南京二模.docx
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南京二模
南京市高三第二次模拟考试
数学
一、填空题(每题5分,共70分)
1、已知复数Z1=3-4i,Z2=4+bi(b∈R,i为虚数单位),若复数Z1*Z2是纯虚数,则b的值为____。
2、已知全集U=R,Z是整数集,集合A={x︱x2-x-6≥0,x∈R},则Z∩C∪A中元素的个数为____。
3、用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是____。
(第3题)
4、某校为了解高三男生的身体状况,检测了全部480名高三男生的体重(单位㎏)。
所得数据都在区间[50,75]中,其频率分布直方图如图所示。
若图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:
2:
3,则体重小于60㎏的高三男生人数为_______。
(第4题)
5、已知向量a,b的夹角为120°,且︱a︱=3,︱a︱=1,则︱a-2b︱=________.
6、下图是一个算法的流程图,则输出的e值是_________。
(第6题)
7、若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为
,则M到该抛物线焦点的距离为________。
8、若直线y=kx-3与y=2lnx曲线相切,则实数K=_________。
9、已知函数f(x)=2sin(ωx+Ψ)(ω>0),若f(
)=0,f(
)=2,则实数ω的最小值为______。
10、已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2*a4=4,a1+a2+a3=14,则满足an+an+1+an+2>
的最大正整数n的值为________。
11、已知集合P=
,Q={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2(r>0),若“点M∈P”是“点M∈Q”的必要条件,则当r最大时ab的值是_______。
12、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=
,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,则当AM+MC1最小时,△AMC1的面积为______。
(第12题)
13、定义:
若函数f(x)的图像经过变换T后所得图像对应的函数与f(x)的值域相同,则称变换T是f(x)的同值变换。
下面给出了四个函数与对应的变换:
(1)f(x)=(x-1)2,T1将函数f(x)的图像关于y轴对称;
(2)f(x)=2x-1-1,T2将函数f(x)的图像关于x轴对称;
(3)f(x)=
,T3将函数f(x)的图像关于点(-1,1)对称;
(4)f(x)=sin(x+
),T4将函数f(x)的图像关于点(-1,0)对称。
其中T是f(x)的同值变换的有_______。
(写出所有符合题意的序号)
14、已知函数f(x)=
(a∈R),若对于任意的X∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是______。
二、解答题
15、(本题满分14分)
已知向量a=(4,5cosσ),b=(3,-4tanσ),
(1)若a//b,试求sinσ的值。
(2)若a⊥b,且σ∈(0,
),求cos(2σ-
)的值。
16、(本题满分14分)
如图:
四棱锥P-ABCD的底面为矩形,且AB=
BC,E、F分别为棱AB、PC的中点。
(1)求证:
EF//平面PAD;
(2)若点P在平面ABCD内的正投影O在直线AC上,求证:
平面PAC⊥平面PDE。
17、(本题满分14分)
如图,椭圆C:
+
=1的右顶点是A,上下两个顶点分别为B、D,四边形DAMB是矩形(O为坐标原点),点E、P分别是线段OA、AM的中点。
(1)求证:
直线DE与直线BP的交点在椭圆C上.
(2)过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于R、S(不同于B点),且它们的斜率k1、k2满足k1*k2=-
,求证:
直线RS过定点,并求出此定点的坐标。
18、(本题满分16分)
如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图,其中∠AOB的圆心角为
,半径OA为1Km,为了便于游客观光休闲,拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路,道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成。
其中D在线段OB上,且CD//AO,设∠AOC=θ,
(1)用θ表示CD的长度,并写出θ的取值范围。
(2)当θ为何值时,观光道路最长?
19、(本题满分16分)
已知函数f(x)=x|x2-3|,x∈[0,m]其中m∈R,且m>0.
(1)若m<1,求证:
函数f(x)是增函数。
(2)如果函数f(x)的值域是[0,2],试求m的取值范围。
(3)如果函数f(x)的值域是[0,λm2],试求实数λ的最小值。
20、(本题满分16分)
(1)已知公差不为0的数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn,若数列{
}是等差数列,
①求an;②令bn=qSn(q>0),若对一切n∈N*,都有
>2bn*bn+2,求q的取值范围。
(2)是否存在各项都是正整数的无穷数列{cn},使
>2Cn*Cn+2对一切n∈N*都成立,若存在,请写出数列的一个通项公式,若不存在,说明理由。
21、(选做题)在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10,共计20分。
请在答题卡指定区域作答。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A、选修4-1:
几何证明选讲
如图,已知梯形ABCD为圆内接四边形,AD//BC,过C作该圆的切线,交AD的延长线于E,求证:
ΔABC∽ΔEDC。
B、选修4-2:
矩形与变换
已知
为矩阵
属于λ的一个特征向量,求实数a,λ的值及A2。
C、选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为
(α为参数),曲线D的参数方程为
,(t为参数)。
若曲线C、D有公共点,求实数m的取值范围。
D、选修4-5:
不等式选讲
已知a,b都是正实数,且ab=2。
求证:
(1+2a)(1+b)≥9。
22、(本题满分10分)
正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=1,D为A1C1的中点,线段B1C上的点M满足B1M=λB1C,若向量AD与BM的夹角小于45º,求实数λ的取值范围。
23、(本题满分10分)
某校组织一次篮球投篮测试,已知甲同学每次投篮的命中率均为1/2。
(1)若规定每投进1球得2分,甲同学投篮4次,求总得分X的概率分布和数学期望。
(2)假设连续3次投篮未中或累计7次投篮未中,则停止投篮测试,问:
甲同学恰好投篮10次,被停止投篮测试的概率是多少?