线性代数知识点总结汇总.docx
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线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结
1行列式
（一）行列式概念和性质
1、逆序数：
所有的逆序的总数
2、行列式定义：
不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：
（用于化简行列式）
（1）行列互换（转置），行列式的值不变
（2）两行（列）互换，行列式变号
（3）提公因式：
行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式
（4）拆列分配：
行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式
4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplacexx:
（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则
7、n阶（n》2）xxxxxx行列式
数学xx证明
★8对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值：
abb---b
bab--b
bba-b
bbb■■■a
（三）按行（列）展开
9、按行展开定理：
（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数xx乘积之和等于
行列式的值
（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素
的代数xx乘积之和等于0
（4）行列式公式
10、行列式七大公式：
（1）|kA|=kn|A|
（2）|AB|=|A|•|B|
（3）|AT|=|A|
（4）|A-1|=|A|-1
（5）|A*|=|A|n-1
（6）若A的特征值入1、入2、……入n,贝卩
（7）若A与B相似，则|A|=|B|
（5）xx法贝
11、xx法贝：
（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一
解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,贝它的系数行列式必为0
（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0,贝齐次线性方程
组只有0解；如果方程组有非零解,那么必有D=0。
2矩阵
（1）矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项：
（1）矩阵乘法要求前列后行一致；
（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f（A）时，可以用交换律）
（3）AB=O不能推出A=O或B=O
2、转置的性质（5条）
（1）（A+B）T=AT+BT
（2）（kA）T=kAT
（3）（AB）T=BTAT
（4）|A|T=|A|
（5）（AT）T=A
（2）矩阵的逆
3、逆的定义：
AB=^BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1
注：
A可逆的充要条件是|A|工0
4、逆的性质：
（5条）
（1）（kA）-1=1/k•A-1（k半0）
（2）（AB）-1=B-1•A-1
（3）|A-1|=|A|-1
（4）（AT）-1=（A-1）T
（5）（A-1）-1=A
5、逆的求法：
（1）A为抽象矩阵：
由定义或性质求解
（2）A为数字矩阵：
（A|E）t初等行变换E|A-1）
（3）矩阵的初等变换
6、初等行（列）变换定义：
（1）两行（列）互换；
（2）一行（列）乘非零常数c
（3）一行（列）乘k加到另一行（列）
7、初等矩阵：
单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质：
（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵
（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；
Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）
Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）
★（四）矩阵的秩
9、秩的定义：
非零子式的最高阶数
注：
（1）r（A）=0意味着所有元素为0,即A=O
（2）r（AnXn）=n（满秩）-->|A|工0《--A可逆；
r（A）vn-->|A|=0<--A不可逆；
（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）--r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
10、秩的性质：
（7条）
（1）A为m^n阶矩阵，则r（A）（2）r（A±B）（3）r（AB（4）r（kA）=r（A（0）
（5）r（A）=r（AC（C是一个可逆矩阵）
（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）
（7）设A是m^n阶矩阵，B是nXs矩阵，AB=O则r（A）+r
（B）11、秩的求法：
（1）A为抽象矩阵：
由定义或性质求解；
（2）A为数字矩阵：
A-初等行变换-阶梯型（每行第一个非
零元素下面的元素均为0），则r（A）=非零行的行数
（五）伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质：
（8条）
（1）AA*=A*A=|A|E-★A*=|A|A-1
（2）（kA）*=kn-1A*
（3）（AB）*=B*A*
（4）|A*|=|A|n-1
（5）（AT）*=（A*）T
（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1
（7）（A*）*=|A|n-2•A
★（8）r（A*）=n（r（A）二n）;
r（A*）=1（r（A）=n-1）;
r（A*）=0（r（A）vn-1）
（六）分块矩阵
13、分块矩阵的乘法：
要求前列后行分法相同
14、分块矩阵求逆:
—1
严o'
LoL
4-
~OBl
.C0
卜
3向量
（一）向量的概念及运算
1、向量的内积：
（a,B）=aTB=BTa
2、XX定义：
||a||=
3、正交定义：
（a,B）=aTBBTa二a1b1+a2b2+…+anbn=O
4、正交矩阵的定义：
A为n阶矩阵，AAT二E—A-1=AT<-->
ATA二E—|A|=±1
（二）线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件：
非零列向量B可由a1,a2,…，as线性表示
（1）<—非齐次线性方程组（a1,a2,…，aS）（x1,
x2，…，xs）T=B有解。
★⑵《>r（a1,a2,…，aS）=r（a1,a2,…，aS,
B）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）
6、线性表示的充分条件：
（了解即可）
若a1,a2,…，as线性无关，a1,a2,…，aS,B线性相关，则B可由a1,a2,…，as线性表示。
7、线性表示的求法：
（大题第二步）
设a1,a2,…，as线性无关，B可由其线性表示。
（a1,a2,…，aS|初等行变换宀（行最简形|系数）
行最简形：
每行第一个非0的数为1，其余元素均为0
（三）线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项：
（1）a线性相关一a=0
（2）a1,a2线性相关一a1,a2成比例
9、线性相关的充要条件：
向量组a1,a2,…，as线性相关
（1）—有个向量可由其余向量线性表示；
（2）
xS）
齐次方程（a1,a2,…，aS）（x1,x2，…,
T=0有非零解；
★（3）-->r（a1,a2,…，aS）VS即秩小于个数特别地，n个n维列向量a1,a2,…，an线性相关
（1）-->r（a1,a2,…，an）vn
（2）>|a1,a2,…，an|=0
（3）（a1,a2,…，an）不可逆
10、线性相关的充分条件：
（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关
（2）部分相关,则整体相关
（3）xx相关,则低维相关
4）以少表多,多必相关
★推论：
n+1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组a1,a2,…，aS线性无关
（1）—任意向量均不能由其余向量线性表示；
（2）齐次方程（a1,a2,…，aS）（x1,x2，…，XS）
T=0只有零解
（3）>r（a1,a2,…，aS）=S
特别地，n个n维向量a1,a2,…，an线性无关
<>r（a1,a2,…，an）=n<>|a1,a2,…，an
|工0<--矩阵可逆
12、线性无关的充分条件：
（1）整体无关,部分无关
（2）低维无关,XX无关
（3）正交的非零向量组线性无关
（4）不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
1）定义法
★
（2）秩：
若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关
【专业知识补充】
（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。
（2）若n维列向量a1,a2,a3线性无关，B1,B2,B3可以由其线性表示，即（B1,B2,B3）=（a1,a2,a3）C,则r（B1,B2,B3）=r（C）,从而线性无关。
<-->r（B1,B2,B3）=3<-->r（C）=3<-->|C|工0
（4）极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩:
极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
对比：
矩阵的秩:
非零子式的最高阶数
★注：
向量组a1,a2,…，aS的秩与矩阵A=（a1,
a2,…，aS）的秩相等
★16、极大线性无关组的求法
（1）a1,a2,…，aS为抽象的：
定义法
（2）a1,a2,…，aS为数字的:
（a1,a2,…，aS）t初等行变换宀阶梯型矩阵
则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
（五）向量空间
17、基（就是极大线性无关组）变换公式：
若a1,a2,…，an与B1,B2,…，Bn是n维向量空间
V的两组基，则基变换公式为（B1，B2，…，Bn）=（a1,
a2，…，an）CnXn
其中，C是从基a1，a2，…，an至UB1，B2，…，Bn的过渡矩阵。
C=（a1，a2，…，an）-1（B1，B2，…，Bn）
18、坐标变换公式：
向量丫在基a1，a2，…，an与基B1，B2，…，Bn的
坐标分别为x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T,，
即丫=x1a1+x2a2+…+xnan二y1B1+y2B2+…
+ynBn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。
其中，C是从基a1,
a2,…，an到B1,B2,…，Bn的过渡矩阵。
C=（a1,
a2,…，an）-1（B1,B2,…，Bn）
六）Schmidt正交化
19、Schmidt正交化
设a1,a2,a3线性无关
（1）正交化
届计肿严一（必严
（2）单位化
4线性方程组
（1）方程组的表达形与解向量
1、解的形式:
（1）一般形式
⑵矩阵形式：
Ax二b;
2、解的定义:
若n=（cl,c2，…，cn）T满足方程组Ax二b,即An=b，称n是Ax=b的一个解（向量）
（2）解的判定与性质
3、齐次方程组：
（1）只有零解—r（A）二n（n为A的列数或是未知数x的个数）
（2）有非零解―r（A）vn
4、非齐次方程组：
（1）无解-->r（A）vr（A|b）-->r（A）=r（A）-1
（2）唯一解-->r（A）=r（A|b）=n
（3）无穷多解―r（A）=r（A|b）vn
5、解的性质：
（1）若E1,E2是Ax=0的解，贝Sk1E1+k2E2是Ax=0的解
（2）若E是Ax=0的解，n是Ax=b的解，贝SE+n是Ax=b
的解
（3）若n1,n2是Ax=b的解，贝Sn1-n2是Ax=0的解
【推广】
（1）设n1,n2,…，ns是Ax=b的解，贝卩
k1n1+k2n2+•…+ksns为
Ax=b的解（当艺ki=1）
Ax=0的解（当艺ki=O）
（2）设n1,n2,…，ns是Ax=b的s个线性无关的解，则n2-n1,n3-n1,…，ns-nl为Ax=0的s-1个线性无关的解。
变式：
①nl-n2,n3-n2,…，ns-n2
②n2-n1,n3-n2,…，ns-ns-1
（3）基础解系
6、基础解系定义：
（1）E1,E2,…，Es是Ax=0的解
（2）E1,E2,…，Es线性相关
（3）Ax=0的所有解均可由其线性表示
-基础解系即所有解的极大无关组
注：
基础解系不唯一。
任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系
★7、重要结论：
（证明也很重要）
设AxxmrKn阶矩阵，B是nXs阶矩阵，AB=O
（1）B的列向量均为方程Ax=0的解
（2）r（A）+r（B）8、总结：
基础解系的求法
（1）A为抽象的：
由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解
（2）A为数字的：
A-初等行变换-阶梯型
自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系
（4）解的结构（通解）
9、齐次线性方程组的通解（所有解）
设r（A）=r,E1,E2,…，En-r为Ax=0的基础解系，
贝SAx=0的通解为k1n1+k2n2+…+kn-rnn-r（其中k1,
k2，…，kn-r为任意常数）
10、非齐次线性方程组的通解
设r（A）=r,E1,E2,…，En-r为Ax=0的基础解系，n为Ax=b的特解,
则Ax=b的通解为n+k1n1+k2n2+…+kn-rnn-r（其中k1,k2，…，kn-r为任意常数）
（5）公共解与同解
11、公共解定义：
如果a既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称a为其公共解
12、非零公共解的充要条件：
方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解
＜--＞有非零解一＞
13、重要结论（需要掌握证明）
（1）设A是m^n阶矩阵，则齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r
（ATA）=r（A）
（2）设A是m^n阶矩阵，r（A）二n,B是nXs阶矩阵，则齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r（AB=r（B）
5特征值与特征向量
（1）矩阵的特征值与特征向量
1、特征值、特征向量的定义：
设A为n阶矩阵，如果存在数入及非零列向量a,使得Aa二入a,称a是矩阵A属于特征值入的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：
|入E-A|称为矩阵A的特征多项式（入的n次多项式）。
|入E-A|=0称为矩阵A的特征方程（入的n次方程）。
注：
特征方程可以写为|A-入E|=0
3、重要结论：
（1）若a为齐次方程Ax=0的非零解，则Aa=0-a，即a为矩阵A特征值入=0的特征向量
（2）A的各行元素和为k，则（1,1,…，1）T为特征值为k的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结：
特征值与特征向量的求法
（1）A为抽象的：
由定义或性质凑
（2）A为数字的：
由特征方程法求解
5、特征方程法：
（1）解特征方程|入E-A|=O，得矩阵A的n个特征值入1,
入2,…，入n
注：
n次方程必须有n个根（可有多重根，写作
入仁入2二…二入s二实数，不能省略）
（2）解齐次方程（入iE-A）=0,得属于特征值入i的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（入iE-A）个解）
6、性质：
（1）不同特征值的特征向量线性无关
（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量
1（3）设A的特征值为入1,入2,…，入n,则|A|=□入i,
艺入i=艺aii
（4）当r（A）=1，即A=apT,其中a,B均为n维非零列
向量，贝SA的特征值为入仁艺aii二aTp=pTa,入2二…二入n=0
（5）设a是矩阵A属于特征值入的特征向量，则
A
f
（A）
At
A-
1
A*
P-1AP（相
似）
入
f
（R
入
1
|A|入1
入
a
a
/
a
a
P1a
（二）相似矩阵
7、相似矩阵的定义:
设AB均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B二P-1AP称
A与B相似，记作A~B
&相似矩阵的性质
（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似
（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似
（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、
特征值、迹（即主对角线元素之和）
【推广】
（4）若A与B相似，则AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与
B-1相似，A*与B*也相似
（三）矩阵的相似对角化
9、相似对角化定义:
如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P,使得P-
1AP=A=,
称A可相似对角化。
注：
Aai=入iai（ai工0,由于P可逆），故P的每一列均为
矩阵A的特征值入i的特征向量
10、相似对角化的充要条件
（1）A有n个线性无关的特征向量
（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量
11、相似对角化的充分条件：
（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无
关）
（2）A为实对称矩阵
12、重要结论：
（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r
（A）为零特征值的个数
（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数
四）实对称矩阵
13、性质
（1）特征值全为实数
（2）不同特征值的特征向量正交
（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=A
（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q,使得Q-
1AQ二QTAQ=
6二次型
（一）二次型及其标准形
1、二次型：
（1）一般形式
（2）矩阵形式（常用）
2、标准形：
如果二次型只含平方项，即f（x1,x2，…，xn）
二d1x12+d2x22+…+dnxn2
这样的二次型称为标准形（对角线）
3、二次型化为标准形的方法：
1）配方法：
通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★
（2）正交变换法：
通过正交变换x=Qy,将二次型化为标准形
入1y12+入2y22+…+入nyn2
其中，入1,入2,…，入n是A的n个特征值，Q为A的正交
矩阵
注：
正交矩阵Q不唯一，Yi与入i对应即可。
（二）惯性定理及规范形
4、定义：
正惯性指数：
标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p；
负惯性指数：
标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q；
规范形：
f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：
二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变
注：
（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p二正特征值的个数，q二负特征值的个数，p+q二非零特征值的个数=r（A）
（3）合同矩阵
6、定义：
A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C,使得B=CTAC称A与B合同
△7、总结：
n阶实对称矩阵A、B的关系
（1）A、B相似（B二P-1AP―相同的特征值
（2）A、B合同（B=CTAC―相同的正负惯性指数―相同的正负特征值的个数
（3）A、B等价（B二PAQ-->r（A）=r（B）
注：
实对称矩阵相似必合同，合同必等价
（4）正定二次型与正定矩阵
8、正定的定义
二次型xTAx，如果任意xm0,xx有xTAx>0,则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型xTAx正定充要条件：
（1）A的正惯性指数为n
（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C,使得A=CTG或CTAC=E
（3）A的特征值均大于0
（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）
10、n元二次型xTAx正定必要条件：
（1）aii>0
（2）|A|>0
11、总结：
二次型xTAx正定判定（大题）
（1）A为数字：
顺序主子式均大于0
（2）A为抽象：
①证A为实对称矩阵：
AT=A②再由定义或特征值判定
12、重要结论：
（1）若A是正定矩阵，则kA（k>0）,Ak,AT,A-1,A*正定
（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定
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