含参一元二次不等式专项训练.docx

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含参一元二次不等式专项训练

含参一元二次不等式专项训练

含参一元二次不等式专题训练

解答题（共12小题）

1．已知不等式（ax﹣1）（x+1）＜0（a∈R）．2．解关于x的不等式：

x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．

（1）若x=a时不等式成立，求a的取值范围；

（2）当a≠0时，解这个关于x的不等式．

3．解关于x的不等式ax2+2x﹣1＜0（a＞0）．4．解关于x的不等式，（a∈R）：

（1）ax2﹣2（a+1）x+4＞0；

（2）x2﹣2ax+2≤0．

5．求x的取值范围：

（x+2）（x﹣a）＞0．

6．当a＞﹣1时，解不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0．7．解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣2）＞0．

8．解关于x的不等式

，其中a≠0．9．解不等式：

mx2+（m﹣2）x﹣2＜0．

10．解下列不等式：

（1）ax2+2ax+4≤0；

（2）（a﹣2）x2﹣（4a﹣3）x+（4a+2）≥0．

11．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．12．解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）．

含参一元二次不等式专题训练参考答案与试题解析

一．解答题（共12小题）

1．（2009•如皋市模拟）已知不等式（ax﹣1）（x+1）＜0（a∈R）．

（1）若x=a时不等式成立，求a的取值范围；

（2）当a≠0时，解这个关于x的不等式．

考点：

一元二次不等式的解法．菁优网版权所有

专题：

计算题；综合题；分类讨论；转化思想．

分析：

（1）若x=a时不等式成立，不等式转化为关于a的不等式，直接求a的取值范围；

（2）当a≠0时，当a＞0、﹣1＜a＜0、a＜﹣1三种情况下，比较

的大小关系即可解这个关于x的不等式．

解答：

解：

（1）由x=a时不等式成立，即（a2﹣1）（a+1）＜0，所以（a+1）2（a﹣1）＜0，

所以a＜1且a≠﹣1．所以a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．（6分）

（2）当a＞0时，

，所以不等式的解：

；

当﹣1＜a＜0时，

，所以不等式（ax﹣1）（x+1）＜0的解：

或x＜﹣1；

当a＜﹣1时，

，所以不等式的解：

x＜﹣1或

．

当a=﹣1时，不等式的解：

x＜﹣1或x＞﹣1

综上：

当a＞0时，所以不等式的解：

；

当﹣1＜a＜0时，所以不等式的解：

或x＞﹣1；

当a≤﹣1时，所以不等式的解：

x＜﹣1或

．（15分）

点评：

本题考查一元二次不等式的解法，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．

2．解关于x的不等式：

x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．

考点：

一元二次不等式的解法．菁优网版权所有

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）．可化为（x+a）（x+1）＞0．对a与1的大小分类讨论即可得出．

解答：

解：

x2+（a+1）x+a＞0（a是实数）可化为（x+a）（x+1）＞0．

当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜﹣a}；

当a＜1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜﹣1}；

当a=1时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}．

点评：

本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论的方法，属于基础题．

3．解关于x的不等式ax2+2x﹣1＜0（a＞0）．

考点：

一元二次不等式的解法．菁优网版权所有

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

由a＞0，得△＞0，求出对应方程ax2+2x﹣1=0的两根，即可写出不等式的解集．

解答：

解：

∵a＞0，∴△=4+4a＞0，

且方程ax2+2x﹣1=0的两根为

x1=

，x2=

，

且x1＜x2；

∴不等式的解集为{x|

＜x＜

}．

点评：

本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应按照解一元二次不等式的步骤进行解答即可，是基础题．

4．解关于x的不等式，（a∈R）：

（1）ax2﹣2（a+1）x+4＞0；

（2）x2﹣2ax+2≤0．

考点：

一元二次不等式的解法．菁优网版权所有

专题：

计算题；不等式的解法及应用．

分析：

（1）分a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论：

a=0，a＜0两种情况易解；a＞0时，由对应方程的两根大小关系再分三种情况讨论即可；

（2）按照△=4a2﹣8的符号分三种情况讨论即可解得；

解答：

解：

（1）ax2﹣2（a+1）x+4＞0可化为（ax﹣2）（x﹣2）＞0，

（i）当a=0时，不等式可化为x﹣2＜0，不等式的解集为{x|x＜2}；

（ii）当a＞0时，不等式可化为（x﹣

）（x﹣2）＞0，

①若

，即0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞

}；

②若

=2，即a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；

③若

，即a＞1时，不等式的解集为{x|x＜

或x＞2}．

（iii）当a＜0时，不等式可化为（x﹣

）（x﹣2）＜0，不等式的解集为{x|

＜x＜2}．

综上，a=0时，不等式的解集为{x|x＜2}；0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞

}；

a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；a＞1时，不等式的解集为{x|x＜

或x＞2}；a＜0时，不等式的解集为{x|

＜x＜2}．

（2）x2﹣2ax+2≤0，

△=4a2﹣8，

①当△＜0，即﹣

a

时，不等式的解集为∅；

②当△=0，即a=

时，不等式的解集为{x|x=a}；

③当△＞0，即a＜﹣

或a＞

时，不等式的解集为[x|a﹣

≤x≤a

}．

综上，﹣

a

时，不等式的解集为∅；a=

时，不等式的解集为{x|x=a}；

a＜﹣

或a＞

时，不等式的解集为[x|a﹣

≤x≤a

}．

点评：

该题考查含参数的一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，若二次系数为参数，要按照二次系数的符号讨论；若△符号不确定，要按△符号讨论；若△＞0，要按照两根大小讨论．属中档题．

5．求x的取值范围：

（x+2）（x﹣a）＞0．

考点：

一元二次不等式的解法．菁优网版权所有

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

通过对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答：

解：

①当a=﹣2时，不等式（x+2）（x﹣a）＞0化为（x+2）2＞0，解得x≠﹣2，其解集为{x|x∈R，且x≠1}．

②当a＞﹣2时，由不等式（x+2）（x﹣a）＞0，解得x＜﹣2或x＞a，其解集为{x|x＜﹣2或x＞a}．

③当a＜﹣2时，由不等式（x+2）（x﹣a）＞0，解得x＜a或x＞﹣2，其解集为{x|x＜a或x＞﹣2}．

综上可得：

①当a=﹣2时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}．

②当a＞﹣2时，原不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞a}．

③当a＜﹣2时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞﹣2}．

点评：

本题考查了一元二次不等式的解法和分类讨论的方法，属于基础题．

6．当a＞﹣1时，解不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0．

考点：

一元二次不等式的解法．菁优网版权所有

专题：

分类讨论；不等式的解法及应用．

分析：

把不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0化为（x+a）[x﹣（2a+1）]≥0，讨论a的取值，写出对应不等式的解集．

解答：

解：

不等式x2﹣（a+1）x﹣2a2﹣a≥0可化为

（x+a）[x﹣（2a+1）]≥0，

∵a＞﹣1，∴﹣a＜1，2a+1＞﹣1；

当﹣a=2a+1，即a=﹣

时，不等式的解集是R；

当﹣a＞2a+1，即﹣1＜a＜﹣

时，不等式的解集是{x|x≤2a+1，或x≥﹣a}；

当﹣a＜2a+1，即a＞﹣

时，不等式的解集是{x|x≤﹣a，或x≥2a+1}．

∴a=﹣

时，不等式的解集是R；

﹣1＜a＜﹣

时，不等式的解集是{x|x≤2a+1，或x≥﹣a}；

a＞﹣

时，不等式的解集是{x|x≤﹣a，或x≥2a+1}．

点评：

本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应在适当地时候，对字母系数进行讨论，是基础题．

7．解关于x的不等式（x﹣1）（ax﹣2）＞0．

考点：

一元二次不等式的解法．菁优网版权所有

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

通过对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出解集．

解答：

解：

①当a=0时，不等式（x﹣1）（ax﹣2）＞0化为﹣2（x﹣1）＞0，即x﹣1＜0，解得x＜1，

因此解集为{x|x＜1}．

②当a＞0时，原不等式化为

．

当a＞2时，则

，

∴不等式（x﹣1）（x﹣

）＞0的解集是{x|x＞1或x

}．

当a=2时，

=1，

∴不等式化为（x﹣1）2＞0的解集是{x|x≠1}．

当0＜a＜2时，则

，

∴不等式（x﹣1）（x﹣

）＞0的解集是{x|x＜1或x

}．

③当a＜0时，原不等式化为

，

则

，∴不等式（x﹣1）（x﹣

）＜0的解集是{x|

x＜1}．

综上可知：

：

①当a=0时，不等式的解集为{x|x＜1}．

②当a＞0时，不等式的解集是{x|x＞1或x

}．

当a=2时，不等式的解集是{x|x≠1}．

当0＜a＜2时，不等式的解集是{x|x＜1或x

}．

③当a＜0时，不等式的解集是{x|

x＜1}．

点评：

本题考查了分类讨论方法、一元二次不等式的解法，属于中档题．

8．解关于x的不等式

，其中a≠0．

考点：

一元二次不等式的解法．菁优网版权所有

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

方程

，其中a≠0两根为1，

，对两根大小分类讨论求解．

解答：

解：

当a＜0时，

，不等式的解集为

…（3分）

当0＜a＜1时，

，不等式的解集为

…（6分）

当a=1时，

，不等式的解集为ϕ…（9分）

当a＞1时，

，不等式的解集为

…（11分）

综上所述：

当a＜0时，或a＞1，原不等式的解集为

当0＜a＜1时，原不等式的解集为

当a=1时，原不等式的解集为ϕ…（12分）

点评：

本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中主要考查了分类讨论的思想在解题中的应用．

9．解不等式：

mx2+（m﹣2）x﹣2＜0．

考点：

一元二次不等式的解法．菁优网版权所有

专题：

分类讨论；不等式的解法及应用．

分析：

把不等式等价变形为（x+1）（mx﹣2）＜0，讨论m的取值，从而求出不等式的解集．

解答：

解：

原不等式可化为（x+1）（mx﹣2）＜0，

当m=0时，不等式为﹣2（x+1）＜0，此时解得x＞﹣1．

当m≠0，则不等式等价为m（x+1）（x﹣

）＜0．

若m＞0，则不等式等价为（x+1）（x﹣

）＜0，对应方程的两个根为﹣1，

，此时不等式的解为﹣1＜x＜

．

若m＜0．则不等式等价为（x+1）（x﹣

）＞0，对应方程的两个根为﹣1，

．

若﹣1=

，解得m=﹣2，此时不等式为（x+1）2＞0，此时x≠﹣1．

若﹣2＜m＜0时，

＜﹣1，此时不等式的解为x＞﹣1或x＜

．

若m＜﹣2时，

＞﹣1，此时不等式的解为x＜﹣1或x＞

．

综上：

m＞0时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜

}，

m=0时，不等式的解集为{x|x＞﹣1}；

m=﹣2，不等式的解集为{x|x≠﹣1}；

﹣2＜m＜0，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜

}；

m＜﹣2，不等式的解集为{m|x＜﹣1或x＞

}．

点评：

本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法问题，解题时