初中数学鲁教版五四制七年级上册第一章 三角形5 利用三角形全等测距离章节测试习题.docx

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初中数学鲁教版五四制七年级上册第一章三角形5利用三角形全等测距离章节测试习题

章节测试题

1.【答题】如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长；判定△EDC≌△ABC的理由是（   ）

A.SSS   

B.ASA   

C.AAS   

D.SAS

【答案】B

【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE，又CD=BC，∠ACB=∠DCE，由此根据角边角即可判定△EDC≌△AB

C.

【解答】由题意得：

 根据ASA得：

△EDC≌△AB

C.

选B.

2.【答题】到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（   ）

A.三边的垂直平分线的交点

B.三条高的交点

C.三条角平分线的交点

D.三条中线的交点

【答案】A

【分析】根据三角形外心的作法，确定到三定点距离相等的点．

【解答】因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．

选A.

3.【答题】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的（   ）

A.SSS   

B.ASA   

C.AAS   

D.SAS

【答案】D

【分析】根据三角形全等判定定理，可以得出结果.

【解答】由原题可得：

AC=DC

∠ACB=∠DCB

BC=BC

∴△ACB≌△DCB（SAS）

∴AB=DB

故选D.。

4.【答题】如图所示小明设计了一种测零件内径AB的卡钳，问：

在卡钳的设计中，要使DC=AB，AO、BO、CO、DO应满足下列的哪个条件？

（   ）

A.AO=CO   

B.BO=DO   

C.AC=BD   

D.AO=CO且BO=DO

【答案】D

【分析】三角形全等，需要三个条件.

【解答】

各选项中，只给出了一个条件，再加上隐含的对顶角相等，才两个条件，故不正确。

对于选项D，可得：

AO=CO且BO=DO（已知）

∠AOB=∠COD（对顶角相等）

∴△ACB≌△DCE（SAS）

∴DC=AB，故选D.。

方法总结：

对于测量不可到达的两个点之间的距离时，有多种方法，而用三角形全等法去测量，也有着不同的解法，只要能够达到测量的目标就行。

对于三角形全等的判定，必须在三个条件，其中可以包含原题中隐含的条件．

5.【答题】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若AD=5cm，CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（   ）

A.5cm   

B.4cm   

C.3cm   

D.2cm

【答案】C

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，再根据点到线段的距离的定义解答．

【解答】∵点D到AB的距离是DE，

∴DE⊥AB，

∵BD平分∠ABC，∠C=90°，

∴把Rt△BDC沿BD翻折后，点C在线段AB上的点E处，

∴DE=CD，

∵CD=3cm，

∴DE=3cm.

选C.

6.【题文】如图所示，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E，C，A在同一条直线卜，则DE的长就等于A，B之间的距离，请你说明道理．

【答案】见解析.

【分析】因为AB∥DE，所以∠A＝∠E或∠ABC＝∠EDC，因为BC＝CD，根据AAS证明ΔABC≌ΔEDC，所以AB＝ED.从而得证.

【解答】由题意并结合图形可以知道BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，又AB∥DE，从而∠A＝∠E或∠ABC＝∠EDC，故在ΔABC与ΔEDC中，

所以ΔABC≌ΔEDC

（AAS），所以AB＝ED，即测出ED的长后即可知道A，B之间的距离．

【方法方法总结】本题目是一道考查三角形全等的说理题目，主要考查了AAS判定.难度一般.

7.【题文】如图所示，为了测得河宽AB，在地面上作出了与AB垂直的线段AC，又作出了BA的延长线AM，为了在AM上得到与BA相等的线段AB′，还应该怎样做呢?

【答案】见解析.

【分析】在地面上画射线CB′，与AM相交于B′，使∠ACB′＝∠ACB.利用ASA判定即可.

【解答】在地面上画射线CB′，与AM相交于B′，使∠ACB′＝∠ACB.

在ΔABC与ΔAMC中，

得BA＝B’A．

8.【题文】如图1所示，有一块巨大的长方形广告牌，上面画了一条对角线AC，为了求出这个广告牌的高BC，几个同学在地面上画出了ΔABC，（如图2所示），其中∠BAC′＝∠BAC，∠ABC′是直角，则BC′的长和广告牌的高是相同的，你能说明其中的道理吗?

【答案】见解答.

【分析】由∠CAB＝∠C′AB，AB＝AB，∠ABC＝∠ABC′知，ΔABC与ΔABC′符合“ASA”，且BC与BC′是对应边，所以BC＝BC′．

【解答】在ΔABC与ΔABC中，

得BC＝BC′．

9.【题文】如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．

（1）如果_________，则△DEC≌△BFA；（请你填上能使结论成立的一个条件）

（2）说明你的结论的正确性．

【答案】AE=CF（OE=OF；DE∥BF等等）

【分析】首先根据矩形的性质得到边相等与角相等，再根据等量减等量差相等，得到三角形全等的第三个条件，于是得到三角形全等．

【解答】

（1）AE=CF（OE=OF；DE∥BF等等）;

（2）因为四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠DCF=∠BAF，

又∵AE=CF，

∴AC-AE=AC-CF，

∴AF=CE，

∴△DEC≌△BFA

10.【题文】如图所示，小王想测量小口瓶下半部的内径，他把两根长度相等的钢条AA′，BB′的中点连在一起，A，B两点可活动，使M，N卡在瓶口的内壁上，A′，B′卡在小口瓶下半部的瓶壁上，然后量出AB的长度，就可量出小口瓶下半部的内径，请说明理由．

【答案】见解析

【分析】根据线段中点的性质，得到两组边对应相等，再根据对顶角相等得到三角形全等的第三个条件，于是得到三角形全等。

【解答】∵AA′，BB′的中点为O

∴OA＝OA′，OB＝OB′

又∠AOB＝∠A′OB′

∴△A′OB′≌△AOB，

 ∴AB=A′B′．

11.【题文】为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP并延长到C，使．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；

【答案】35m

【分析】根据题中条件可以直接得到两组边对应相等，再根据对顶角相等得到三角形全等的第三个条件，于是根据SAS可得到三角形全等，全等三角形的对应边相等，得结论．【解答】∵PA=PD  PC=PB

又∠APB=∠CPD

∴△APB≌△DPC，

 ∴AB=CD=35m．

12.【题文】如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．

【答案】见解析

【分析】根据题中垂直可得到一组角相等，再根据对顶角相等，已知一组边相等，得到三角形全等的三个条件，于是根据ASA可得到三角形全等，全等三角形的对应边相等，得结论．

【解答】在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，

再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，

这时测得的DE的长就是AB的长．作出的图形如图所示：

∵AB⊥BF  ED⊥BF

∴∠ABC=∠EDC=90°

又∵CD=BC

 ∠ACB=∠ECD

∴△ACB≌△ECD，

 ∴AB=DE．

方法总结：

本题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握判定两个三角形全等的判定方法：

SSS,SAS,ASA,AAS.

13.【题文】如图所示，有一池塘，要测量池塘两端A、B的距离，请用构造全等三角形的方法，设计一个测量方案（画出图形），并说明测量步骤和依据．

【答案】图形见解析

【分析】根据SAS构造全等三角形，注意所构造的三角形的三边都要在平地上.

【解答】解：

如图，在平地任找一点O，连OA、OB，延长AO至C使CO=AO，延BO至D，使DO=BO，则CD=AB，依据是△AOB≌△COD（SAS）．

14.【题文】如图，小强在河的一边，要测河面的一只船B与对岸码头A的距离，他的做法如下：

①在岸边确定一点C，使C与A，B在同一直线上；

②在AC的垂直方向画线段CD，取其中点O；

③画DF⊥CD使F、O、A在同一直线上；

④在线段DF上找一点E，使E与O、B共线．

他说测出线段EF的长就是船B与码头A的距离．他这样做有道理吗？

为什么？

【答案】有道理，见解析

【分析】首先证明△ACO≌△FDO，根据全等三角形的性质可得AO=FO，∠A=∠F，再证明△ABO≌△FEO，进而可得EF=AB．

【解答】解：

有道理，

∵DF⊥CD，AC⊥CD，

∴∠C=∠D=90°，

∵O为CD中点，

∴CO=DO，

在△ACO和△FDO中

，

∴△ACO≌△FDO（ASA），

∴AO=FO，∠A=∠F，

在△ABO和△EOF中

，

∴△ABO≌△FEO（ASA），

∴EF=AB．

15.【题文】如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到一点C，连接AC，在AC的延长线上找一点D，使得DC=AC，连接BC，在BC的延长线上找一点E，使得EC=BC，测出DE=60m，试问池塘的宽AB为多少？

请说明理由．

【答案】60米

【分析】利用“边角边”证明△DEC和△ABC全等，再根据全等三角形对应边相等可得DE=AB．

【解答】解：

AB=60米．

理由如下：

∵在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB=DE=60（米），

则池塘的宽AB为60米．

16.【答题】如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=______米．

【答案】20

【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可.

【解答】在△ABC和△DEC中

 ，∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴AB=DE=20.

17.【答题】如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从

四个点中找出符合条件的点P，则点P有（   ）个.

A.1个   

B.2个   

C.3个   

D.4个

【答案】C

【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可．

【解答】解：

要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，

选C.

18.【答题】如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使得CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC的理由是（   ）

A.SAS　　B.SSS　　C.ASA　　D.AAS

【答案】C

【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可．

【解答】∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠ABD=∠EDC=90°，

在△EDC和△ABC中，

∴△EDC≌△ABC（ASA）

选C.

19.【题文】如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD，并延长使DF＝BD，过F点作AB的平行线段MF，连接MD，并延长，在其延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A、C、E成一条直线，请说明其中的道理；

【答案】见解答．

【分析】首先根据题意得出△BDE和△FDM全等，从而得出∠BEM＝∠DMF，即BE∥MF，最后根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行得出答案．

【解答】∵BD＝DF，DE＝DM，∠BDE＝∠FDM，∴△BDE≌△FDM，

∴∠BEM＝∠DMF，∴BE∥MF，

∵AB∥MF，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，

∴A、C、E在一条直线上．

20.【题文】如图所示，小王想测量小口瓶下半部的内径，他把两根长度相等的钢条AA′，BB′的中点连在一起，A，B两点可活动，使M，N卡在瓶口的内壁上，A′，B′卡在小口瓶下半部的瓶壁上，然后量出AB的长度，就可量出小口瓶下半部的内径，请说明理由．

【答案】见解答．

【分析】根据线段中点的性质，得到两组边对应相等，再根据对顶角相等得到三角形全等的第三个条件，于是得到三角形全等．

【解答】∵AA′，BB′的中点为O

∴OA＝OA′，OB＝OB′

又∠AOB＝∠A′OB′

∴△A′OB′≌△AOB，

∴AB=A′B′．