六年级下册奥数专题练习改变运算种类全国通用.docx

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六年级下册奥数专题练习改变运算种类全国通用

改变运算种类

　　在四则运算中，改变原题的运算种类，如以乘代加、以加代减、以加代乘、以减代除……，往往可使一些题目的计算变得比较简便、快速。

　　【以乘代加】几个加数虽然不同，但数字大小比较接近的时候，可以选择一个数作“基准数”，采用“以乘代加”的方法速算。

例如

（1）17＋18＋16＋17＋14+19＋13+14

　　解题时，可以选择17为基准数，以乘代加解答如下。

　　17＋18+16＋17＋14+19+13＋14

　　=17×8＋1-1-3＋2-4-3

　　=17×8-8

　　=128

（2）325＋324＋318＋327＋323＋320

　　解题时，可以选取323作为基准数，然后解答。

　　325+324＋318+327＋323＋320

　　=323×6+2＋1-5+4-3

　　=323×6+（2＋1＋4）-（5＋3）

　　=323×6＋7-8

　　=323×6-1

　　=1937

　　运用基准数以乘代加速算，对于一些随报随记而且数字又很接近的连加运算，是极为方便、快速的，它的算法可以是：

　　选定一个数作基准数，把比基准数多的记“十”，比基准数少的记“一”，随报随算它的累计数。

当要加的数报完后，结果也就计算出来了。

　　例如，某组10个同学某次数学考试分数如下：

　　72；71；70；68；74；69；73；67；70；73。

　　计算时，可选择70分作基准数。

计算过程可如下表所示（实际计算时只需要算出累计数就行了）：

　　所以，这组同学这次考试成绩的总分数是

　　70×10＋7=707（分）

　　【以加代减】为说明问题，先看一个实际问题：

　　“某人去商店购物，需要付款4.65元。

他交给售货员10元，应找回多少钱？

”

　　很明显，这是个减法算题，应该用10—4.65=5.35（元）去求答案。

可是在找钱的时候，售货员一般不做减法，而是采用“前位凑九，末位凑十”的加法运算，得5.35与4.65能凑成10，从而得出要找的钱数是5.35元。

这是为什么呢？

　　因为做减法会产生连续退位的问题，而用加法凑整，可以通过“前位九，末位十”的办法口算。

达到正确、快速、简便地求差的目的。

　　凡是整百、整千、整万……减去一个数，都可以用“以加代减”的方法——“前位凑九，末位凑十”，去迅速地求差。

请看下面的两个例子，特别是看一看列出的竖式：

（1）1000—675=325

（2）50000-3672=46328

　　【添0折半】一个数乘以5，可以看成是先乘以10再除以2。

一个数乘以10非常简便，只要在这个数的末尾添个0；再除以2，也很容易口算。

这种添0后再除以2的方法，叫做“添0折半法”。

它也改变了原题的运算种类。

例如

（1）486×5

　　＝4860÷2

　　=2430

（2）4.37×5

　　=43.7÷2

　　=21.85

　　【添0退减原数】一个数乘以9，就是乘以10—1。

根据一个数乘以两数之差的分配性质，一个数乘以9，可以在这个数的末尾添一个0，再退一位减去原数，所得的就是所要求的积。

这种方法，可称为“添0退减原数法”。

例如

　　396×9

　　=3960-396

　　=3564

　　（退减原数可看式口算。

看式口算不熟练时，可从低位减起，熟练之后可从高位减起，一下子就可直接写出得数。

）

　　【添0折半加原数】一个数乘以6，可以看成是乘以（5＋1）。

运用乘法分配律，可以用这个数分别乘以5和1，再求两个积之和。

一个数乘以5，可以用“添0折半法”，加上这个数与1的积，就是加上原数。

所以这种速算方法可称之为“添0折半加原数法”。

例如

　　6489×6

　　=64890÷2+6489

　　=32445＋6489

　　=38934

　　这种方法还可以推广到一个数乘以7中去。

不过，乘以7就必须是“添0折半加原数的2倍”了。

　　例如

　　2436×7

　　=24360÷2＋4872

　　=12180+4872

　　=17052

　　234.2×7

　　=2342÷2+468.4

　　=1171＋468.4

　　=1639.4

　　【以加代乘】“以加代乘”又可以称之为“添0加原数”。

例如

　　720×11

　　=7200＋720

　　=7920

　　67203×11

　　＝672030＋67203

　　=739233

　　这种方法还可以推广到一个数乘以12的计算中去。

不过，一个数乘以12，需要添0加原数的2倍。

例如：

　　623×12

　　=6230+1246

　　=7476

　　【原数加半，加半定积】如果一个数乘以1.5，也就是乘以（1＋0.5），那么根据乘法分配律，只要把这个数加上它的一半就可以了。

这时，原来的乘法也可以改用加法来代替。

例如

　　48×1.5

　　=48×（1＋0.5）

　　=48+24（48的一半）

　　=72

　　显然，“原数加半”的方法速算乘法，也是“以加代乘”的一种方法。

　　这种“原数加半”方法还可推广到一个数乘以15、150、1500……以及0.15、0.015、0.0015……中去。

因为

　　15=1.5×100.15=1.5×0.1

　　150=1.5×1000.015=1.5×0.01

　　1500=1.5×10000.0015=1.5×0.001

　　…………

　　所以，一个数乘以这些数，只要把这个数加上它的一半以后，再移动小数点的位置就可以了。

比方

　　6.4×150

　　=6.4×1.5×100

　　=（6.4＋3.2）×100

　　=9.6×100

　　=960

　　4600×0.0015

　　=（4600＋2300）×0.001

　　=6900×0.001

　　=6.9

　　这样的方法，可以称作“加半定积法”。

在我国农村，还经常将它用于将平方米数换算成亩数的计算。

因为1平方米=0.0015亩，所以

　　2800平方米=（0.0015×2800）亩

　　=[（2800＋1400）×0.001]亩

　　=4.2亩

　　在民间，人们一般称这样的快速简算方法，叫做“加半向左移三法”。

　　【以减代除】除法实际上是同数连减的简算方法，而同数连减又可以用乘法代替。

所以，“以减代除”可以达到简算和速算的目的。

　　例如，550÷25，先用550减去20个25，得50，50再减去2个25，便得0。

所以，550÷25=22。

由口算便迅速得出了此题的得数。

　　【以乘代除，以除代乘】在乘法运算里，如果一个因数是5”，则可将它化为“10n÷2n”，从而将“乘以5n”转化为“除以2n”进行计算。

同样，在除法运算里，如果除数是5n，那么，也可以将它转化为“乘以2n”去进行计算。

显然，除以或乘以2n，要比乘以或除以5n方便、快速得多。

例如

（1）12000÷125

　　=12000÷53

　　=12000÷（103+23）

　　=12000÷103×23

　　=12×23

　　=96

　　因为12×23=12×2×2×2，所以口算得数时，只要把12连续翻倍三次即可。

即

　　12—→24—→48—→96。

（2）480×125=480×53

　　=480×（103÷23）

　　=480×103÷23

　　＝480÷23×103

　　=60×103

　　=60000

　　因为480÷23=480÷2÷2÷2，所以口算得数时，只要把480连续折半三次即可。

即

480—→240—→120—→60。

复杂分数应用题

　　【复杂的一般分数问题】

　　例1已知甲校学生数是乙校学生数的40％，甲校女生数是甲校学生数的30％，乙校男生数是乙校学生数的42％。

那么，两校女生总数占两校学生总数的百分之几？

　　（全国“幼苗杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：

关键是要求出甲、乙两校学生数，分别占两校总人数的几分之几。

　　因为甲校学生数是乙校学生数的40％，所以，甲、乙两校学生数之比为

　　所以，两校女生占两校学生总数的

　　例2有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25％。

那么，这堆糖中有奶糖____块。

　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

16块水果糖之后，其它糖就是奶糖的（1-25％）÷25％=3（倍）。

　　例3某商店经销一种商品，由于进货价降低了8％，使得利润率提高了10％。

那么这个商店原来经销这种商品所得利润率是百分之几？

　　（长沙市奥林匹克代表队集训试题）

　　讲析：

“利润”是出售价与进价的差；“利润率”是利润与进货价的比率。

　　设这种商品原进价为每件a元，出售后每件获利润b元。

那么现进价为每件（1-8％）×a=92％a（元），

　　例4学校早晨6：

00开校门，晚上6：

40关校门。

下午有一同学问老

　　（1992年小学数学奥林匹克决赛试题）

　　讲析：

本题的关键是要注意“时间”和“时刻”这两个概念的区别。

　　从早晨6点到中午12点共有6小时，从中午12点到下午6点40分共有

　　设从中午12点到“现在”共a小时，可列方程为

　　解得a=4。

　　所以，现在的时间是下午4点钟。

　　【工程问题】

　　例1一件工作，甲做5小时后，再由乙做3小时可以完成；若乙先做9小时后，再由甲做3小时也可以完成。

那么甲做1小时以后，由乙做____小时可以完成？

　　（1987年北大附中友好数学邀请赛试题）

　　讲析：

因为“甲做5小时，乙做3小时可以完成”；或者“甲做3小时，乙做9小时也可以完成”。

由此得，甲做5-3=2（小时）的工作量，就相当于乙做9-3=6（小时）的工作量。

　　即：

甲做1小时，相当于乙做3小时。

　　由“甲做5小时，乙再做3小时完成”，可得：

甲少做4小时，就需乙多做3×4=12（小时）。

　　所以，甲做1小时之后，还需要乙再做3+12=15（小时）才能完成。

　　例2如果用甲、乙、丙三根水管同时往一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两根水管，1小时20分可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分可以灌满。

那么，用乙管单独灌水，要灌满一池水需要____小时。

　　（1993年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

　　讲析：

关键是求出乙的工作效率。

　　例3一项挖土方工程，如果甲队单独做，16天可以完成；乙队单独做

时，突然遇到地下水，影响施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程。

问整个工程要挖多少方土？

　　（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第二试试题）

　　讲析：

甲、乙两队合做，则工效可提高20％，所以每天可以完成

　　例4某工厂的一个生产小组，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可以完成一项生产任务，如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前1小时完成这项生产任务。

问：

如果同时交换A与B，C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可以提前几分钟完成这项生产任务。

　　（全国第四届“华杯赛”决赛试题）

　　所以，同样交换A与B，C与D之后，全组每小时可以完成：

　　例5一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作。

甲工地的工作量是乙工

已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天。

那么，这批工人有____人。

　　（1992年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　讲析：

把甲、乙两地全部工作量作单位“1”，由“甲工地的工作量是

　　把工人总数作单位“1”，由“上午去甲工地人数是去乙工地人数的3

　　所以，一天中去甲、乙工地人数之比为：

　　例6蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管。

要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。

要排光一池水，单开乙管需要

丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？

　　（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）

有当开到甲水管时，水才会溢出。

　　溢出。

的思路是在假设要打开水管若干个循环之后，水才开始

开始溢出。

所以，这样解的思路是错误的。