中考数学总复习知识点总结函数与圆.docx

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中考数学总复习知识点总结函数与圆

第六章一次函数与反比例函数

考点一：

1、坐标轴上的点的特征

点P（x,y）在x轴上，x为任意实数

点P（x,y）在y轴上，y为任意实数

点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）

2、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线上x与y相等

点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数

3、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

4、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数

5、点到坐标轴及原点的距离

点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：

（1）点P（x,y）到x轴的距离等于

（2）点P（x,y）到y轴的距离等于

（3）点P（x,y）到原点的距离等于

考点四、正比例函数和一次函数（3~10分）

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。

这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。

k的符号

b的符号

函数图像

图像特征

k>0

b>0

y

x

图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。

b<0

y

x

图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。

K<0

b>0

y

x

图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小

b<0

y

x

图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。

注：

当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大

（2）当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。

解这类问题的一般方法是待定系数法。

考点五、反比例函数（3~10分）

1、反比例函数的概念

一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成的形式。

自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

反比例函数

k的符号

k>0

k<0

图像

性质

①x的取值范围是x0，

y的取值范围是y0；

②当k>0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。

在每个象限内，y

随x的增大而减小。

①x的取值范围是x0，

y的取值范围是y0；

②当k<0时，函数图像的两个分支分别

在第二、四象限。

在每个象限内，y

随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。

。

第七章二次函数

考点一、二次函数的概念和图像（3~8分）

1、二次函数的概念

一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。

叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。

由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

考点二、二次函数的解析式（10~16分）

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：

（2）顶点式：

（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。

如果没有交点，则不能这样表示。

考点三、二次函数的最值（10分）

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

考点四、二次函数的性质（6~14分）

1、二次函数的性质

函数

二次函数

图像

a>0

a<0

y

性质

（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；

（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；

（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；

（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；

（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；

（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，

2、二次函数中，的含义：

表示开口方向：

>0时，抛物线开口向上

<0时，抛物线开口向下

与对称轴有关：

对称轴为x=

表示抛物线与y轴的交点坐标：

（0，）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当>0时，图像与x轴有两个交点；

当=0时，图像与x轴有一个交点；

当<0时，图像与x轴没有交点。

补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

如图：

点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）

则AB间的距离，即线段AB的长度为

2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

左加右减、上加下减

第十二章圆

考点一、圆的相关概念（3分）

1、圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

考点二、弦、弧等与圆有关的定义（3分）

（1）弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）

（2）直径

经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）

直径等于半径的2倍。

（3）半圆

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

考点三、垂径定理及其推论（3分）

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：

过圆心

垂直于弦

直径平分弦知二推三

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

考点四、圆的对称性（3分）

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（3分）

1、圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点六、圆周角定理及其推论（3~8分）

1、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：

如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点七、点和圆的位置关系（3分）

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

d

d=r点P在⊙O上；

d>r点P在⊙O外。

考点八、过三点的圆（3分）

1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）

圆内接四边形对角互补。

考点九、反证法（3分）

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

考点十、直线与圆的位置关系（3~5分）

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：

直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

（3）相离：

直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交d

直线l与⊙O相切d=r；

直线l与⊙O相离d>r；

考点十一、切线的判定和性质（3~8分）

1、切线的判定定理

经过半径的外端并且