八年级数学正比例函数说课附教案.docx

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八年级数学正比例函数说课附教案

正比例函数（说课稿）

我说课的课题是《正比例函数》

一．教材分析

1．教材的地位与作用

《正比例函数》是九年制义务教育新课程标准八年级第一学期第二十一章的内容。

从比例中的两个量的比值是一个定值，得出两个量成正比例的概念。

学生已经学习了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例概念。

再从正比例关系到正比例函数，从互相联系的两个变量在变化过程中有互相依从，互相制约的关系，初步引出函数的概念。

因此，本节课具有承上启下的重要作用，函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想，对于初次接触到函数的学生而言，理解函数的意义是个难点。

因此本节课在教学中力图向学生展示常见问题中的变量，和变量之间的关系，使学生对以后函数的定义有一定的了解。

2．教学目标

根据上述教材结构与分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下目标：

1、理解正比例函数及正比例的意义；

2、根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；

3、识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。

３．教学重点：

理解正比例和正比例函数的意义

4．教学难点：

判定两个变量之间是否存在正比例的关系

二．学生情况

在这节课之前，学生已经掌握了比例的意义和性质，对正比例的定义的掌握没有什么问题。

对根据给出的实际问题，列代数式或是列方程都有一定的训练。

三．教学方法

本节课的难点是理解现实问题中是否存在变量，并能判定两个变量之间是否存在正比例的关系，通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多观察，多练习，主动参与到整个教学活动中来，通过观察能发现正比例函数的特点，教师的主导作用与学生主体地位达到了相互统一。

四．学法指导

通过本节课的教学，教师引导学生学会观察、归纳的学习方法，培养探究、自主学习能力。

五．教学过程（课件展示）

活动1：

问题的引入

通过“路程问题”建立数学模型，理解路程与时间的对应函数关系，为导出正比例函数做铺垫。

活动2：

变量的学习

通过几个具体实例，概括、归纳导入变量，常量函数的概念。

活动3：

正比例行数概念的学习

通过几个具体实例，概括、归纳出一类具有共性的函数关系式，导入正比例函数的概念。

活动4：

正比例函数关系特征的探究

通过对正比例函数的理解，能用待定系数法求得正比例函数的解析式

活动5：

小结与练习

让学生讨论小结并允许答案不同，可以增强学生学习的积极性和主动性，培养他们对所学知识养成顾回顾思考的好习惯。

同时，通过小结也强调了本节课的重点，巩固了学习内容。

六．教学设计说明

本节内容是在学生学习了比例的概念基础上进行的，学习正比例、正比例函数，再引入反比例函数和函数有利于降低教学难度，使难点分散。

在处理教材方面，采取“建立数学模型——导入概念——巩固概念——小结、练习”这样秩序渐进的教学流程。

由于本节课内容概念性强，所以我采取通过学生熟悉的行程问题来导入正比例函数的概念，学生易于接受。

在教学设计时，注重了学生的模拟和尝试，同时重视教师的引导、指导和示范，如在概念出示时必要的板书，对关键之处的启发、点拨和讲解，有利于学生对概念的理解。

§21.3　正比例函数教案

教学目的：

4、理解正比例函数及正比例的意义；

5、根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；

6、识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。

教学重点：

理解正比例和正比例函数的意义

教学难点：

判定两个变量之间是否存在正比例的关系

教学过程：

一、新课引入：

回答下列问题：

（1）汽车在公路上以每小时100千米的速度行驶，怎样表示它走过的路程S（千米）随行驶时间t（小时）变化的关系？

（2）圆的周长C与半径r之间的关系是什么？

（3）某水厂以每分钟20升的速度向一个空水池放水，怎样表示水池的蓄水量Q（升）与时间t（小时）之间的关系？

解：

（1）S=100t

（2）C=2πr

（3）Q=20t

二、新课讲解：

1、常量、变量，函数的描述性定义

我们研究其中第

（1）个问题：

在计算汽车在不同时间内所行驶的路程时，t与S可以取不同的数值，而汽车的速值总是保持不变，可成下表：

t（小时）

…

1

1.5

2

2.5

3

…

S（千米）

…

100

150

200

250

300

…

常量：

在某个问题的研究过程中，始终保持不变的量叫做常量

如

（1）中的速度；

（2）中的圆周率；（3）中放水的速度

变量：

在某个问题的研究过程中可以取不同数值的量叫做变量

如

（1）中的S，t；

（2）中的C，r；（3）中的Q，t

函数：

在某个问题中，几个变量之间满足一定的对应关系，我们称之为函数。

如：

（1）中对于时间t的每一个确定的值，路程都有唯一确定的值与之对应，那么我们说S是t的函数，其中变量t是自变量，变量S叫做应变量，S与t之间的对应关系可以用数学式子S=100t来表示，这种表示S和t之间关系的式子称为函数关系式或函数解析式。

学生模仿练习说明

（2）（3）中的函数，自变量，应变量，函数关系式分别是什么？

（2）中C是r的函数，r是自变量，C是应变量，函数关系式是C=2πr；

（3）中Q是t的函数，t是自变量，Q是应变量，函数关系式是Q=20t；

2、正比例函数的定义

观察

（1）中S与t的不同取值之间有什么共同之处？

（1）中S与t的对应值的比值（s/t）总是一个常数（100）

在速度不变的运动中，路程S与时间t的比值是一定的，我们说S与t成正比例。

学生模仿练习说明

（2）（3）有没有成正比例的？

（2）中C与r的比值是2π是一个常量，所以C与r成正比例；

（3）中Q与t的比值是20是一个常量，所以Q与t成正比例；

正比例函数：

一般地，如果变量x，y有关系y=-kx（k是一个不等于0的常数），那么变量x，y成正比例，函数y=kx（

）叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数，自变量x的取值范围是一切实数，比例系数不能为零。

学生模仿练习说出

（1），

（2），（3）中的比例系数

（1）中的比例系数为100；

（2）中的比例系数为2π；（3）中的比例系数为20；

三、习题讲解：

例1、判断下列各式中变量x与变量y是否存在正比例函数关系，是，请说出它的比例系数。

（1）y=–7不是

（2）y=x/8是，比例系数是1/8

（3）y=8/x不是

（4）y=–x是，比例系数是–1

（5）y=x+1不是

（6）

是，比例系数是√3

（7）

不是

（8）y=8x²不是

（9）x=5y是，比例系数是1/5

（10）y/x=6　是，比例系数是６

例2、判断下列关系是否成正比例？

为什么？

（1）正方形的周长与它的边长；

（2）圆的面积与它的半径；

（3）要走50公里的路程，车速v（公里/小时）与行走的时间t（小时）；

（4）矩形的长为5，它的面积与宽；

（5）矩形的长为5，它的周长与宽；

解：

（1）C=4a∵C/a=4正方形的周长与它的边长成正比例

（2）S=πr³∵S/r=πr（不是常量），∴圆的面积与它的半径不成正比例

（3）vt=50∵v/t不是常量，∴车速v，与行走的时间t，不成正比例

（4）S=5b∵s/b=5，∴矩形的面积与宽成正比例

（5）C=2（5+b）∵C/b不是常量，∴矩形的周长与宽不成正比例

例3、已知y与x成正比例，且当x=3时，y＝18，求y与x之间的关系式。

解：

∵y与x成正比例

∴y=kx（k≠0）

把x=3，y=18代入得

18=3k，k=6

∴y与x之间的关系式为y=6x

*要确定一个正比例函数的解析式时，只要确定比例系数k即可，所以求正比例函数的关系式就是转化成解一元一次方程。

学生练习书P43/1，2，3，4

拓展练习：

（1）已知：

函数y=（3+2m）x3-2m是正比例函数，求这个函数的解析式。

（2）已知y与x成正比例，并且当x=1/2时，y=5，求当x=–3时，y的值。

（3）已知y+3与x成正比例，且x=4时，y=–1，求y与x之间的函数关系式。

（4）已知y与x成正比例，z与y也成正比例，且当x=–3时，y=6；当y=

时，z=3，

求z与x之间的函数关系式。

解：

（1）∵函数y=（3+2m）x3-2m是正比例函数

∵3+2m≠0解得：

m≠−3/2

3-2m=1m=1

∴这个函数的解析式为y=5x

（2）∵y与x成正比例，∴设y=kx（k≠0）

把x=-1/2，y=5代入得5=k/2，解得k=10

∴y=10x

把x=–3代入得y=−30

∴当x=–3时，y的值是−30。

（3）∵y+3与x成正比例，∴设y+3=kx（k≠0）

把x=4，y=–1代入得−1+3=4k，解得k=1/2

∴y+3=x/2

∴y与x之间的函数关系式为y=x/2–3。

（4）∵y与x成正比例，z与y也成正比例

∴设y=k1x（k1≠0），z=k2y（k2≠0），则z=k2y=k2k1x（k1k2≠0）

把x=–3，y=6代入y=k1x（k1≠0）得6=-3k1，解得：

k1=-2；

把y=

，z=3代入z=k2y（k2≠0）得3=

k2，解得：

k2=3

/2；

把，k1=-2k2=3

/2代入z=k2y=k2k1x（k1k2≠0）得z=−3

x

四、小结：

1、常量、变量，函数的意义

2、正比例函数的定义及如何判定两个变量是否成正比例关系

3、正比例函数解析式的确定即为比例系数k的确定，注意k≠0

五、作业：

1、B册/21.3

2、一课一练

3、复习初一学过的二元一次方程的图象与画法

正比例函数（教案）

伍洛中学陈格华

教学任务分析

教

学

目

标

知识技能

1．初步理解正比例函数的概念及其图象的特征；

2．能够画出正比例函数的图象；

3．能够判断两个变量是否构成正比例函数关系。

数学思考

1．通过“燕鸥飞行路程问题”的研究，体会建立函数模型的思想；

2．通过正比例函数图象的学习和探究，感知数形结合思想。

解决问题

1．能按要求运用“列表法”和“两点法”作正比例函数的图象；

2．会利用正比例函数解决简单的数学问题。

情感态度

1．结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯；

2．通过正比例函数概念的引入，使学生进一步认识数学是由于人们需要而产生的，现实世界密切相关，同时渗透热爱自然和生活的教育。

重点

正比例函数的概念。

难点

正比例函数图象的特征。

教学流程安排

活动流程图

活动内容和目的

活动1问题的引入

活动2正比例函数概念的学习

活动3画正比例函数的图象

活动4正比例函数图象特征的探究

活动5小结与训练

通过“燕鸥飞行路程问题”建立数学模型，理解行程与时间的对应函数关系，为导出正比例函数铺垫。

通过若干具体实例，根据、归纳出一类带有共性的函数关系表达式，导入正比例函数的概念。

通过师生共同活动，学会运用描点法画出正比例函数的图象。

通过对若干实例的观察、分析、比较、根据，归纳出正比例函数图象的特征。

回顾和重现本节重点内容，加深对本节知识的理解，通过巩固性练习，尝试运用本节知识解决问题。

教学过程设计

问题与情境

师生行为

设计意图

活动1

问题

（1）你知道候鸟吗？

它们在每年的迁徙中能飞多远？

（2）候鸟燕鸥的飞行路程与时间之间有什么样的数量关系？

学生稍作思考，自主解决三个问题：

（1）燕鸥飞行的路程；

（2）燕鸥总行程y（千米）与飞行时间x（天）的关系式：

y=200x；

（3）燕鸥飞行1个半月的行程。

教师在学生得到结论的基础上提醒：

这里用函数y=200x对燕鸥飞行路程问题进行了刻画，尽管只是近似的，但它反映了燕鸥的行程与时间之间的对应规律。

在本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生对飞行总行程y和飞行时间x的函数关系的理解；

（2）学生能否正确指出自变量、自变量的函数、自变量的取值范围。

从环保等人们关注的现实问题人手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学。

“这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米”隐含了生命的力量是无比强大的，教师应注意对学生潜在地进行热爱生活热爱自然的教育。

路程与速度、时间之间关系，学生较为熟悉。

当速度一定时，路程是时间的函数。

由这些简单的实例不断体会从现实世界中抽象数学模型、建立数学关系的方法。

活动2

问题

（1）教科书23页上有4个实例，这些实际问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？

这些函数有什么共同点？

（2）你能举出一些正比例函数的例子吗？

教师出示四个实例问题（投影），要求学生

（1）能找出变量对应关系表达式；

（2）能说出表达式的自变量，自变量的函数。

学生自主探究，分组讨论；然后教师让各小组代表回答问题。

教师学生互动，对回答的问题进行分析评价。

教师提问：

l=2πr中，字母π是变量吗？

教师引导学生观察、分析上面5个函数表达式的共性：

都是常数和自变量乘积的形式。

教师口述并在黑板上板书正比例函数的概念。

教师让学生看书，在定义处画上记号，并提问：

这里为什么强调k是常数，k≠0？

学生讨论，互相补充。

本次活动中，教师应重点关注学生：

（1）不要误认为表达式中的字母都是表示变量；

（2）对自变量的取值范围是否能分析清楚；

（3）是否概括出这几个函数的共同特点。

学生尝试解答左边的问题；教师提醒回答。

要求

（1）举出实际问题；

（2）能对其中的自变量、比例系数、函数关系进行正确的解释。

教师注意：

对于学生列举的不属于正比例函数的实例，不回避，恰当引导，紧扣定义，认真分析。

通过归纳、分析，使学生明白正比例函数的特征，理解其解析式的特点。

通过对具体实例问题搜集分析，既能深化学生对正比例函数的理解，又能为学生运用正比例函数解决问题打下基础。

活动3

问题

（1）我们知道了怎样用解析式表示正比例函数，能否用图象来表示它呢？

怎样在直角坐标系中画出正比例函数的图象？

（2）观察分析两个图象的异同之处。

（3）巩固性练习画图象。

教师在黑板上演示用描点法画出例1

（1）y=2x的图象。

教师注意：

（1）要操作规范，给学生做好样板；

（2）教师在黑板上画时注意和学和学生交流，同时要求学生在下面画。

接着学生独立画出例1

（2）y=－2x的图象。

两位学生在黑板上画。

对于这个问题，教师应关注：

（1）组织学生对所画图象进行评价；

（2）和学生一起简要总结列表画图象的主要步骤：

列表、描点、连线。

学生讨论、分析、比较y=2x与y=－2x图象的异同之处，填写所发现的规律。

两图象都经过原点，两个图象都是直线，函数y=2x的图象从左向右上升，经过第三、一象限；函数y=－2x的图象从左向右下降，经过第二、四象限。

学生独立练习，在同一坐标系中画出y=x与y=－x的图象；让学生观察分析这两个图象异同之处。

学生画图，要有一个模仿、探索过程，然后才能掌握作函数图象的基本要领。

这符合学生的认知规律。

因此，第一个图象由教师示范很有必要。

比较异同之处为后面分析讨论正比例函数图象的特征准备。

练习画图象，通过多个实例，使学生分析后能领悟这一类图象的特点。

活动4

问题

（1）从以上作图过程可以发现正比例函数图象有什么特征。

（2）经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？

教师对画图过程进行巡回指导和个别辅导，学生画完图后提请学生回答这两上图象的特点并与上面的特点相比较。

学生在老师引导下概括、归纳出正比例函数图象的特征。

教师板书教科书25页上的正比例函数图象的特征。

对于这个问题，教师应重点关注：

（1）学生是否通过对正比例函数解析式观察分析，发现当k＞0时函数y与自变量x同号；当k＜0时函数y与自变量x异号；

（2）学生对正比例函数图象观察分析，知道图象是一个随x增大而增大或减小的直线。

学生讨论左边的问题。

教师注意：

（1）提醒学生从解析式入手，探究当x=0时和x=1时，函数y的值分别是几：

（2）正比例函数的图象为什么一定过（0，0）和（1，k）这两点；（3）因为两点可以确定一条直线，因此，画正比例函数时只须过原点和（1,k）画一条直线即可。

在多个实例的基础上，归纳得一正比例函数图象的性质，潜移默化地对学生进行了概括、归纳、比较、分析思维方法的教育。

这里通过对解析式的图象的分析，可使学生明白解析式和图象对正比例函数的刻画各有优势。

了解事物的特征就可以使问题来得更简捷一些，不断培养学生分析和解决问题的能力。

这里同时让学生加深领会数形结合思想。

活动5

问题

本节课学了哪些内容？

你认为最重要的是什么？

布置作业

教科书习题11.2第1、2、6题（第7题选做）

学生稍加思考后分组讨论，让3~4名学生回答。

教师应当关注：

（1）允许学生答案不同，回答结论的不同只会对学生学习更有帮助，应当鼓励；

（2）最后应达到师生共同小结，明确正比例函数的概念、图象特征的效果。

学生独立完成作业（其中第7题作为选作题）。

教师批改后注意反馈。

教师应关注：

（1）学生作图象的规范性；

（2）不同层次学生在作业中反映的问题应及时解决。

让学生参与小结并允许学生答案不同，可以增强学生学习的积极性和主动性，培养他们对所学知识的回顾思考习惯；通过小结也强调了本节课的重点，巩固了学习内容。

对作业中的问题要注意个体分析，布置作业要体现分层要求，有一定的弹性。

教学设计说明

本节内容是在学生学习了变量和函数的基本概念基础上进行的。

学习了正比例函数再引入一次函数，有利于降低教学难度，使难点分散。

学生在理解正比例函数概念、描点画函数图象、利用解析式和图象分析函数性质时来得更加容易。

在教材处理方面，采取：

“建立数学模型——导入正比例函数的概念——画正比例函数图象——探究正比例函数性质——练习、小结”这样循序渐进的教学流程。

考虑到本节内容概念性较强，采取通过学生熟悉的行程问题来导入正比例函数的概念，学生易于接受。

在教学设计时，注重了学生的尝试和探究，如对正比例函数变量对应关系的辨析，自变量取值范围的讨论，学生列举正比例函数的实例的分析，4个小实例的探究，画图象时动手尝试，小结时的自我概括和归纳等。

在教学时使学生尝试和探究贯穿课堂全过程，同时重视教师的引导、指导和示范，如在概念出示时必要的板书，画图象时的示范，对关键之处的启发、点拨和讲解，还有教师与学生、学生与学生的互动等。

这样既有利于学生对概念的理解，也有利于培养学生的学习能力和学习习惯。

本节课的容量较大，教学中注意安排一定的弹性内容（有一处训练题和一道作业题可以视情况选用）