创新教育数学大课堂案例.docx
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创新教育数学大课堂案例
【创新教育数学大课堂案例】
与学生谈数学
湖北省罗田县三里畈中学“初中创新教育的研究与实践”课题组
何国炎晏绍安范美良何先忠
李怡书何群科鄂盛林丰军明
（此系列《鄂东晚报》2005年春陆续选载）
1.数学课文也要阅读2.数学世界的奇、妙、趣、美
3.大局思想，整体方法4.浅谈数学复习中的整合
5.数形结合开启思维的航船6.分类讨论，放飞思维
7.逆向思维与应用8.数学解题原则
9.谈“空间与图形”的入门学习10.谈数学学习方法
11.由一个学生课堂错误想到的12.类比与联想，展开思维的翅膀
【“与学生谈数学”之一】
数学课文也要阅读
罗田县三里畈初中范美良
“读课文”似乎是语文学科的专利，中间加上“数学”二字，乍一听觉得有点别扭，其实静静地想一想，数学课文不仅要认真地读，而且要仔细地读。
数学课本是数学知识的载体，是同学们学习数学的依据，它是由文字、数学符号、图形、表达式等有机构成，千姿百态，变化无穷。
其中蕴含了十分丰富的数学思想、数学原理、方法，小史等知识，字字有含义，处处存逻辑，抽象而严密。
在学习中若有毫厘之疏忽，其结果就会产生千里之谬误。
所以同学们在学习数学时只听老师的讲是不够的，还需要自己逐字、逐行、全面准确地读数学课本原文，以便正确学，学正确。
这也是同学们学习数学的一种方法――阅读法。
认真地读数学课文对提高同学们的数学成绩是无可非议的，无怪乎，数学教材中专门为同学们增设了“读一读”的“短文”，但我认为同学们绝对不能仅限于只读这些“短文”，还要读各章节的“引言”、“小结复习”、“新颖的刊头图语”，对于每章节的内容更应做到以下几点：
一、课前初读，自悟其意
“学贵自悟”，有目的预习读书是学好数学的良好开端。
同学们通过初读，要能大致理解每章节所学内容，明确学习目标，要掌握什么？
有哪些重要概念、法则、公式？
是否能够初步运用？
并结合这些问题书写简明读书笔记，且做到坚持不懈，这样才能读有所悟。
二、课堂精读，悟出要点
课堂学习是同学们学习过程的主阵地，通过自己的初读，结合课堂上教师的讲解，使自己在初读时的疑难问题得到逐步解决，通过精读、深钻，准确把握各章节中的重点、难点与关键，使知识条理化、系统化，从中悟出知识要点。
三、课后复读，巩固提高
读数学课文不能浅尝辄止，如果这样，易于返生，课后复读正是突破这一障碍的主要途径，因此课后复读一遍本章节的主要内容，研究一下例题的解题过程和分析方法，提高解决问题的能力，同时坚持写一写课后读书笔记，总结每章节学习的得失，谈谈学习体会，都能够收到良好的效果。
总之，读数学课文要贯穿整个学习过程的始终。
课前读，以作预习，课中读，以作学习，课后读，以作复习。
读书的方式，可以默读，也可以朗读，但要边读边想，弄通其中的道理；边读边记，记忆有关概念、公式、法则、定理等基础知识；边读边解，掌握解题、证题的方法等基本技能，边读边画，达到既会作图，又会识图的要求……
【“与学生谈数学”之二】
数学世界的奇、妙、趣、美
罗田县三里畈中学何国炎
数学是人类文明的结晶。
从表面看，数学符号单调，数学公式枯燥，数学证明繁复，数学运算麻烦，然而正是这些，构成了数学大厦的美丽与壮观，使一代代学子为之深钻苦读，一个个数学家如醉如痴，为之贡献毕生的心血。
是什么力量支配看他们？
因为数学的魅力。
只要潜心于数学世界，就会发现它的新奇，它的巧妙，它的情趣，它的美丽。
如果你深入数学世界，就能勇敢地猎“奇”，大胆地探“妙”，多角度地赏“趣”，创造性地审“美”。
人们常说大千世界，无奇不有，而数学世界更是千奇百妙，变化万千。
就从学习代数式来看，神奇的变化就让人啧啧称叹。
请看下列代数式：
８１＝（８＋１）２；２５９２可变为２５·９２。
数字不变，可表达方式却不一样。
数的立方还会出现“黑洞”，诡异难测。
例如：
１５３＝１３＋５３＋３３；３７０＝３３＋７３＋０３；３７１＝３３＋７７＋１３；４０７＝４３＋０３＋７３；……这些奇妙的数字称为“水仙花”数。
它们的新奇，肯定会你跃跃欲试。
只要你“从代数式中找规律，列代数式表示”，就会自觉去猎“奇”，就具备了探索精神和归纳能力。
数学来源于生活，产生于生产实践，是生活中奇的浓缩，是实践中妙的结晶。
数学的运算，妙趣横生。
请你观察１２３４５６７９这几个数字，看出缺哪一个数字吗？
回答是缺“８”。
而１２３４５６７９乘以７２的运算结果你知道是多少？
回答是：
８８８８８８８８８。
有的是“８”吧！
表面无“８”，而结果都是“８”。
再看一个算式：
１１１１１１１１１２＝１２３４５６７８９８７６５４３２１。
这么整齐的对称数字，你说妙不妙？
数学与生活，谁也离不开谁。
１、２、３、４、５、６、７，一个星期接着一个星期，周而复始。
而一个月的周历表中，任意三横三列排成正方形的９个数的和，总是等于中的哪个数的９倍。
这难道不妙？
数字还能变为美妙的音乐。
用１、２、３、４、５、６、７七个数字，体现多、来、米……的声音高低与变化，组合成变化无穷的乐曲，表达人们喜、怒、哀、乐的丰富情感。
按素质教育和新课改的要求，学生的课业负担减轻了，有了充足的富余的时间。
如果养成了自学的习惯，走进数学的奇妙世界，在生活、生产中寻找数学的妙用，有利于培养智力和能力。
如果能够大胆探“妙”，哪怕是“异想天开”，对于开发数学思维、培养想象能力来说，必然是收效显着。
在开放的课外活动中，你要去品赏数学之“趣”，让兴趣伴随自己学习、钻研、探索的全过程。
阅读数学家故事，能激发我们学习先哲们的钻研奉献精神，继承先人的科学成就。
参加数学辨论会，能培养我们的探索精神，训练思维的严密、细致和敏捷。
参加智力赛和擂台赛，能锻炼我们的数学运用能力，发扬敢于争先的精神。
通过各种充满情趣的活动，养成爱数学、学数学的良好习惯，全面提高数学能力，应该成为同学们必要的方式和方法。
数学是人类从生产生活和大自然中结晶出来的，其结构、图形、布局和形式，无一不体现数学美，连数学的方法也是与美相对应的。
阅读――逻辑美；演算——精确美；观察――布局美；思考――潜在美；类比――相似美；联想――和谐美；猜想――启示美；探索――成功美；转化――变换美；发现――奇异美；构造――创造美。
数学不但体现了科学美，也体现了艺术美。
例如，用电化手段作几何图形的旋转或对称练习，用塑泥制作各种形体，用卡纸或电线制作各种图形，通过作图画出美丽的图案等。
“六月飞雪”就是把一个等边三角形的边分为三等份，以中间一等份为边向形外作等边三角形，如此继续下去，所得图形就象一个六角形的“雪花”。
“羊年吉祥”是以正方形的一边为斜边，向外作正方形，依此画下去，所得图形就象一个“羊头”。
这些图形，都体现了对称的艺术美。
由动脑到动手，在亲手制作体会数学美，继而利用数学来设计创造美，这是数学美的升华。
在猎奇中培养探索发现能力，在探妙中培养创造的灵感，在赏趣中培养热爱数学的情感，在审美中培养创新的本领。
数学的神秘世界等待着无数的志士仁人去开发。
【“与学生谈数学”之三】
大局思想，整体方法
罗田三里畈初中何国炎
华人诺贝尔物理学奖获得者杨振宁博士说：
“做物理就像作一幅大的画，你要有本领把局部结构画得很精细，但是更要能总体把握，这两点都要做到才行。
”解数学题也是这样，在加强对局部基本知识的学习、研究、分析的基础上，从大局着眼，整体上把握问题，即所谓整体达到，它就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，观察和发现问题的整体的结构和特征，把一些式子和图形看成一个整体，把握他们之间的联系，进行有目的、有意识的整体处理，起到事半功倍而意想不到的效果。
一、代数式化简求值中的整体代入法
求代数式的值，就是把代数式中的每一个字母用数字代替后，再计算出结果。
但是有些代数式求值不知道某个字母的取值，而另一些字母取值不知，这就要用整体代入的方法。
如：
已知，当x=-2时，代数式ax3+bx+1的值为6，那么当x=2时，代数式ax3+bx+1的值___________。
将x=-2代入式中得-8a-2b+1=6,∴8a+2b=-5,当x=2时，ax3+bx+1=8a+2b+1=-5+1=-4,而有些求值，则只有一些字母的关系式，这就更要有纵观大局思想，运用整体代入的方法求值。
如：
x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,则100-（10x+10y+10z）=____________,观求式系数相同，察已知两式系数也有关系，故两式相加得5x+5y+5z=25。
等式两边同乘以2后整体代入即能简单的求出值来。
二、解方程中的整体换元法
在解方程中，用上了整体的方法，使分式方程、无理方程换元后化难为易，求解简单、快捷、准确。
而解方程组和不定方程中，整体叠加叠乘处理，换元整体构造方程，更是整体方法的妙用。
如：
求系数a、b、c间的关系式，使方程组
有实数解。
解：
将三个方程叠加，得（a+b+c）x2+（a+b+c）x+a+b+c=0，即（a+b+c）（x2+x+1）=0,而x2+x+1＝（x+
）2+
≠0∴a+b+c=0；当a+b+c=0时，方程组有实数解x=1.此解法既有整体叠加，又有a+b+c=0整体讨论求解。
而解方程组
更是将x+
=α,y+
=β，整体换元后，以α、β为两根，构造一元二次方程为z2-10z+24=0,求解更易。
三、几何中大局构造思想和整体方法
几何是培养逻辑思维能力和空间想象能力的学科，因此大局思想，整体方法更是解决复杂几何问题茶馆用的方法。
由“残部”想“整体”补复杂的图形为悉知的图形，是几何中整体方法的具体表现。
如图，在四边形ABCD中∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，AD＝2，则四边形ABCD的面积为___________。
解本题，如果只在四边形内想办法作辅助线后计算，不但不能简单解决，现饭作辅助线后反而把已知角的条件破坏不能用。
如果从整体上观察，∠B＝∠D＝90°，
∠C＝180°－∠A＝45°，联想到直角三角形，并补形延长BA、CD交于点E，则为两个等腰直角三角形。
△BCE和△ADE，问题非常简单的得到解决，充分的体现整体方法的奇效。
大局思想，整体方法，不但能使解题简单明了，而且真正理解掌握知识，更重要的是开阔了眼界，发散了思维，培养了能力。
【“与学生谈数学”之四】
浅谈数学复习中的整合
罗田县三里畈中学晏绍安
数学复习是一个将平时所学的知识、解题方法、思维进行的巩固，再熟练强化，形成一种稳定习惯为再创造提供知识和技能意识基础的过程。
而知识、解题方法，思维的巩固，必须通过题目这一载体，运用解题这种形式来实现，要达到再熟悉强化的目的，必须将题目根据知识、方法和思维训练的要求进行相对的集中，重新组合，打破平时教学的时限性、阶段性的限制，这就是整合。
一是知识点的整合。
理解掌握基本的知识是最起码的要求，也是运用知识解决问题，迁移知识的前提条件。
牵涉到某一问题的知识不可能在某一章节全部出现，而是分散在不同年级不同章节中，学生不可避免地有蔬漏，复习的目的是要把这些分散的知识集中串起来，根据不同的题目条件运用不同的知识解决不同的问题，在比较中理解、掌握、运用知识。
如：
对于线段中点这一知识点涉及到的知识有：
（１）中点两等分线段；（２）三角形的中线；（３）中位线定理；（４）垂经定理；（５）中垂线定理。
如图：
（１）在?
ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥AB交AE于点F，DF＝AC，求证：
AE平分?
BAC。
（2）如图：
?
ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG?
CE，G是垂足。
求证：
（1）G是CE的中点；
（2）?
B＝2?
BCE。
（3）如图，AB是圆O的直径，直线L切圆O于E，过A、B分别作直线L的垂线，垂足分别是C、D，求证CO＝DO，AB＝AC＋BD。
求证：
CO＝DO。
第１题，过Ｃ点作ＡＥ的平行线与ＡＥ的延长线相交于Ｇ点，利用中点两等分线段可构造全等三角形，进而证明对应角，对应线段相等或是转化为其他的相等关系；第２题连结ＤＥ，利用中点结合直角，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”；结合已知条件和定理“到中线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，”可以证明ＢＥ＝ＤＥ，ＤＥ＝ＤＣ。
第３题运用“过梯形一腰的中点平行于两底的直线必平分另一腰”，梯形中位线定理，线段中垂线性质定理，同时可穿插复习三角形中位线定理。
这样可以通过复习具体的知识，让知识系统化、细密化，在运用中将知识深化、活化，有效化。
二是解题方法规律的整合训练。
初中数学复习的内容多，如果运用简单重复的题海战术，不光效率低下，枯燥单调，而且极易使学生疲劳，解题的效果反复无常，甚至是以前解对的题目也很费力才能解答，焦虑不安，丧失信心。
要从题海跳出来，提高效率，达到举一反三的目的，必须掌握同类型题目解法的内部规律并形成自觉的运用的习惯。
如：
题一，AB为圆O的直径，BC切圆于Ｂ点，AC交于圆O于P，E在BC上，且CE＝BE，求证：
PE是圆O的切线。
题二，在直角梯形ABCD中，AB║CD，AD?
AB，垂足为A，以腰BC为直径半圆O切AD于E点，连结BE，若BC＝6，?
EBC＝30，求梯形ABCD的面积。
这两个题都涉及到直经和切线问题，而解决有关直径的问题常常作辅助线构成直径所对的圆周角；解决有关切线的问题常常作过切点的半径。
运用到这两个规律，这两个题目就会迎刃而解。
训练自觉运用规律，可以养成学生最后不自觉的运用规律甚至主动总结规律的良好习惯，最终学生会站在更高的角度，以高屋建瓴的思维，更开阔的思维审视题目，能够不需要详细的解题，而知道题目如何解答，极大地提高复习效率，产生更大的成功感和浓厚的兴趣，树立起坚定的自信心，应考时能够正常发挥甚至是超常发挥。
三是思维整合训练。
中学生的思维训练主要是转化的数学思维，发散思维创新思维的培养与训练。
转化的数学思想是解答灵活多变的题目的前提条件。
如：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AD平分∠CAB交BC于D。
过Ｃ作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于F。
求证EF＝CE。
根据题目条件可知将证明EF＝CE转化成三角形ＡＥＦ≌三角形ＡＥＣ，根据条件按这种转化思路问题是能够得到证明的。
如：
△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，Ｐ是ＢＣ上点。
ＰＥ⊥ＡＢ于Ｅ，
ＰＦ⊥ＡＣ于Ｆ。
求证：
ＰＥ＋ＰＦ＝ＣＤ。
这个问题可以运用“截长补短”的辅助线来解决。
但考虑ＰＥ、ＰＦ、ＣＤ都是垂线段，ＣＤ是高，ＰＥ、ＰＦ可以转化成三角形的高，而三角形的高与面积有关。
连结ＡＰ，因此转化成△ＡＢＰ、△ＡＣＰ、△ＡＢＣ的面积问题解决。
发散思维的训练关键是对题目已知条件进行发散，如：
四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠Ａ与∠Ｃ互补，那么ＡＤ和ＤＣ是否相等?
先假设AD＝CD。
在寻求证明该结论时根据题目的两个条件，发散不同的条件就可以得到不同的证明方法：
根据BD平分∠ABC可以考虑运用角平分线性质定理来证明，过D点分别作BA、BC的垂线，垂足分别为E、F，证明△ＤＡＥ≌△ＤＣＦ。
根据∠Ａ．
∠Ｃ互补这一条件，考虑到圆内接四边形对角互补，因此A、B、C、D四点共圆。
因此∠ＢＡＤ、∠ＣＡＤ两相等的圆周角所对的两弦ＡＤ、ＣＤ相等。
发散题目条件可以让学生更好地熟悉题目，更有效地将题目条件和发散结论重新配置、组合，更快地解决问题。
创新思维没有固定的训练方法，在某种程度上说主要来自于灵感。
灵感源于平时基本知识的熟练灵活运用和创新意识。
因此在平常训练中要有意引导学生创新，鼓励学生创新。
如已知Ｘ满足方程２Ｘ２－７Ｘ＋２＝０，则Ｘ＋１／Ｘ＝＿＿＿。
联想到原方程可化为Ｘ２＋７／２Ｘ＋１＝０，Ｘ、１／Ｘ互为倒数，若一元二次方程aＸ２＋bＸ＋c＝０（a≠０）的两根之积X1X2＝１，则两根互为倒数，因此Ｘ、１／Ｘ可以看成是方程２X2－7Ｘ＋２＝０的两根，所以Ｘ＋１／Ｘ＝7/2；这是一种联想创新。
如：
２X2－２Ｘ＝―１－４／Ｘ有几个解，可以用解方程的方法解答，但比较繁琐，考虑到求两函数图象的交点可以转化成解方程的问题，因此这个问题就可变成抛物线y＝２X2－２Ｘ＋１与双曲线y＝－４／Ｘ的交点问题，通过分析图象可以解答，这是一种将数与形结合的创新。
【“与学生谈数学”之五】
数形结合开启思维的航船
罗田县三里畈初中何国炎
“数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘：
几何代数流一体，永远联系莫分离。
”华罗庚关于数形结合的这一段精辟论述，正是我们要学习的数学思想和开启思维的好方法。
一、以形助数，简明直观
数是形的抽象概括，形是数的直观表现，用形帮助解决数的问题，我们早已熟知，应用题中用画线段图帮助分析理解数量关系，就是数行结合的初现。
例1：
修一条公路，现已完成全长的
离中点还有16.5千米，问已修完多少米？
解法一：
（算术法）16.5÷（
）×
＝33（千米）
解法二：
（代数法）设已修公路为x千米，则列方程为
x－x＝16.5,解得x＝33
解法三：
（数形结合法）16.5×2=33（千米）
将全长画为线段AB看作“1”，将其三等份，每段为
，E为AB中点，也为CD中点，即CF=ED=16.5，所以全长的
即已修成为16.5×2＝33（千米）。
三种方法，数形结合既直观明了，又简单易算，足见形助数的奇效。
个人所得税是一个分段计税的问题，不易理解，很容易算错，如果画出下列这样的线段图就直观简单。
二、用数解形，细致入微
几何直观形象，但代数表达及其运算，全面、精辟、入微，而“形题数解”往往可以使求解思路新颖，且几何中多解问题可以通过转化为解方程或方程组求出来，而不必进行分类讨论，这就是数形结合优越性的再现。
例2：
等腰三角形的面积为2，腰长为√5，底角为α，求tanα。
此题为一几何求值题，用几何方法解，必须以顶角为锐角、直角、钝角进行分类讨论，才不漏解，但用下面的代数方法求解就全面细致且不漏解。
解：
过A作AD⊥BC于D，设BD＝x,AD＝y,则有x2＋y2＝（
）2……①又有S△ABC＝
BC·AD＝
·2x·y＝2，即xy＝2……②，
由①②组成方程组，求解并检验后得
∴tanα＝
＝
或2，详细求出多解。
（例2图）（例3图）
三、数形结合显神奇
形助数，数解形，数形结合见神奇。
看：
一个实数可以用数轴上的点表示，而平面上的点可以用一对有序实数——点的坐标（x,y）表示。
通过平面直角坐标系这个数形结合的桥梁，一条直线就可以用数式y＝kx＋b（k≠0）表示，而函数y＝ax2＋bx＋c（c≠0）的图象则是一条抛物线，数形在此成为一体。
数形结合，既可以将数的问题转化为形，也可以将几何图形的问题转化为代数问题。
例3：
已知：
△ABC中，∠C＝90°，CD是高，
求证：
AC2＝AD·AB
证明：
如图，设∠A＝α,cosα＝
＝
∴AC2＝AD·AB
这本是一道“用相似三角形”知识来证明的几何问题，但通过设“元”，利用三角函数，将几何问题代数化，更显出数形结合的神奇。
如果说数学是知识海洋中的一艘船，若数是舵，那么三角形，四边形……不正像船上的帆，掌好数的舵，扬起形的风帆，数形结合开启思维的航船，驶向知识的大洋。
【“与学生谈数学”之六】
分类讨论，放飞思维
罗田县三里畈初中边何国炎
你会化简︱x-1︱吗？
你会求出
的值吗？
很多同学一定都会回答，解这些题一定要分类讨论才能完成。
确实如此，在解决某些数学问题时，要将问题中的对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，最后总结得出正确的结论，这就是分类讨论法。
怎样运用分类讨论法解题呢？
关键是如何正确分类，重点做到分类既不重复，又不遗漏，这就需要我们根据所学知识，按下列常见形式分类讨论。
一、根据范围或条件的限制进行分类讨论
一般的定义、定理、公式和法则都有一定的范围或条件的要求，因此，按要求分类讨论，才能正确完整解答问题。
如：
绝对值的法则中分为正数、零、负数三方面讨论，而等比性质中，如：
严重abc≠0,并且
＝
＝
＝p,求p的值，由等比性质得，
＝p,当a+b+c≠0时，p＝2；当a+b+c＝0时，即a＋b＝－c,∴p＝
＝
＝－1.是按a+b+c≠0和a+b+c＝0两种情况分类讨论。
二、根据题设条件中含有字母的不同取值进行分类讨论。
分类讨论中含有变量或字母系数，必须按不同的取值进行分类讨论。
字母系数的一元一次方程ax+b=0和一元一次不等式ax＞b中，系数的不同取值，直接影响解答的方法和结果，一般按数的正、零、负进行讨论。
而一元二次方程解的讨论，也是按判别式的正、零、负进行讨论。
而是否什么方程，则看系数为零不为零决定方程的次数来讨论。
如：
求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k－1）＝0的根都是整数。
此题含字母系数的方程是关于x的二次方程，还是一次方程直接受系数的影响，应分类讨论。
当k＝0且不等于－0.5时，为一次方程；当k≠0时为二次方程，还要考虑判别式，再分类讨论，这是一个双重讨论的问题，分类方法更为重要。
三、根据图形位置或形状不确定进行分类讨论
几何中图形形状、大小、位置是研究的对象，当这些对象不确定时，只有通过讨论才能定形定性，谁结论完整正确。
三角形根据锐角、直角、钝角分类而高有形内、直角边上、形外三种类型；等腰三角形由于底、腰的不确定而周长需要分类讨论得出；全等、相似三角形的对应边不确定要分类讨论；点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系由于相互间距离与半径的不定关系也都分为三种类型讨论；而圆中的两条平行弦间的距离，则根据两弦在圆的同侧还是两侧而分类得出两种不同的距离。
四、根据问题条件没有明确给出或结论不唯一进行分类讨论
这类问题，只有通过分类讨论，才能保证解答的严密性和结论的完整性。
如：
已知α为锐角，比较sinα,cosα的大小。
条件中的锐角α又不明确，根据正弦与余弦随角度大小变化规律，当α＝45°，两函数值相等为界，分为0°＜α＜45°、α＝45°、45°＜α＜90°分类讨论得出sinα＜cosα、sinα＝cosα、sinα＞cosα.
而在坐标系中点的坐标的不确定，致使结论的不唯一，更要通过分类讨论来保证结论的完整。
如：
已知x轴上有点A（-2，0），B（4，0），点P为直线y＝x+2上一点，其横坐标为m，问：
若△APB为直角三角形，则m为何值？
此题中△APB的边AB位置已定，而使△APB为直角三角形，则需要考虑到哪个角为直角，故分∠APB＝90°、∠ABP＝90°、∠BAP＝90°三类进行讨论即可。
此外，对于自然数问题可按奇，偶分类或剩余类分类讨论；而中考压轴题经常用到的分类有：
由点的不确定引起分类讨论；由图形全等或相似的对应关系不确定性引起分类讨论；由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论。
分类讨论既是一种重要的教学思想，更是一种常用的解题方法。
它不但考察我们掌握基本概念和基本技能的程度，而且能培养我们思维的周密性和灵活性，使我们思考问题更加全面、严谨、周密，且灵活准确。
【“与学生谈数学”之七】
逆向思维与应用
罗田县三里畈初中李怡书
在初中数学教材中有许多互逆关系的内容，学生在学习知识的过程中应该经常用逆向思维的方法去帮助理解，学会分析解答，巩固所学知识与方法，养成勤检查的良好学习习惯，培养学生学习的主动性，对自己充满信心。
在学习计算法则时，如减法法则、除法法则、开方法则分别是加法法则、乘法法则和乘方法则的应用逆运算。
学习理解它们时，新知识建立在旧知识的基础上，结合互逆的关系，学习起来浅显易懂。
如22＝4（－2）2＝4那么什么数的平方等于4？
4的平方根有哪些？
象这样反复对比、举例，就不会掉解。
再如计算
＋
，若直接通分非常复杂，甚至不可解。
但如果逆用减法法
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