函数及其表示复习教案绝对经典.docx
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函数及其表示复习教案绝对经典
第1讲 函数及其表示
【20XX年高考会这样考】
1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法.
2.考查分段函数的简单应用.
3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考查.
【复习指导】
正确理解函数的概念是学好函数的关键,函数的概念比较抽象,应通过适量练习弥补理解的缺陷,纠正理解上的错误.本讲复习还应掌握:
(1)求函数的定义域的方法;
(2)求函数解析式的基本方法;(3)分段函数及其应用.
基础梳理
1.函数的基本概念
(1)函数的定义:
设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:
y=f(x),x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫自变量,x的取值范围A叫做定义域,与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合B的子集.
(3)函数的三要素:
定义域、值域和对应关系.
(4)相等函数:
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据.
2.函数的三种表示方法
表示函数的常用方法有:
解析法、列表法、图象法.
3.映射的概念
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
A→B为从集合A到集合B的一个映射.
一个方法
求复合函数y=f(t),t=q(x)的定义域的方法:
①若y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得a<q(x)<b即可求出y=f(q(x))的定义域;②若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域.
两个防范
(1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域.
(2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性.
三个要素
函数的三要素是:
定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射f:
A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为( ).
A.(0,+∞)B.[0,+∞)
C.(1,+∞)D.[1,+∞)
解析 ∵3x+1>1,
∴f(x)=log2(3x+1)>log21=0.
答案 A
2.若f(x)=
,则f(x)的定义域为( ).
A.
B.
C.
D.(0,+∞)
解析 由log
(2x+1)>0,即0<2x+1<1,
解得-
<x<0.
答案 A
3.下列各对函数中,表示同一函数的是( ).
A.f(x)=lgx2,g(x)=2lgx
B.f(x)=lg
,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1)
C.f(u)=
,g(v)=
D.f(x)=(
)2,g(x)=
答案 C
4.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( ).
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
解析 根据规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,即余数分别为7、8、9时可增选一名代表.因此利用取整函数可表示为y=
.故选B.
答案 B
5.函数y=f(x)的图象如图所示.那么,f(x)的定义域是________;值域是________;其中只与x的一个值对应的y值的范围是________.
解析 任作直线x=a,当a不在函数y=f(x)定义域内时,直线x=a与函数y=f(x)图象没有交点;当a在函数y=f(x)定义域内时,直线x=a与函数y=f(x)的图象有且只有一个交点.
任作直线y=b,当直线y=b与函数y=f(x)的图象有交点,则b在函数y=f(x)的值域内;当直线y=b与函数y=f(x)的图象没有交点,则b不在函数y=f(x)的值域内.
答案 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
考向一 求函数的定义域
【例1】►求下列函数的定义域:
(1)f(x)=
;
(2)f(x)=
.
[审题视点]理解各代数式有意义的前提,列不等式解得.
解
(1)要使函数f(x)有意义,必须且只须
解不等式组得x≥3,因此函数f(x)的定义域为[3,+∞).
(2)要使函数有意义,必须且只须
即
解得:
-1因此f(x)的定义域为(-1,1).
求函数定义域的主要依据是
(1)分式的分母不能为零;
(2)偶次方根的被开方式其值非负;(3)对数式中真数大于零,底数大于零且不等于1.
【训练1】
(1)已知f(x)的定义域为
,求函数y=f
的定义域;
(2)已知函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],求f(x)的定义域.
解
(1)令x2-x-
=t,
知f(t)的定义域为
,
∴-
≤x2-x-
≤
,
整理得
⇒
∴所求函数的定义域为
∪
.
(2)用换元思想,令3-2x=t,
f(t)的定义域即为f(x)的定义域,
∵t=3-2x(x∈[-1,2]),∴-1≤t≤5,
故f(x)的定义域为[-1,5].
考向二 求函数的解析式
【例2】►
(1)已知f
=lgx,求f(x);
(2)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数f(x)的解析式.
[审题视点]
(1)用代换法求解;
(2)构造方程组求解.
解
(1)令t=
+1,则x=
,
∴f(t)=lg
,即f(x)=lg
.
(2)x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1).①
以-x代x得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).②
由①②消去f(-x)得
f(x)=
lg(x+1)+
lg(1-x),x∈(-1,1).
求函数解析式的方法主要有:
(1)代入法;
(2)换元法;(3)待定系数法;(4)解函数方程等.
【训练2】
(1)已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,试求f(x)的表达式.
(2)已知f(x)+2f(
)=2x+1,求f(x).
解
(1)由题意可设f(x)=ax2+bx(a≠0),则
a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1
ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1
∴
解得a=
,b=
.
因此f(x)=
x2+
x.
(2)由已知得
消去f
,
得f(x)=
.
考向三 分段函数
【例3】设函数f(x)=
则满足f(x)≤2的x的取值范围是( ).
A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)
[审题视点]对于分段函数应分段求解,最后再求其并集.
解析 f(x)≤2⇔
或
⇔0≤x≤1或x>1,故选D.
答案 D
分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题,关键抓住在不同的段内研究问题,如本例中,需分x≤1和x>1时分别解得x的范围,再求其并集.
【训练3】已知实数a≠0,函数f(x)=
若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.
解析 分类讨论:
(1)当a>0时,1-a<1,1+a>1.
这时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;
f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.
由f(1-a)=f(1+a),得2-a=-1-3a,
解得a=-
,
不符合题意,舍去.
(2)当a<0时,1-a>1,1+a<1,
这时f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a;
f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a,
由f(1-a)=f(1+a),得-1-a=2+3a,
解得a=-
.
综合
(1),
(2)知a的值为-
.
答案 -
阅卷报告1——忽视函数的定义域
【问题诊断】函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.如果是复合函数,应该根据复合函数单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,根据同增异减的法则求解函数的单调区间.由于思维定势的原因,考生容易忽视定义域,导致错误.
【防范措施】研究函数的任何问题时,把求函数的定义域放在首位,即遵循“定义域优先”的原则.
【示例】►求函数y=log
(x2-3x)的单调区间.
错因 忽视函数的定义域,把函数y=log
t的定义域误认为R导致出错.
实录 设t=x2-3x.
∵函数t的对称轴为直线x=
,
故t在
上单调递减,在
上单调递增.
∴函数y=log
(x2-3x)的单调递增区间
是
,单调递减区间是
.
正解 设t=x2-3x,由t>0,得x<0或x>3,即函数的定义域为(-∞,0)∪(3,+∞).
函数t的对称轴为直线x=
,
故t在(-∞,0)上单调递减,在
上单调递增.
而函数y=log
t为单调递减函数,由复合函数的单调性可知,函数y=log
(x2-3x)的单调递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(3,+∞).
【试一试】求函数f(x)=log2(x2-2x-3)的单调区间.
[尝试解答] 由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,
即函数的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞).
令t=x2-2x-3,则其对称轴为x=1,故t在(-∞,-1)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数.
又y=log2t为单调增函数.
故函数y=log2(x2-2x-3)的单调增区间为(3,+∞),单调减区间为(-∞,-1).