不等式解法及应用.docx

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不等式解法及应用

第三十二讲不等式解法及应用

一、复习目标要求

1．不等关系

通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；

2．一元二次不等式

①．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；

②通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

3二元一次不等式组与简单线性规划问题

①从实际情境中抽象出二元一次不等式组；

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；

③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

二、2010年命题预测

分析近几年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节（如函数、数列等）交汇。

从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式以及线性规划等，解答题主要考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。

预测2010年高考的命题趋势：

1．结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现；

2．以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察考生阅读以及分析、解决问题的能力；

3．在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势；

4．对含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因，合理分类，不重不漏。

三、知识精点讲解

1．不等式的解法

解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。

高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。

（1）同解不等式（

（1）与同解；

（2）与同解，与同解；

（3）与同解）；

2．一元一次不等式

解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

情况分别解之。

3．一元二次不等式

或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。

4．分式不等式

分式不等式的等价变形：

>0

f（x）·g（x）>0，

≥0

。

5．简单的绝对值不等式

绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。

高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。

解绝对值不等式的常用方法：

①讨论法：

讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；

②等价变形：

解绝对值不等式常用以下等价变形：

|x|

x2

－a0），

|x|>a

x2>a2

x>a或x<－a（a>0）。

一般地有：

|f（x）|

－g（x）

|f（x）|>g（x）

f（x）>g（x）或f（x）

6．指数不等式

；

；

7．对数不等式

等，

（1）当时，；

（2）当时，。

8．线性规划

（1）平面区域

一般地，二元一次不等式

在平面直角坐标系中表示

某一侧所有点组成的平面区域。

我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。

当我们在坐标系中画不等式

所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。

说明：

由于直线

同侧的所有点的坐标

代入

，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点

，从

的正负即可判断

表示直线哪一侧的平面区域。

特别地，当

时，通常把原点作为此特殊点。

（2）有关概念

引例：

设

，式中变量

满足条件

，求

的最大值和最小值。

由题意，变量

所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。

由图知，原点

不在公共区域内，当

时，

，即点

在直线

：

上，作一组平行于

的直线

：

，

，可知：

当

在

的右上方时，直线

上的点

满足

，即

，而且，直线

往右平移时，

随之增大。

由图象可知，当直线

经过点

时，对应的

最大，

当直线

经过点

时，对应的

最小，所以，

，

。

在上述引例中，不等式组是一组对变量

的约束条件，这组约束条件都是关于

的一次不等式，所以又称为线性约束条件。

是要求最大值或最小值所涉及的变量

的解析式，叫目标函数。

又由于

是

的一次解析式，所以又叫线性目标函数。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解

叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。

其中可行解

和

分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。

四．典例解析

题型1：

简单不等式的求解问题

例1．（2002京皖春，1）不等式组

的解集是（）

A．｛x｜－1＜x＜1

B．｛x｜0＜x＜３

C．｛x｜0＜x＜1

D．｛x｜－1＜x＜３

答案：

C

解析：

原不等式等价于：

0＜x＜1。

点评：

一元二次不等式的求解问题是高中数学的基础性知识，是解决其它问题的基础。

例2．（2001河南、广东，1）不等式

>0的解集为（）

A.{x|x<1}B.{x|x>3}

C.{x|x<1或x>3}D.{x|1

答案：

C

解析：

由已知

（x－1）（x－3）>0，

∴x<1或x>3.

故原不等式的解集为{x|x<1或x>3}。

点评：

简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等式的解题思路是：

分式化整式（注意分母不为零）。

题型2：

简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题

例3．

（1）（2002全国，3）不等式（1＋x）（1－｜x｜）＞0的解集是（）

A．｛x｜0≤x＜1

B.｛x｜x＜0且x≠－1

C．｛x｜－1＜x＜1

D.｛x｜x＜1且x≠－1

（2）（1997全国，14）不等式组

的解集是（）

A.｛x｜0＜x＜2

B.｛x｜0＜x＜2.5

C.｛x｜0＜x＜

D.｛x｜0＜x＜3

解析：

（1）答案：

D；

解法一：

①x≥0时，原不等式化为：

（1＋x）（1－x）＞0，

∴（x＋1）（x－1）＜0，

∴

0≤x＜1。

②x＜0时，原不等式化为：

（1＋x）（1＋x）＞0

（1＋x）2＞0，

∴x≠－1，

∴x＜0且x≠－1。

综上，不等式的解集为x＜1且x≠－1。

解法二：

原不等式化为：

①或

②

①解得

－1＜x＜1，

②解得

即x＜－1，

∴原不等式的解集为x＜1且x≠－1。

点评：

该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求。

（2）答案：

C

解法一：

当x≥2时，原不等式化为

，

去分母得（x+2）（3－x）＞（x+3）（x－2），

即－x2＋x＋6＞x2＋x－6，2x2－12＜0，

。

注意x≥2，得2≤x＜

；

当0＜x＜2时，原不等式化为

，去分母得－x2＋x＋6＞－x2－x＋6。

即2x＞0注意0＜x＜2，得0＜x＜2。

综上得0＜x＜

，所以选C。

解法二：

特殊值法.取x=2，适合不等式，排除A；取x=2.5，不适合不等式，排除D；再取x=

，不适合不等式，所以排除B；选C。

点评：

此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力。

例4．

（1）（1995全国理，16）不等式（

）

＞3－2x的解集是_____。

（2）（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为（）

A.（

，

）∪（π，

）B.（

，π）

C.（

，

）D.（

，π）∪（

，

）

（3）（06山东理，3）设f（x）=

则不等式f（x）>2的解集为（）

（A）（1，2）

（3，+∞）（B）（

，+∞）

（C）（1，2）

（

，+∞）（D）（1，2）

解析：

（1）答案：

｛x|－2＜x＜4｝

将不等式变形得

则－x2＋8＞－2x，从而x2－2x－8＜0，（x＋2）（x－4）＜0，－2＜x＜4，所以不等式的解集是｛x|－2＜x＜4｝．

评述：

此题考查指数不等式的解法；

（2）答案：

C

解法一：

作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标

和

，由图4—6可得C答案。

图4—6图4—7

解法二：

在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）。

（3）C；

点评：

特殊不等式的求解，转化是一方面，借助于函数的性质和图象也是解决问题的有效手段。

题型3：

含参数的不等式的求解问题

例5．

（1）设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M

［1，4］，求实数a的取值范围？

（2）解关于x的不等式

＞1（a≠1）。

分析：

该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗。

解析：

（1）M

［1，4］有两种情况：

其一是M=

，此时Δ＜0；其二是M≠

，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围。

设f（x）=x2－2ax+a+2，有Δ=（－2a）2－（4a+2）=4（a2－a－2）

当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=

［1，4］；

当Δ=0时，a=－1或2；

当a=－1时M={－1}

［1，4］；当a=2时，m={2}

［1，4］。

当Δ＞0时，a＜－1或a＞2。

设方程f（x）=0的两根x1，x2，且x1＜x2，

那么M=［x1，x2］，M

［1，4］

1≤x1＜x2≤4

，

即

，解得2＜a＜

，

∴M

［1，4］时，a的取值范围是（－1，

）。

（2）原不等式可化为：

＞0，

①当a＞1时，原不等式与（x－

）（x－2）＞0同解。

由于

，

∴原不等式的解为（－∞，

）∪（2，+∞）。

②当a＜1时，原不等式与（x－

）（x－2）＜0同解。

由于

，

若a＜0，

，解集为（

，2）；

若a=0时，

，解集为

；

若0＜a＜1，

，解集为（2，

）。

综上所述：

当a＞1时解集为（－∞，

）∪（2，+∞）；当0＜a＜1时，解集为（2，

）；当a=0时，解集为

；当a＜0时，解集为（

，2）。

点评：

考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系。

本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想。

M=

是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错。

例6．

（1）（06重庆理，15）设a＞0,n

1,函数f（x）=alg（x2-2n+1）有最大值.则不等式logn（x2-5x+7）＞0的解集为_______；

（2）（06重庆文，15）设

，函数

有最小值，则不等式

的解集为。

解析：

（1）由于函数有最大值，则

。

所以原不等式可转化为

，又因为

恒成立，由

解得

；

（2）由于函数有最小值，故

。

原不等式化为

，即

。

点评：

含参数指数、对数不等式的处理原则是转化为一般的不等式，兼顾到底数的分类标准为

两种情况，这也是分类的标准。

题型4：

线性规划问题

例7．

（1）（06安徽，10）如果实数

满足条件

，那么

的最大值为（）

A．

B．

C．