列分式方程解实际问题的几种类型.docx

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列分式方程解实际问题的几种类型

列分式方程解实际问题的几种类型

　　学习了分式的有关知识后，同学们不仅要熟练掌握分式的运算，还要学会用分式的相关知识去解决在实际生活中遇到的问题.在列分式方程解决实际问题时，我们一要注意审题，找到题目中的等量关系；二是在设未知数时要注意选择和题目中各个量的关系都密切的量，根据实际问题灵活选择设法；三是求分式方程的解时，验根应坚持两个原则，既要使方程本身有意义，又要符合实际意义.

　　一、工程问题

　　例1甲工人与乙工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现在要求甲生产出168个这种零件，要求乙生产出144个这种零件，他们两个人谁能先完成任务呢？

　　解：

设乙每小时生产x个零件，则甲每小时生产（x+8）个零件.则乙生产144个这种零件需小时，甲生产168个这种零件需小时.

　　∴-=-

　　==

　　==，

　　∵x>0，∴x（x+8）>0，

　　∴当x>48时，乙先完成任务；

　　当x=48时，两人同时完成任务；

　　当x<48时，甲先完成任务.

　　点评：

（1）利用求差来比较两个数的大小，是比较大小的一种常用方法；

（2）当求差的结果无法直接与0比较大小时，则必须讨论各种可能出现的情况.

　　二、利润问题

　　例2某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销.商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？

（利润率=×100%）.

　　解：

（1）设商场第一次购进x套运动服，由题意得：

-=10，解方程得x=200.

　　经检验，x=200是所列方程的根.2x+x=2×200+200=600.所以商场两次共购进这种运动服600套.

（2）设每套运动服的售价为y元，由题意得：

≥20%，解不等式，得y≥200，所以每套运动服的售价至少是200元.

　　点评：

本题反映出售价、进价、利润之间的关系，解答此问题需要弄清总利润与销售量之间的关系.

　　三、捐赠问题

　　例3为了援助在校贫困学生，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款的人数比第一天多50人，且两天的人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？

人均捐款多少元？

　　解：

设第一天捐款x人，则第二天捐款（x+50）人，由题意列方程=.

　　解得x=200.检验：

当x=200时，x（x+50）≠0，∴x=200是原方程的解.两天的捐款人数x+（x+50）=450，人均捐款=24（元）.

　　答：

两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元.

　　点评：

解答分式方程问题的关键有两点：

（1）挖掘题意中的相等关系，并根据相等关系列出分式；

（2）根据题意确定运算的类型，最后根据法则进行计算.

　　四、决策问题

　　例4某中学库存960套旧桌凳，将之修理后捐给贫困山区学校.甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务.甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元.

（1）甲、乙两个木工小组每天各修理桌凳多少套？

（2）在修理桌凳的过程中，学校要委派一名维修工对质量进行监督，并由学校负担他每天10元的生活补助.现有下列三种修理方案可供选择：

①由甲单独修理；②由乙单独修理；③由甲、乙合作修理.你认为采用哪种方案既省时又省钱.

　　解：

（1）设甲小组每天修理桌凳x套，则乙小组每天修理（x+8）套.

　　依题意，得-20=.

　　去分母、整理得x2+8x-384=0.

　　解得x1=-24，x2=16.

　　经检验均是原方程的根.但x1=-24<0，不合题意，舍去，此时x2=16，x+8=24.

　　所以甲小组每天修理桌凳16套，乙小组每天修理桌凳24套.

（2）若由甲小组单独修理，则需：

=60（天），总费用为：

60×80+60×10=5400（元）；若由乙小组单独修理，则需=40（天），总费用为：

40×120+40×10=5200（元）；若由甲、乙两小组合作，则需=24（天），总费用为：

24×（80+120）+24×10=5040（元）.通过比较，选择第三种方案既省时又省钱.

　　点评：

（1）从题目中可获得如下等量关系：

甲小组单独修理桌凳所用的天数-20=乙小组单独修理桌凳所用的天数.根据上面的数量关系，设适当的未知数，列分式方程便可求解；

（2）分别计算各方案所需的费用及时间，进行比较就可确定最优方案了.

　　五、行程问题

　　例5“五?

一”期间，九年级一班同学从学校出发，去某景区水洞游玩，学校与景区水洞间的距离如图1所示，同学们分为步行和骑自行车两组，在去水洞的过程中，骑自行车的同学比步行的同学少用40分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍.图1

（1）求步行同学每分钟走多少千米？

（2）图1是两组同学前往水洞时的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图像.

　　完成下列填空：

①反映骑车组的函数图像是线段；

　　②已知A点的坐标为（30，0），则B点的坐标为（）.

　　分析：

（1）根据图像可知学校与水洞之间的距离为6千米，设步行同学每分钟走x千米，则骑自行车的同学每分钟走3x千米，列方程求解即可.

（2）问题的全部信息都隐藏在一次函数图像中，从图形可以看出，线段AM表示从第30分钟才开始出发，而且早于ON到达终点，因此线段AM就是骑车同学的函数图像，骑车同学所用的时间为6÷=20分钟，所以B点的坐标为（50，0）.　　解：

（1）设步行的同学每分钟走x千米，则骑自行车的同学每分钟走3x千米.根据题意，得：

=+40，解得x=，经检验，x=是原方程的解.

　　答：

步行同学每分钟走千米.

（2）①AM，②（50，0）.

　　点评：

本题将分式方程与一次函数的图像结合起来，通过函数图像提供解题信息，只有正确理解函数图像的意义，准确读出信息，才能迅速准确地解决问题.

　　六、几何问题

　　例6如图2，某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡角为45°.实际开挖时，工作效率是原计划的1.2倍，结果比原计划提前4天完工.求原计划每天挖多少立方米？

　　图2

　　解：

渠道的横截面的面积为（1.2+0.8+0.8+1.2）×0.8=1.6m2，水渠的体积为1.6×1500=2400m3.

　　设原计划每天挖xm3，则实际每天挖1.2xm3，根据题意得-4=

　　解这个方程得x=100

　　经检验：

x=100是原方程的解且符合题意.

　　答：

原计划每天挖100立方米.

　　点评：

题中等腰梯形的面积×水渠的长度=所挖土的总量，根据工作时间=工作总量÷工作效率以及关键语“比原计划提前4天完工”，可列出方程求出解.

　　七、水电节能问题

　　例6为了节约用水，某市物价局于2015年8月20日举行了市民用水阶梯价格分级用量听证会，并提出超量加价.若民用自来水水费调整为每月用水量不超过15m3（包括15m3）时，则按规定标准2.8元/m3（含污染费和排污费）收取；若每月用水量超过15m3，则超过的部分按3.8元/m3收费（含污染费和排污费）.

（1）小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从2015年9月起计划平均每月用水量比2014年9月到2015年8月平均每月用水量减少4m3，这使小敏家在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的用水量，求小敏家从2015年9月起计划平均每月的用水量；

（2）小敏家从2014年9月到2015年8月这一年中，有四个月的用水量超出现在计划月平均用水量的20%，有四个月超出现在计划月平均用水量的50%，其余四个月的用水量与2014年9月到2015年8月的平均每月用水量相等.若按新的交费法，求小敏家从2014年9月到2015年8月这一年中应交的总水费.

　　解：

（1）设小敏家计划平均每月的用水量是xm3，则计划前每月的用水量为（x+4）m3，由题意得=，解得：

x=11

　　经检验：

x=8.25是原方程的解，即小敏家计划平均每月的用水量是11m3；

（2）计划用水量为11m3，

　　超过计划用水量的20%时，用水量=11×（1+20%）=13.2m3，

　　超过计划用水量的50%时，用水量=11×（1+50%）=16.5m3，

　　设2014年9月到2015年8月的平均每月用水量为a，

　　则13.2×4+16.5×4+4a=12a，

　　解得：

a=14.85，

　　则应交水费为：

12×14.85×2.8=498.96（元）.

　　答：

小玲家从2014年9月到2015年8月的这一年中应共交水费498.96元.

　　点评：

本题考查了分式方程的应用。

解答本题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解.

　　上期《直线、射线、线段与角的巩固练习》参考答案

　　1.C；2.B；3.B；4.D；5.130；6.6，2，4；7.60；8.45°；9.（m+n）或（m-n）；

　　10.解：

设BC=xcm，由题意得

　　AB=3x，CD=4x.

　　∵E、F分别是AB、CD的中点，

　　∴BE=AB=x，CF=CD=2x，

　　∴EF=BE+CF-BC=x+2x-x.

　　即x+2x-x=60解得x=24

　　∴AB=3x=72cm，CD=4x=96cm

　　11.

（1）证明：

∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC.

　　由BE是∠ABC的角平分线，

　　∴∠EBC=∠ABE，

　　∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；

（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，

　　得∠ABE=∠AEB=40°.

　　由AD∥BC，得∠EBC=∠AEB=40°.

　　12.解：

∵AC=4，BC=4，∴AB=8，

　　∵△CDE为等腰直角三角形，且点E不在边BC所在的直线上，

　　∴可分以CD为腰和底边两种情况，

（1）以CD为腰，图略，可延长AD至E′，使得DE′=CD，

　　作OF⊥于AD于F，连接CE′、OE′，根据矩形的性质，易得OF=AB=4，DF=2，

　　∵△CDE′为等腰直角三角形，

　　∴CD=DE′=8，

　　∴E′F=10，根据勾股定理，在△OFE′中，OE′2=OF2+FE′2

　　∴OE′==2

（2）以CD为底，图略，分别将点C、点D以顺、逆时针旋转45°交于点E，便是以CD为底边的等腰直角△CDE.

　　连接OE交CD于点G，

　　∵OD=OCDE=CEOE=OE，

　　∴△OCE与△ODE是关于OE对称，且OG、GE分别是△OCD、△CDE的垂直平分线，

　　∴DG=CG=4，

　　∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=4，∴AO=CO=2，

　　∴OG==2

　　在等腰直角△DGE中，GE=DG=4，

　　∴OE=OG+GE=6.

　　上期《整式的乘法与因式分解》拓展精练参考答案

　　1.A；2.D；3.C；4.C；5.B；6.8；7.x（x-2）2；

　　8.22010；9.a+b=0；10.；

　　11.b=，原式=3x3-x+；

　　12.解：

（1）（x2y）2n=x4ny2n=（xn）4（yn）2=144

（2）32a-4b+1=（3a）2÷（32b）2×3=27.

　　13.解：

（1）∵x2-2xy+2y2+6y+9=0，

　　∴（x2-2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，

　　∴（x-y）2+（y+3）2=0，

　　∴x-y=0，y+3=0，∴x=-3，y=-3，

　　∴xy=（-3）×（-3）=9，即xy的值是9.

（2）∵a2+b2-10a-12b+61=0，

　　∴（a2-10a+25）+（b2-12b+36）=0，

　　∴（a-5）2+（b-6）2=0，

　　∴a-5=0，b-6=0，∴a=5，b=6，

　　∵6-56，∴6

　　∴△ABC的最大边c的值可能是7、8、9、10.

　　（3）∵a-b=8，ab+c2-16c+80=0，

　　∴a（a-8）+16+（c-8）2=0，

　　∴（a-4）2+（c-8）2=0，∴a-4=0，c-8=0，

　　∴a=4，c=8，b=a-8=4-8=-4，

　　∴a+b+c=4-4+8=8，

　　即a+b+c的值是8.