第九讲对数的运算doc.docx

1、第九讲对数的运算doc第九讲：对数与对数运算学习目标1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.对点讲练、对数式有意义的条件1求下列各式中x的取值范围：(1)log2(x 10); (2)log( 1)(x + 2)； (3)log (x+1)(x 1)2.分析 由真数大于零，底数大于零且不等于 1可得到关于x的不等式(组)，解之即可.解(1)由题意有x 100, x10，即为所求.x+ 20,由题意有1lx 10 且 x 1 z 1,lx 2，即 $ x1 且 xz 2.lx1 且xz 2,f(x 1)20,(3

2、)由题意有$x+ 10 且 x+ 1 z 1,解得 x 1 且 xz 0, xz 1.定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零点评 在解决与对数有关的问题时， 且不等于1.变式迁移1在b= log (a-2)(5 a)中，实数a的取值范围是( )A . a5 或 a2 B. 2a5C. 2a3 或 3a5 D . 3a0); 42(log 29 log25).解 原式= ogab)logbc log cN = blog bc logcN= (blogbc)logcN=clog cN= N.占亠 2log29 9原式=2（log29 Iog25）= 2log25 = 5.点评 对数恒等式alo

3、gaN= N中要注意格式：（1）它们是同底的；（2）指数中含有对数形 式；（3）其值为真数.1 变式迁移 3 计算：3log5 + （V3）log35.课堂小结课时作业、选择题二、 填空题6.则x的值为 .n则a2m+n的值为2.778 2 若 5lgx= 25 ,7.设 Ioga2= m, loga3 =& 已知 lg6 0.778 2,贝U 10三、 解答题9.求下列各式中x的值(1)若Iog3卜尹卜1，则求x值； 若 Iog2 003(x2 1) = 0，则求 x 值.10.求 x 的值：(1)x= logA; (2)x= log/s； (3)x= 71 - Iog75;1Iogx8=

4、3;Iog2x= 4.对数与对数运算(二)O学习目标1掌握对数的运算性质及其推导.2能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.口自学导弓I1. 对数的运算性质：如果 a0, a M1, M0 , N0，那么, (1)loga(MN)= logaM + logaN ; log aN = logaM logaN;(3)logaMn= nlogaM(n R).logcb2. 对数换底公式：logab= logca.对点讲练一二V一、正确理解对数运算性质y0, xy，下列式子中正确的个数有 ( )例 1 若 a0, aM 1, x0,1logax -log ay= loga (x+ y);2logax

5、log ay = loga(x y);x3log ay= log ax Tog ay ；4loga(xy)= logax log ay.A . 0个 B . 1个答案 A解析 对数的运算实质是把积、 商、幕的对数运算分别转化为对数的加、 减、乘的运算.在 运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算， 如log axM loga x, logax是不可分开的一个整体四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的.点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件.则下列各式正确的是( )变式迁移1 若a0且aM 1, x0, n N*,1 n ,A . loga

6、x= logax B . (logax) = nlogaxxn n 1C. (log ax) = log ax D . logaX= loga x入2、对于a0且aM 1，下列说法中，正确的是1M = N，则 logaM = logaN ; logaM = logaN，则 M = N; log aM2= logaN2，则 M = N；若2若3若4若 M = N，则 logaM2= logaN2.D .、A .与 B .与 C .二、对数运算性质的应用例2计算：(1)log 535 2log + log 57 Iog51.8;(2)2(lg 眾)2 + Ig 护 Ig5 + 寸(Ig 述)2 I

7、g2 + 1 ； Ig 回 + Ig8 -典1 000 Ig1.2 ；(lg5)2 + lg2 lg50.分析利用对数运算性质计算.9解 原式=Iog5(5x 7) 2(log57 log53) + log57 logsg=log55 + log 57 2log 57 + 2log53 + log 57 2log53 + log55=2log55 = 2.(2)原式=lgV2(2lg 返 + lg5) +yj (加-1)2=Ig V2(lg2 + lg5) + 1 Ig = Ig + 1 l/2 = 1.3 32lg3 + 3lg2 2 3lg3 + 6lg2 3 3(3)原式= = =2.l

8、g3 + 2lg2 1 2(lg3 + 2lg2 1) 22原式=(lg5) + lg2 (lg2 + 2lg5)2 2 2=(lg5) + 2lg5 lg2 + (lg2) = (lg5 + lg2) = 1.点评 要灵活运用有关公式.注意公式的正用、逆用及变形使用.变式迁移2求下列各式的值：(1)log 535 + 2log眾log 5 8514;2(1 log63) + log62 log618 4og64.32(3)2log 32 log 9 + log 38 5log53;2 2(4)lg25 + 3lg8 + lg5 lg20 + (Ig2)；log2 Iog79 .Iog5 Io

9、g74三、换底公式的应用例 3 (1)计算：(log 2125 + Iog425 + log 85)(log 52 + Iog254 + Iog1258).设3x= 4y= 36,求X + y的值；已知 Iog189= a,18b= 5，求 log3645.解 (1)方法一原式=0，且 a丰 1),若 f(X1X2X2 005) = 8,贝U f(x1) + f(X2) + f(x2 005)的值等于( )A . 4 B . 8 C . 16 D . 2Ioga8二、 填空题6.设 Ig2 = a, Ig3 = b,那么 = .7. 若 logax= 2, logbx= 3, logcx =

10、6,U logabcx 的值为 .8 .已知 Iog63= 0.613 1, log6X= 0.386 9,贝U x= .三、 解答题9.求下列各式的值：1 32 4 厂 f(1)为49- 3 並 + Ig 阿;(2)(lg5)2 + 2lg2 (Ig2)2.10若 26a = 33b= 62c,求证:课程知识点小结1.对数的概念一般地，如果ax= N (a0,且aM 1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x= logaN, 其中a叫做对数的底数，N叫做真数.说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数 y= ax的另一种表达形式，例如：34= 81与4 = log381这两个式子表达

11、是同一关系，因此，有关系式 ax= N? x= logaN，从而得对数恒等式：alogaN = N.(2) “log”同“ + ” “X” “寸L”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的 幕求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面.根据对数的定义，对数 logaN(a0，且aM 1)具有下列性质：1零和负数没有对数，即 N0 ;21的对数为零，即Ioga1 = 0 ；3底的对数等于1,即logaa= 1.2.对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除 运算，反之亦然这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度.(1)基

12、本公式1loga(MN)= lOgaM + logaN (a0, aM 1, M0, N0)，即正数的积的对数，等于同一底 数的各个因数的对数的和.2logaN= lOgaM logaN (a0, aM 1, M0, N0)，即两个正数的商的对数，等于被除 数的对数减去除数的对数.3logaMn= n logaM (a0, am 1, M0, n R)，即正数的幕的对数等于幕的底数的对数 乘以幕指数.(2)对数的运算性质注意点1必须注意 M0, N0，例如loga( 3)X ( 4)是存在的，但是loga( 3)与loga( 4)均不存在，故不能写成 loga( 3)X ( 4) = loga

13、( 3) + loga( 4).2防止出现以下错误：logaM 1 n “ nlOgN，lOgaM =(lOgaM).3.对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为 10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：lOgbN = lOgCb (b0，且 b 丰 1; c0 ,且 c 丰 1; N0).证明 设lOgbN = X,则bx= N.两边取以c为底的对数，得 xlOgcb= logcN.所以 x=粽b即 lOgbN=器.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化， 即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用.由换底公式可推出下面两个常用公式：1(1)logbN=_ 或 logbN logNb= 1 (N0，且 N 丰 1; b0，且 1);lOgNb江山如此多娇，引无数英雄竞折腰惜秦皇汉武，略输文米；唐宗宋 祖，稍逊风骚。一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射 大雕。俱往矣，数风流人物， 还看今朝。H 克