线性代数知识点总结汇总.docx

1、线性代数知识点总结汇总线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一 数 k ，等于用数 k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数 之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘 k 加到另一行（列），行列式的值不变。（ 6）两行成比例，行列式的值为 0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线

2、元素的 乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplacexx : （ A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n2） xxxxxx行列式数学xx证明 8对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值：a b b - bb a b - bb b a - bb b b a（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1） 任一行（列）的各元素与其对应的代数 xx乘积之和等于行列式的值（2） 行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数xx乘积之和等于0(4)行列式公式10、行列式七大公式：( 1)|kA|=kn|A|(2)|AB|=|A| |B|( 3) |AT|=|A|(

3、 4) |A-1|=|A|-1( 5) |A*|=|A|n-1(6)若A的特征值入1、入2、入n,贝卩(7)若A与B相似，则|A|=|B|(5)xx 法贝11、 xx 法贝：( 1)非齐次线性方程组的系数行列式不为 0 ,那么方程为唯一解( 2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,贝它的系数 行列式必为 0( 3)若齐次线性方程组的系数行列式不为 0,贝齐次线性方程组只有 0 解；如果方程组有非零解,那么必有 D=0。2 矩阵(1)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：(1)矩阵乘法要求前列后行一致；(2)矩阵乘法不满足交换律； (因式分解的公式对矩阵不适 用，但若 B=E,O,A-1，A*,f

4、(A) 时，可以用交换律)(3)AB=O不能推出 A=O或 B=O2、转置的性质( 5 条)( 1)( A+B) T=AT+BT( 2)( kA) T=kAT( 3)( AB) T=BTAT( 4) |A|T=|A|( 5)( AT) T=A(2)矩阵的逆3、逆的定义：AB= BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1注：A可逆的充要条件是|A|工04、 逆的性质：(5 条)(1)(kA) -1=1/k A-1 (k 半0)(2)(AB) -1=B-1 A-1(3)|A-1|=|A|-1(4)(AT) -1=(A-1) T( 5)( A-1 ) -1=A5、 逆的求法：( 1 )

5、A 为抽象矩阵：由定义或性质求解(2) A为数字矩阵：(A|E)t初等行变换E|A-1 )(3)矩阵的初等变换6、 初等行(列)变换定义：( 1 )两行(列)互换；( 2)一行(列)乘非零常数 c( 3)一行(列)乘 k 加到另一行(列)7、初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质：(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵( 2)初等矩阵均为可逆矩阵，且 Eij-1=Eij (i ，j 两行互 换)；Ei-1 (c)=Ei(1/c )(第 i 行(列)乘 c)Eij-1 (k) =Eij (-k)(第 i 行乘 k 加到 j )(四)矩阵的秩9、

6、秩的定义：非零子式的最高阶数注：(1) r (A) =0意味着所有元素为0,即A=O(2)r (AnXn) =n (满秩)- |A| 工 0-A 可逆；r (A)v n - |A|=0 - A 不可逆；(3)r (A) =r (r=1、2、n-1 ) - r阶子式非零且所有 r+1 子式均为 0。10 、秩的性质：( 7 条)(1)A为 mn 阶矩阵，则 r (A) min (m,n)(2)r (A B) r (A)( B)(3)r (AB minr (A), r (B) (4) r (kA) =r (A (0)(5)r (A) =r (AC (C是一个可逆矩阵)(6)r(A)=r(AT)=r

7、(ATA)=r(AAT)(7)设A是mn阶矩阵，B是nXs矩阵，AB=O则r (A) +r(B)n11、秩的求法：(1)A为抽象矩阵：由定义或性质求解；(2)A为数字矩阵：A-初等行变换-阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为 0)，则 r ( A) =非零行的行数(五)伴随矩阵12、伴随矩阵的性质：(8 条)( 1 )AA*=A*A=|A|E - A*=|A|A -1(2)(kA)*=kn-1A*( 3)( AB)*=B*A*( 4)|A*|=|A|n-1( 5)( AT) *= ( A*) T( 6)( A-1 )*= ( A*)-1=A|A|-1(7) (A*) *=|A| n- 2

8、A ( 8) r (A*) =n (r (A)二n);r (A*) =1 (r (A) =n-1);r (A*) =0 (r (A)v n-1)(六)分块矩阵13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同14、分块矩阵求逆:1严oL o L4-O Bl.C 0卜3向量（一）向量的概念及运算1、 向量的内积：（a,B） = a TB =B Ta2、 XX 定义：| a | =3、 正交定义：（a,B） = a T B B T a 二a1b1+a2b2+anbn=O4、 正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT二E A-1=AT ATA二E |A|= 1（二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零

9、列向量B可由a 1,a 2,，as线性表示（1） r （a 1 ,a 2,，a S） =r （a 1 ,a 2,，a S,B）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、 线性表示的充分条件： （了解即可）若a 1 ,a 2,，as线性无关，a 1 ,a 2,，a S,B线 性相关，则B可由a 1,a 2,，as线性表示。7、 线性表示的求法：（大题第二步）设a 1,a 2,，as线性无关，B可由其线性表示。（a 1 ,a 2,，a S| 初等行变换宀（行最简形|系数）行最简形：每行第一个非 0 的数为 1，其余元素均为 0（三）线性相关和线性无关8、 线性相关注意事项：（1）a

10、线性相关一a =0(2)a 1,a2线性相关一a 1,a2成比例9、 线性相关的充要条件：向量组a 1,a 2,，as线性相关(1)有个向量可由其余向量线性表示；(2)xS) 齐次方程(a 1 ,a 2,，a S) (x1 , x2，,T=0有非零解； ( 3) - r (a 1 ,a 2,，a S)V S即秩小于个数 特别地，n个n维列向量a 1,a 2,，an线性相关(1)- r (a 1 ,a 2,，a n)v n(2) | a 1 ,a 2,，a n |=0(3)(a 1 ,a 2,，a n)不可逆10、 线性相关的充分条件：( 1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关( 2)部分相关

11、,则整体相关( 3) xx 相关,则低维相关4)以少表多,多必相关推论：n+1个n维向量一定线性相关1 1 、线性无关的充要条件向量组a 1 ,a 2,，a S线性无关(1)任意向量均不能由其余向量线性表示；(2) 齐次方程(a 1 ,a 2,，a S) (x1 , x2，XS)T=0只有零解(3) r (a 1 ,a 2,，a S) =S特别地，n个n维向量a 1 ,a 2,，a n线性无关 r (a 1 ,a 2,，a n) =n | a 1 ,a 2,，a n|工0 -矩阵可逆1 2、线性无关的充分条件：( 1 )整体无关,部分无关( 2)低维无关, XX 无关( 3)正交的非零向量组线

12、性无关( 4)不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定1 )定义法( 2)秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】( 1)在矩阵左边乘列满秩矩阵(秩 =列数)，矩阵的秩不变；在 矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。(2)若n维列向量a 1,a 2,a 3线性无关，B 1,B 2,B 3 可以由其线性表示，即(B 1 , B 2,B 3) = (a 1 ,a 2,a 3) C, 则r (B 1,B 2,B 3) =r (C),从而线性无关。r (B 1,B 2,B 3) =3 r ( C) =3 |C| 工0(4)极大线性无关组与向量组的秩14、 极大线性无关组

13、不唯一15、 向量组的秩 : 极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩 : 非零子式的最高阶数注：向量组a 1 ,a 2,，a S的秩与矩阵A= (a 1 ,a 2,，a S)的秩相等16、极大线性无关组的求法(1 )a 1 ,a 2,，a S为抽象的：定义法 (2)a 1 ,a 2,，a S为数字的:（a 1 ,a 2,，a S）t初等行变换宀阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间17、基（就是极大线性无关组）变换公式：若a 1,a 2,，a n与B 1,B 2,，B n是n维向量空间V的两组基，则基变换公式为（B 1，B 2，B n） = （a 1

14、,a 2，a n） CnXn其中，C是从基a 1，a 2，a n至U B 1，B 2，B n的 过渡矩阵。C= （a 1，a 2，a n） -1 （B 1，B 2，B n）18、坐标变换公式：向量丫在基a 1，a 2，an与基B 1，B 2，B n的坐标分别为 x= （x1，x2，xn） T，y= （y1，y2，yn） T,，即 丫 =x1 a 1 + x2 a 2 + +xn a n 二y1 B 1 + y2 B 2 + +yn B n,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基a 1,a 2,，a n到B 1 ,B 2,，B n的过渡矩阵。C= （a 1,a 2,，a n） -

15、1 （B 1 ,B 2,，B n）六） Schmidt 正交化19、Schmidt 正交化设a 1 ,a 2,a 3线性无关(1)正交化届计肿严一(必严(2)单位化4线性方程组(1)方程组的表达形与解向量1、解的形式:(1) 一般形式矩阵形式：Ax二b;2、解的定义:若n = (cl, c2，cn) T满足方程组Ax二b,即An =b，称 n是Ax=b的一个解(向量)(2)解的判定与性质3、 齐次方程组：(1)只有零解r (A)二n (n为A的列数或是未知数x的个 数)(2)有非零解r (A)v n4、 非齐次方程组：(1)无解- r (A)v r (A|b) - r (A) =r (A) -

16、1(2)唯一解- r (A) =r (A|b ) =n(3)无穷多解r (A) =r (A|b )v n5、 解的性质：(1)若 E 1 ,E2 是 Ax=0 的解，贝S k1 E 1+k2 E2 是 Ax=0 的解(2)若E是Ax=0的解，n是Ax=b的解，贝S E +n是Ax=b的解(3)若n 1,n2是Ax=b的解，贝S n1- n2是Ax=0的解【推广】(1)设n 1 ,n 2,，ns是Ax=b的解，贝卩k1 n 1+k2 n 2+ks ns 为Ax=b的解(当艺ki=1 )Ax=0的解(当艺ki=O )(2)设n 1 ,n 2,，ns是Ax=b的s个线性无关的解，则 n2 - n 1

17、,n3 - n 1,，ns - nl为Ax=0的s-1个线性无关的解。变式： nl - n 2,n3 - n 2,，ns - n2n2 - n 1,n3 - n 2,，ns - ns-1(3)基础解系6、基础解系定义：(1)E 1,E 2,，E s 是 Ax=0的解(2)E 1,E 2,，E s线性相关(3)Ax=0的所有解均可由其线性表示-基础解系即所有解的极大无关组注：基础解系不唯一。任意n-r (A)个线性无关的解均可作为基础解系7、重要结论：(证明也很重要)设AxxmrKn阶矩阵，B是nXs阶矩阵，AB=O(1)B的列向量均为方程Ax=0的解(2)r (A) +r (B) n (第 2

18、xx，秩)8、 总结：基础解系的求法(1) A为抽象的：由定义或性质凑n-r (A)个线性无关的解(2)A为数字的：A-初等行变换-阶梯型自由未知量分别取 1,0,0 ；0,1,0 ；0,0,1 ；代入解得非自由未 知量得到基础解系(4)解的结构(通解)9、 齐次线性方程组的通解(所有解)设r (A) =r,E 1,E 2,，En-r为Ax=0的基础解系，贝S Ax=0的通解为 k1 n 1+k2n 2+kn-r nn-r (其中 k1,k2，kn-r为任意常数)10、 非齐次线性方程组的通解设r (A) =r, E 1 ,E 2,，En-r为Ax=0的基础解系，n 为Ax=b的特解,则 Ax

19、=b 的通解为 n + k1 n 1+k2n 2+kn-r nn-r (其中 k1, k2，kn-r为任意常数)(5)公共解与同解1 1 、公共解定义：如果a既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称 a为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解-有非零解一13 、重要结论(需要掌握证明)(1)设A是mn阶矩阵，则齐次方程 ATAx=0与 Ax=0同解，r( ATA) =r( A)(2)设A是mn阶矩阵，r (A)二n, B是nXs阶矩阵，则齐 次方程 ABx=0与 Bx=0 同解，r (AB =r (B)5 特征值与特征向量(1)矩阵的特征值与特征向

20、量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数 入及非零列向量a,使得 Aa二入a,称a是矩阵A属于特征值 入的特征向量。2、 特征多项式、特征方程的定义：|入E-A|称为矩阵A的特征多项式(入 的n次多项式)。|入E-A |=0称为矩阵A的特征方程(入 的n次方程)。注：特征方程可以写为|A-入E|=03、 重要结论：(1)若a为齐次方程Ax=0的非零解，则Aa =0-a，即a 为矩阵A特征值入=0的特征向量(2)A的各行元素和为k，则(1 , 1,，1)T为特征值为k的 特征向量。( 3)上(下)三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元 素。4、总结：特征值与特征向量的求法(1)

21、 A为抽象的：由定义或性质凑 (2) A为数字的：由特征方程法求解5、 特征方程法：(1)解特征方程|入E-A|=O，得矩阵A的n个特征值入1,入2, ，入n注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作入仁入2二二入s二实数，不能省略)(2) 解齐次方程(入iE-A) =0,得属于特征值 入i的线性无关 的特征向量，即其基础解系(共 n-r (入iE-A)个解)6、 性质：(1)不同特征值的特征向量线性无关(2)k重特征值最多k个线性无关的特征向量1n-r (入 iE-A) r (A) =r (B)注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价(4)正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型xTAx，如果任

22、意xm0, xx有xTAx0,则称二次型正 定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。9、 n元二次型xTAx正定充要条件：(1)A的正惯性指数为n(2)A与E合同，即存在可逆矩阵 C,使得A=CTG或 CTAC=E(3)A的特征值均大于0(4)A的顺序主子式均大于0 (k阶顺序主子式为前k行前k 列的行列式)10、 n元二次型xTAx正定必要条件：( 1 ) aii 0( 2) |A| 011、 总结：二次型xTAx正定判定(大题)( 1 ) A 为数字：顺序主子式均大于 0(2) A为抽象：证A为实对称矩阵：AT=A再由定义或特 征值判定12、 重要结论：(1)若A是正定矩阵，则kA (k0), Ak, AT, A-1, A*正定(2)若A、B均为正定矩阵，则A+B正定