第九讲对数的运算doc.docx

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第九讲：

对数与对数运算

°学习目标

1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.

2.了解常用对数与自然对数的意义.

3.

理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.

对点讲练

、对数式有意义的条件

1求下列各式中x的取值范围：

（1）log2（x—10）;

（2）log（>—1）（x+2）；（3）log（x+1）（x—1）2.

分析由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式（组），解之即可.

解

（1）由题意有x—10>0,•••x>10，即为所求.

[x+2>0,

⑵由题意有1

lx—1>0且x—1z1,

lx>—2，

即$•••x>1且xz2.

lx>1且xz2,

f（x—1）2>0,

（3）由题意有$

[x+1>0且x+1z1,

解得x>—1且xz0,xz1.

定要注意：

对数真数大于零，对数的底数大于零

点评在解决与对数有关的问题时，且不等于1.

变式迁移1在b=log（a-2）（5—a）中，实数a的取值范围是（）

A.a>5或a<2B.2

C.2

二、对数式与指数式的互化

例2将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式:

（1）54=625;⑵10928=—3;

（3）g）2=16;（4）log101000=3.

分析利用ax=N?

x=logaN进行互化.解

（1）•/54=625,•••Iog5625=4.

1nY3

（2）•/log28=—3,•）=8.

⑶■-S）2=他••圖代=—2.

3

在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要分清各字母分别在指数式和对数式中的位

x值:

⑷•/log101000=3,•••10=1000.

点评指数和对数运算是一对互逆运算，要途径.在利用ax=N?

x=logaN进行互化时,置.

变式迁移2将下列对数式化为指数式求

32

（1）logx27=2；

（2）log2x=—3；

⑶Iog5（log2x）=0;（4）x=109279；

1

⑸x=log2l6.

三、对数恒等式的应用

例3

（1）alogablogbclogcN的值（a,b,c€R，且不等于1,N>0）;

⑵42（log29—log25）.

解⑴原式=⑻ogab）logbclogcN=blogbclogcN=（blogbc）logcN

=clogcN=N.

占亠2log299

⑵原式=2（log29—Iog25）=2log25=5.

点评对数恒等式alogaN=N中要注意格式：

（1）它们是同底的；

（2）指数中含有对数形式；（3）其值为真数.

1变式迁移3计算：

3log^5+（V3）log35.

课堂小结

课时作业

、选择题

二、填空题

6.

则x的值为.

n则a2m+n的值为

「2.7782〜

若5lgx=25,

7.设Ioga2=m,loga3=

&已知lg6~0.7782,贝U10

三、解答题

9.求下列各式中x的值

（1）若Iog3卜尹卜1，则求x值；⑵若Iog2003（x2—1）=0，则求x值.

10.求x的值：

（1）x=log^A;

（2）x=log^/s；（3）x=71-Iog75;

1

⑷Iogx8=—3;⑸Iog2x=4.

对数与对数运算

（二）

O学习目标

1•掌握对数的运算性质及其推导.

2•能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.

口自学导弓I

1.对数的运算性质：

如果a>0,aM1,M>0,N>0，那么,

（1）loga（MN）=logaM+logaN;

⑵logaN=logaM—logaN;

（3）logaMn=nlogaM（n€R）.

logcb

2.对数换底公式：

logab=logca.

对点讲练一二V

一、正确理解对数运算性质

y>0,x>y，下列式子中正确的个数有（）

例1若a>0,aM1,x>0,

1logax-logay=loga（x+y）;

2logax—logay=loga（x—y）;

x

3logay=logaxTogay；

4loga（xy）=logaxlogay.

A.0个B.1个

答案A

解析对数的运算实质是把积、商、幕的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如logaxMlogax,logax是不可

分开的一个整体•四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的.

点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件.

则下列各式正确的是（）

变式迁移1若a>0且aM1,x>0,n€N*,

1n,

A.logax=—logaxB.（logax）=nlogax

x

nn1

C.（logax）=logaxD.logaX=logax

入

2、对于a>0且aM1，下列说法中，正确的是

1

M=N，则logaM=logaN;logaM=logaN，则M=N;logaM2=logaN2，则M=N；

若

2若

3若

4若M=N，则logaM2=logaN2.

D.①、②、③、④

A.①与③B.②与④C.②

二、对数运算性质的应用

例2计算：

（1）log535—2log+log57—Iog51.8;

（2）2（lg眾）2+Ig护Ig5+寸（Ig述）2—Ig2+1；Ig回+Ig8-典1000

⑶Ig1.2；

⑷（lg5）2+lg2lg50.

分析利用对数运算性质计算.

9

解⑴原式=Iog5（5x7）—2（log57—log53）+log57—logsg

=log55+log57—2log57+2log53+log57—2log53+log55

=2log55=2.

（2）原式=lgV2（2lg返+lg5）+yj（加-1）2

=IgV2（lg2+lg5）+1—Ig^=Ig^+1—l^/2=1.

33

2lg3+3lg2—23lg3+6lg2—33

（3）原式===2.

lg3+2lg2—12（lg3+2lg2—1）2

2

⑷原式=（lg5）+lg2（lg2+2lg5）

222

=（lg5）+2lg5lg2+（lg2）=（lg5+lg2）=1.

点评要灵活运用有关公式.注意公式的正用、逆用及变形使用.

变式迁移2求下列各式的值：

（1）log535+2log眾—log5^—8514;

2

⑵[（1—log63）+log62log618]4og64.

32

（3）2log32—log^9+log38—5log53;

22

（4）lg25+3lg8+lg5lg20+（Ig2）；

log^2Iog79

⑸.

Iog5~Iog7^4

三、换底公式的应用

例3

（1）计算：

（log2125+Iog425+log85）（log52+Iog254+Iog1258）.

⑵设3x=4y=36,求X+y的值；

⑶已知Iog189=a,18b=5，求log3645.

解

（1）方法一原式=

Vg2Iog24log28Aog5log525log5125丿

L2log25Iog25V2log523log52、=（3Iog25+2log22+3log22Aog52+2log^5+3log^5；

=（3+1+ljog25（3log52）

=13Iog25iS=13.

方法二原式Ag125+Ig25+Ig^4g2丄Ig4丄Ig8、万法一原式=（jg厂+苗+丽丿+両+Ig^J

_plg52lg5Ig5Yg22lg23lg2、

=IIg2+2lg2+3lg2力g5+2lg5+3lg5丿

_怦侶Y13k3lg2丿Fa厂13.

（2）由已知分别求出x和y.

•••3x=36,4y=36,

•-x=Iog336,y=Iog436,

由换底公式得：

log36361log36361

X==y==

Iog363Iog363'Iog364Iog364'

11…x=log363,y=log364,

21

--X+y=2log363+Iog364

2

=Iog36（3X4）=log3636=1.

（3）Tlog189=a,18b=5,•-log185=b.

Iog1845_Iog18（9X5）•-log3645=log1836=Iog18（18x2）

Iog189+Iog185a+ba+b

1+log1821+log^2-a

点评指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除.

变式迁移3

（1）设Iog34log48Iog8m=log416，求m;

（2）已知Iog1227=a，求Iog616的值.

解

（1）利用换底公式，得譬呼警=2,

Ig3Ig4Ig8‘

••lgm=2lg3，于是m=9.

⑵由Iogi227=a,

•口3lg3

得=a,

2lg2+Ig3

•••Ig3=2ag2,•••

3一a

•-Iog6l6=4Ig2

Ig3+Ig2

Ig3=2a

lg2=3-a，

4

2a,

+1

3—a

_4（3―a）

3+a

◎课堂小结

1.

对于同底的对数的化简常用方法是：

“收”，将同底的两对数的和（差）化成积（商）的对数；

“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）.

“Ig5+Ig2=1”来解题.

（1）

⑵

2•对于常用对数的化简要充分利用

3•对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值.

1课时作业C

一、选择题

1.Ig8+3lg5的值为（）

A.—3

2.已知

a+b

AP

C'聶

B.-1C.1D.3

Ig2=a,Ig3=b,则Iog36等于（）

a+b

B.丁

D.壮

3.若

Iga,Igb是方程2x2—4x+1=0的两个根，则的值等于（）

4.若

B.2C.4D-

汀=1000,0.25-1000,则X-1等于（）

11

A.3B.3C.—3D.—3

5.设函数f（x）=Iogax（a>0，且a丰1）,若f（X1X2…X2005）=8,贝Uf（x1）+f（X2）+…+f（x2005）

的值等于（）

A.4B.8C.16D.2Ioga8

二、填空题

6.设Ig2=a,Ig3=b,那么=.

7.若logax=2,logbx=3,logcx=6,^Ulogabcx的值为.

8.已知Iog63=0.6131,log6X=0.3869,贝Ux=.

三、解答题

9.求下列各式的值：

1324厂f—

（1）为49-3©並+Ig阿;

（2）（lg5）2+2lg2—（Ig2）2.

10•若26a=33b=62c,求证:

课程知识点小结

1.对数的概念

一般地，如果ax=N（a>0,且aM1）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

说明：

（1）实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y=ax的另一种表达形式，例如：

34=81与4=log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax=N?

x=logaN，从而

得对数恒等式：

alogaN=N.

（2）“log”同“+”“X”“寸L”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幕求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面.

⑶根据对数的定义，对数logaN（a>0，且aM1）具有下列性质：

1零和负数没有对数，即N>0;

21的对数为零，即Ioga1=0；

3底的对数等于1,即logaa=1.

2.对数的运算法则

利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然•这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度.

（1）基本公式

1loga（MN）=lOgaM+logaN（a>0,aM1,M>0,N>0），即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和.

2logaN=lOgaM—logaN（a>0,aM1,M>0,N>0），即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数.

3logaMn=nlogaM（a>0,am1,M>0,n€R），即正数的幕的对数等于幕的底数的对数乘以幕指数.

（2）对数的运算性质注意点

1必须注意M>0,N>0，例如loga[（—3）X（—4）]是存在的，但是loga（—3）与loga（—4）

均不存在，故不能写成loga[（—3）X（—4）]=loga（—3）+loga（—4）.

2防止出现以下错误：

logaM1n“n

lOgN，lOgaM=（lOgaM）.

3.对数换底公式

在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底

公式：

lOgbN=lOgCb（b>0，且b丰1;c>0,且c丰1;N>0）.

证明设lOgbN=X,则bx=N.两边取以c为底的对数，

得xlOgcb=logcN.所以x=粽b'即lOgbN=器.

换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或

需要的底数，这是数学转化思想的具体应用.

由换底公式可推出下面两个常用公式：

1

（1）logbN=__或logbNlogNb=1（N>0，且N丰1;b>0，且1）;

lOgNb

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰

惜秦皇汉武，略输文米；唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。

H'克