圆周运动实例分析与临界问题.docx
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圆周运动实例分析与临界问题
圆周运动实例分析与临界问题
教学要求】
1.知道非匀速圆周运动的特点；
2.掌握竖直平面内的圆周运动的两种典型情况，会分析其临界条
件。
3.会运用圆周运动的有关知识分析解决实际问题。
知识再现】
一、火车转弯问题
由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大.如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使略咼于从而和'勺合力提
供火车拐弯时所需的向心力。
铁轨拐弯处半径为R,内外轨高度差为H,两轨间距为L,火车总质量为M，贝心
（1）火车在拐弯处运动的规定速度’即内外轨均不受压的速度
Vp=
（2）若火车实际速度大于Vp,则—将受到侧向压力；
（3）若火车实际速度小于Vp,则—将受到侧向压力。
二、水流星”问题
绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点
杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力.
（1）杯子在最高点的最小速度vmin=.
（2）当杯子在最高点速度为V>Vmin时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度V知识点一竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的变速圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通
过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。
此类问题多为讨论最高点时的情况，下面具体分析几种情况：
1、绳模型”一-卜轨、绳的约束
（1）临界条件：
小球到最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）冈収子
等于零，小球的重力提供做圆周运动的向心力，
（3）
不能通过最高点的条件v这种情况实际上小球在到达最
（1）临界条件：
由于轻杆或管壁的支撑，小球能到达最高点的条件是小球在最高点时速度可以为零。
（2）当OVWgr时，杆对球的作用力表现为推力，推力大小为
2
N=mg-m二，N随速度增大而减小。
r
（3）当v>gr时，杆对球的作用力表现为拉力，拉力的大小为T=
2
mI-mg
r
应用
汕头市一中期中考试模拟）轻杆的一端固定一个质量
为m的小球，以另一端o为圆心，使小球在竖直平面内做半径为r的圆周运动，则小球通过最高点时，杆对小球的作用力（）
A.可能等于零B.可能等于mg
C.一定与小球受到的重力方向相反
D.一定随小球过最高点时速度的增大而增大导示：
由于轻杆可以对小球提供支持力，小球通过最高点的最小速
度v=O,此时支持力Fn二mg;当0gr时，杆对小球的作用力为拉力，方向竖直向下，大小随小球过最高点时速度的增大而增大。
故答案应为A、B。
解答竖直面内的圆周运动问题时，首先要搞清是绳模型还是杆模型，在最高点绳模型小球的最小速度是gr；而杆模型小球在最高点的最小速度为零，要注意根据速度的大小判断是拉力还是
最低点，C点速度最小，D点速度最大。
但是若加水平向右的电场
E,小球带电量为+q，则在A点速度最小，在B点速度最大，小球在A点时重力与电场力的合力指向圆心，小球在B点时，重力与电场力的合力沿半径向外，这与只有重力时C、D两点的特性相似。
我们把A、B两点称为物理最高点和物理最低点，而把C、D两点称为几何最咼点和几何最低点。
应用2】淮阴中学08届高三测试卷）如图所示，细线一端系住一质量为m的小球，以另一端o为圆心，使小球在竖直面内做半径为
R的圆周运动。
若球带正电q,空间有竖直向上的匀强电场E,为使
示：
求解本题的关键是找出带电粒子在复合场中做圆周运动的等效最高点”以便求出小球在等效最高点”的临界速度，进一步求出小
球在最低点A的速度.
由于m、q、E的具体数值不详，故应分别讨论如下：
（1）若qEvmg，则等效重力场的方向仍向下，等效重力加速度：
g-
（mg-Eq）/m.因此在最高点的临界速度vb=gR=（mg-Eq）R
\m
由动能定理得:
mg'2R=丄mvA2-丄mvA2
22
整理得:
va=5R（mg-Eq）/m
⑵若qE>mg,则等效重力场的方向向上，等效重力加速度：
g丄
（Eq-mg）/m.在该等效重力场中小球轨迹最高点”实际为问题
中的最低点一一即A点）的临界速度
Vb=gR=（Eq-mg）R
\m
⑶若qE二mg,则等效重力场消失，小球在竖直面内做匀速圆周运动，能使小球做完整圆周运动的条件是Vb>0。
"该类题的关键是求出等效重力mg'，找出等效重力场中的等效最高点”理最高点，在等效最高点”的速度V'=gR
类型一水平面内的临界问题
例1】如图所示，两绳系一个质量为m=0.1kg的小球。
两绳的另
一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L=2m,两绳都拉直时与
轴夹角分别为30。
和45。
。
问球的角速度在什么范围内，两绳始终张
紧?
（g取10m/s2）
导示:
两绳张紧时，小球受力如图所示。
当3由O逐渐增大时，3可能出现两个临界值
（1）BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速
度为5,则有
Fx=Fsin30°=mg2Lsin30°
Fy二Fcos30°-mg=O
代入数据得，3i=2.40rad/s
（2）AC由拉紧转为恰好拉直，但Fi已为零，设此时的角速度s,则有
Fx=F2sin45°=mw22Lsin300
Fy=F2COs450-mg=O
代入数据得，s=3.16rad/s
答案：
2.40rad/s■-1、要会用极限分析法判定物体可能处的状态，进而正
确受力分析。
2、要注意确定物体做圆周运动的圆心和半径。
3、只
要物体做圆周运动.在任何一个位置和状态.都满足F供=F需建立该动力关系方程是解决圆周运动问题的基本方法。
类型二|圆周运动中有关连接体的临界问题
例2】如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m的小物体A、B,A、B间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为RA=20cm,RB=30cm。
A、B与盘面间的最大静摩擦力均为重力的
0.4倍，试求：
（1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度30；—
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
（3）当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？
导示
（1）当细线上开始出现张力时，表明B与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为30,则是kmg=mrB^02
解得：
•‘0=kg/rB=3.7rad/s
（2）当A开始滑动时，表明A与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为3,线上拉力为Ft则，对A：
FfAm-FT二m「A32
对B：
FfBm+FT二mrB32
又:
FfAm=FfBm=kmg
解得3=4rad/s。
⑶烧断细线，A与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为rA=20cm的圆周运动，而B由于FfBm不足以提供必要的向心力而做离心运动。
答案：
（1）3.7rad/s
（2）4rad/s（3）A做圆周运动，B做离心运动
1、利用极限分析法的放大”思想分析临界状态。
认清临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。
2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。
但也可用整体法来求解。
1.（07届广东省惠阳市综合测试卷三）铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率。
下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相应的轨道的高度差h。
弯
66
33
22
16
13
11
（1）根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r=400m时，h的设计值。
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值为L=1.435m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v（路轨倾角a很小时，tga~sina）。
（3）随着人们的生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速改造，这就要求铁路转弯速率也需提高，请根据上述高处原理和上表分析，提速时应采取怎样的有效措施？
（g取9.8m/s2）
2.（东台市2008届第一次调研）一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）.在圆管中
有两个直径略小于细管内径相同的小球（可视为质点）.A球的质量为mi，B球的质量为m2.它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为vo.设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，重力加速度用g表示.
（1）若此时B球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？
（2）若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足何种关系？
（3）若mi=m2=m，试证明此时A、B两小球作用于圆管的合力大小为6mg,方向竖直向下.
答案：
1、
（1）0.075m;
（2）v=15m;（3）提速时应采取的有
效措施是增大弯道半径r和内外轨高度差h;
2、
（1）Vo2=4gR;
（2）血—m2）』（g・5m2）g=0；（3）A球受管的支
R
持力为Fa,方向竖直向上；设B球受管的弹力为Fb,取竖直向上为又丄mv2-丄・mg2R两球受圆管的合力F合二Fa+Bb,方向竖直向上，联
22
立以上各式得F合=6mg,方向竖直向上，根据牛顿第三定律，A、
B两小球对轨道作用力的合力大小为6mg,方向竖直向下。
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