现代控制理论习题解答.docx
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现代控制理论习题解答
《现代控制理论》第1章习题解答
1.1线性定常系统和线性时变系统的区别何在？
答：
线性系统的状态空间模型为：
XAxBu
yCxDu
线性定常系统和线性时变系统的区别在于：
对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数
矩阵A，B，C和D中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A，B，C和
D中有时变的元素。
线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，
而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。
现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别?
答：
传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下：
传递函数模型（经典控制理论）
状态空间模型（现代控制理论）
仅适用于线性定常系统
适用于线性、非线性和时变系统
用于系统的外部描述
用于系统的内部描述
基于频域分析
基于时域分析
线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？
它们分别具有什么特点？
答：
线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。
对于n
阶传递函数
G（s）
bn1Sf
11
n
bn2S
2L
b|Sb0
d，
n
n1
L
s
an
1S
a〔s&
分别有
0
1
0
L
0
0
0
0
1
L
0
0
&
M
M
M
O
Mx
Mu
⑴
能控标准型：
0
0
0
L
1
0
ag
a
a2
L
an1
1
y
L
bn2
bn
1xdu
00
L
0
a。
b。
10
L
0
a1
bi
%
01
L
0
a2
%Mu
⑵
能观标准型：
MM
M
M
M
bn2
00
L
1
an1
bn1
00L01）%du
P1
0
L
0
1
&
0
P2
L
0
1
Xu
⑶对角线标准型：
M
M
O
M
M
0
0
L
Pn
1
y
C1
C2
L
CnX
du
式中的p1,p2,L,pn和C|,c2丄,cn可由下式给出,
G（s）bniSn1bn2Sn2LbiSbo
G（s）—nR--
san-sLa-sa-
GGL
sPisp2
匚dsPn
能控标准型的特点：
状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定,
其余部分具有
特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外,
其余全为0。
能观标准型的特点：
能控标准型的对偶形式。
对角线标准型的特点：
状态矩阵是对角型矩阵。
对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？
答：
对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。
单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项零，其参数如何确定？
答：
当传递函数G（s）的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项
D不等于
D不等
于零。
转移项D的确定：
化简下述分母与分子阶次相同的传递函数
nn1
G（s）恥bm'
s[S
b1sb0
a-sa-
可得:
n1
Cn1sgsC-
G（s）nn1-
san1S
由此得到的d就是状态空间实现中的直接转移项
在例1.2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图的串联分解，试问:
若将图中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？
答：
将图中的两个环节调换后的系统方块图为:
图中,
^s2b1sb0。
由于s3y相当于对y作3次积分，故1—可用如下的状态变量图表示:
ma（s）
m
因为sb相当于对b作2次微分，故b（s）可用如下的状态变量图表示
u
因此，两个环节调换后的系统状态变量图为
取yX3,&X2,&xi，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为
0
0
a°
bo
X1
0
aix
biu
0
1
a2
b2
y[0
0
1]x
两个环节调换前的状态空间模型是：
0
10
0
&0
01x
0u
a。
aia2
1
y[b。
b2]x
显然，调换前后的状态空间实现是互为对偶的。
已知系统的传递函数
Y（s）
s6
U（s）
s25s6
试求其状态空间实现的能控标准形和能观标准形。
答：
系统的能控标准形为：
0
1
0
x
x
u
6
5
1
y
6
1x
系统的能观标准形为：
n
0
6
6
%
%
u
1
5
1
y
0
1%
考虑由下图描述的二阶水槽装置,
该装置可以看成是由两个环节串联构成的系统，它的方块图是:
U2
X2戈
b1
Sa2
■
sa1
Ui
Xi
图二阶水槽系统的方块图
试确定其状态空间模型。
答：
图中两个环节的状态空间模型分别为
X2
y2
a2X2b2U2和X1
X1
3x1
du
X2
y
又因为uu1x2，所以
X1
a1x1
b|X2
b1u1
X2
a2x2
b?
u2
y
X1
进一步将其写成向量矩阵的形式，
可得：
X1
a1
b1
X1
b1
0
u1
X2
0
a2
X2
0
b2
u2
y
10
X1
X2
考虑以下单输入单输出系统：
&6y11&6y6u
试求该系统状态空间模型的对角线标准形。
答：
由微分方程可得
其中,
C1
sim1
6
（s2）（s3）
c3lim
s
1
3（s
6
1）（s
2）
故该系统状态空间模型的对角线标准形为
X11
0
0
X1
X20
2
0
X2
X30
0
3
X3
X1
y3
63
X2
C2
s"m2（s1）（s3）
3
6
3
1
1u
1
已知单输入单输出时不变系统的微分方程为：
&&t）4&（t）3y（t）U&t）6U（t）8u（t）
试求：
（1）建立此系统状态空间模型的对角线标准形；
（2）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。
答：
（1）由微分方程可得
2s
6s
8,
2s5
G（s）2
1
s
4s
3
s4s3
—、2s5
2s5
cc
G1（S）2
s4s
3（s
1）（s
3）s1s3
其中,
已知系统的传递函数为
G（s）
2s5
3
每一个环节的状态空间模型分别为:
3x1
x15x2
2x15x2
因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为:
Xi
3
0X1
X
i
5x2
y
25Xi
X2
对应的状态变量图为:
（2）将G（s）重新写成下述形式:
y
yi
y2
XiX2
因此，若采用并联分解方式，
则系统的状态空间模型为：
Xi
3
0
Xi
0.5
u
X2
0
5
X2
2.5
Xi
y
ii
X2
对应的状态变量图为：
已知系统的状态空间模型为xAxBu,yCx，写出该系统的特征多项式和传递函数
矩阵。
答：
系统的特征多项式为det（slA），
1
传递函数为G（s）C（slA）B。
一个传递函数的状态空间实现是否惟一？
由状态空间模型导出的传递函数是否惟一？
答：
一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。
已知系统的状态空间模型为xAxBu,yCx，写出其对偶状态空间模型。
答：
其对偶状态空间模型为：
~At~CTu
yBt~
xAxBu~at~cTu
与xAt~Cu，它们对应的特征多项式分别为
两个对偶状态空间模型之间的特征多项式和传递函数有什么关系?
答：
对于互为对偶的
yCxyB'~
故互为对偶的两
det（sIA）和det（sIAT）。
由于一个矩阵和其装置的特征多项式是相同的,个状态空间模型具有相同的特征多项式。
它们对应的传递函数分别为
考虑由以下状态空间模型描述的系统
试求其传递函数。
答：
由于
G（s）
G（s）
（sI
s（s5）61
C（sl
A）
A）1B
1
C（sI
s5
A）1B
1
s（s
5）
孑5s6（s1）
s1
s25s6
给定系统的状态空间模型
（sI
s
A）10
1
s4
1
0
（sI
A）0
s4
3
s
1
1s
2
因此，
G（s）
C（sIA）
1B
1
1
32
s6s
11s3
0
求系统的传递函数矩阵。
答：
系统的传递函数为G（s）C（sl
1
A）B。
由于
s26s11s23
12
23s2s3s
6s211s32
s4s1s4s
2s
6s11
s2
3
00
0
0
3
s22s
3s
1
0
0
1
2
s4
s1
s4s
0
1
1s2
s36s211s3s1
3
s24s
1456160X11
100X20u
010x30
试用MATLAB^件求出下列传递函数的状态空间实现
G（s）
答：
执行以下的m-文件：
num=[01047160];den=[11456160];
[A,B,C,D]=tf2ss（num,den）得到：
1456160
A100
010
由此可知：
X1
X2
X3
X1
y1047160x2
试用MATLAB^件求以下系统的传递函数：
&
0
1
0X1
炖
1
1
0X2
炖
1
0
0X3
X1
y
[10
0]
X2
X3
答：
执行以下m-文件：
A=[010;-1-10;100];
B=[0；1；0]；
C=[100];
D=0;
[num,den]=ss2tf（A,B,C,D）
可得：
num=000
den=0
因此，系统的传递函数为
s
G（S）3s2
sss
试用MATLAB^件求以下系统的传递函数：
&210x,01
Ui
X2020x210
cU2
X3013X301
X1
y[001]X2
X3
答：
执行以下的m-文件：
A=[210;020;013];
B=[01;10;01];
C=[001];
D=[00];
[num,den]=ss2tf（A,B,C,D,1）
[num,den]=ss2tf（A,B,C,D,2）
可得要求的两个传递函数是
Y（s）s2
32
U1（s）s37s216s12
2
Y（s）s4s4
—（s）s37s216s12
已知系统的状态空间模型为xAxBu,yCx,取线性变换阵为P，且xPx，写出线性变换后的状态空间模型。
答：
把xPx代入&AxBu,yCx，得
PXAPxBu
yCPx
因此，线性变换后的等价状态空间模型为：
&P1APxP1Bu
yCPx
线性变换是否改变系统的特征多项式和极点？
简单证明之。
答：
假设系统的状态空间模型为
x
Ax
Bu
y
Cx
Du
经过线性变换x
Tx后，
系统的状态模型变为：
x
Ax
Bu
y
Cx
Du
其中，
A
TAT1，B
TB，
CCT1，
DD
由于
det（sl
A）det（sl
TAT
1）det（sTT
1TAT1）
det（T）det（slA）det（T1）det（slA）
yXi
故线性变换不会改变系统的特征多项式和极点。
&&3&2yu
（1）选择状态变量x1y,x2&，写出系统的状态方程；
（2）根据
（1）的结果，由以下的状态变换：
x1x1x2
x2x12x2
确定新的状态变量X1,X2，试写出关于新状态变量X1,X2的状态空间模型。
答：
⑴由X1y,X2&可得
X1X2
x23x22x1u
已知以下微分方程描述了系统的动态特性：
写成矩阵向量形式，可得
x101x10
u
X223X21
Xi
X2
（2）由于X1Xix2,x2x12x2，即
x1iixi
x2i2x2
容易验证这是一个等价线性变换，故可得
xii0xii
u
x202x2i
xi
乂2
给定系统
0i0
x*xu
abd
yi00x
试确定参数a,b和d的值，以使得该系统模型能等价地转换成以下的对角型
答：
由对角型状态空间模型可知
G（s）二
s3
而从原状态空间模型则可得传递函数
i0
（s3）（si）
i0
-2
s4s3
G（s）i°d
G（s）2.sbsa
由于等价的状态空间模型具有相同的传递函数，故经比较系数可得:
a3
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