边共角型相似构造 PCB ACP ，则AC CP AP CP CB PB主要目的是要将kPB 转移即：半径的平方=原有线段构造线段【引入】(2016 秋新区期末)问题提出：如图 1，在 RtABC 中，ACB=90，CB=4，CA=6，

2、C 半径为 2，P 为圆1上一动点，连结 AP、BP，求 AP +PB 的最小值2(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB 上取点 D，使 CD=1，CD CP 1 PD 1 1则有 = = ，又PCD=BCP，PCDBCP = ， PD =PB ，CP CB 21PB 2 2 AP +PB = AP + PD 21请你完成余下的思考，并直接写出答案： AP +PB 的最小值为 2 (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 1 AP + PB 的最小值为 3(3)拓展延伸：已知扇形 COD 中，COD=90，OC=6，OA=3，OB=5，

3、点 P 是劣弧 CD 上一点，求2PA + PB最小值例 1、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务PA已知平面上两点 A、B，则所有符合PBk ( k0 且k 1)的点 P 会组成一个圆这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆 阿氏圆基本解法：构造三角形相似【问题】如图 1，在平面直角坐标中，在 x 轴，y 轴上分别有点 C(m，0)，D(0，n)，点 P 是平面内一动点，OP且 OP=r，设ODk ，求 PC+kPD 的最小值阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图 1，在 OD 上取点 M，使得 OM：OP=OP：OD=k；第二步：证明 kPD=PM；第三步：连接 CM，此时 CM 即

4、为所求的最小值 下面是该题的解答过程(部分)：解：在 OD 上取点 M，使得 OM：OP=OP：OD=k， 又POD=MOP，POMDOP任务：(1)将以上解答过程补充完整(2)如图 2，在 RtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=3，D 为ABC 内一动点，满足 CD=2，利用(1)中的2结论，请直接写出 AD BD 的最小值3例 2、(1)如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求 PD +11PC2的最小值和 PD -PC 的最大值；2 (2)如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆

5、 B 上的一个动点，那么 PD + 2 PC3的最小值为 ， PD -2PC 的最大值为 3(3)如图 3，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B=60，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么PD +1 PC 的最小值为 ， PD -21 PC 的最大值为 2例 3、(2018镇江模拟)在ABC 中，ACB=90，BC=8，AC=6，以点 C 为圆心，4 为半径的圆上有一动点D，连接 AD、BD、CD，则 1 BD + AD 的最小值是 2例 3 图 例 4 图 例 4 备用图例 4、在 RtABC 中，ACB=90，CB=4，CA=6， C 的半径为 2，点 P 是圆上一动

6、点，连接 AP，BP，试求 AP + 1 BP ， 2 AP + BP ， 1 AP + BP ， AP +3BP 的最小值分别：2 3 、 、 、 向内构造类型1、如图，在 RtABC 中，C=90，CA=3，CB=4 C 的半径为 2，点 P 是 C 上一动点，则 AP + 1 PB2的最小值为 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图2、如图， O 的半径为最小值为 ，PO=，MO=2，POM= 90 ，Q 为 O 上一动点点，则 PQ+ 2 QM 的23、如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B=60， B 的半径为 2，P 为 B 上一动点，则小值为 PD+ 12PC 的最4、如图

7、，点C坐标为(2，5)，点A的坐标为(7，0)， C 的半径为的最小值为 ，点B是在OC上一动点，OB +5 AB5第 6 题图5、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A(6， -1 )，M(4，4)，以 M 为圆心， 2是 OM 上一动点，则 PO+2PA 的最小值为 为半径画圆， O 为原点，P6、在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(3，2)，P 是AOB 外部的第一象限内一动点， 且BPA=135 ，则 2PD+PC 的最小值是 7、如图， 半圆的半径为 1， AB 为直径， AC、BD 为切线， AC=1， BD=2， P 为 AB 上一动点，则 2 PC

8、 + PD 的最小值为 2第 7 题图第 9 题图8、如图，AB 为 O 的直径，AB=2，点 C 与点 D 在 AB 的同侧，且 AD AB，BC AB，AD=1，BC=3，点 P 是 O 上的一动点，则 2 PD + PC 的最小为 29、如图，边长为 4 的正方形，内切圆记为 O ，P 是 O 上一动点，则 PA+PB 的最小值为 10、如图，等边ABC 的边长为 6，内切圆记为 O ，P 是 O 上一动点，则 2PB+PC 的最小值为 第 10 题图 第 11 题图11、如图，在ABC中，B= 90 ，AB=CB=2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA+ 2 P

9、C 的最小值为 212、如图，菱形ABCD的边长为2，ABC= 60 ， A 与BC相切于点E，点P是 A 上一动点，PB +最小值为 3 PD 的213、如图，RtABC 中， ACB = 90 ， AC = 8 ， BC = 6 ，点 P 是 AB 上一点，且 AP = m ，点 F 在以点 PBP为圆心，AP 为半径的 P 上，则 CF+mBF 的最小值为 ，此时 AP = 第 13 题图14、如图，在RtABC中，A=30，AC=8，以C为圆心，4为半径作 C (1)试判断 C 与AB的位置关系，并说明理由；(2)点F是 C 上一动点，点D在AC上且CD=2，试说明FCDACF；(3)

10、点E是AB边上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+ 12FA的最小值第 14 题图15、(2016济南)如图 1，抛物线 y = ax2 + (a + 3)x + 3 ( a 0 )与 x 轴交于点 A(4，0)，与 y 轴交于点 B，在 x轴上有一动点 E(m，0)( 0 m 0 )，在第一象限作正方形OPQR，过A、P、Q三点作 B ，连接OQ，作CQ OQ交圆于点C，连接OB、AQ(1)求证：CQP=AOQ；(2)CQ的长度是否随着t 的变化而变化？如果变化，请用含t 的代数式表示CQ的长度，如果不变，求出CQ 的长；(3)当tan AQO = 1 时，2求点C的坐标；点D是 B 上的任意一点，求CD+ OD的最小值