高考数学压轴题大集合.docx

高考数学压轴题大集合.docx

《高考数学压轴题大集合.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学压轴题大集合.docx（54页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学压轴题大集合

2017备战高考数学压轴题集合

1.（本小题满分14分）

如图，设抛物线c:

y=X2的焦点为F,动点P在直线丨：

x-y-2二0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求厶APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明/PFA=/PFB.

22

解:

（1）设切点A、B坐标分别为（x,X0）和（x1,X-I）（（x^^x0）,

•••切线AP的方程为:

2x°x-y-x：

=0；

切线BP的方程为:

解得P点的坐标为:

x。

X1,y^X0X1

所以△APB的重心

的坐标为

X0X1Xp

Xp,

3

yG二

X；X；X0X1（X0X1）2-X°X1

3_

4xp2-yp

2

所以yp二-3yG'4&，由点P在直线l上运动，从而得到重心

G的轨迹方程为:

21

x-（-3y4x）-2=0，即卩y（4x

3

-x2）.

2

（2）方法1：

因为FA=化，x0

X°X1

由于P点在抛物线外，则

|FPF0.

•cosAFP二旦竺

|FP||FA|

X0X1

2

12

X0（X0X1）（X0

4

（x。

2-：

）

4

|FPhXo

-1）

4

X0X11

一4

|FP|

FP同理有cos・BFP=

|FP||FB|

一X0+X1

FB_~2~

121

X1（X0X1）（X1）

44

1、2

4，

|FP|：

X12（X1^J

1

4

|FP|

X0X1

•••/AFP=/PFB.

方法2:

①当x/o=0时，由于X1

-Xo,不妨设X。

=0,则y

X1

2所以P点坐标为（-,0）,

则P点到直线AF的距离为：

d1

凶;而直线BF的方程

1

：

八4

21

二

X1

X,

即（x2—」）x—my亠=0.

44

所以

P点到直线BF的距离为:

（X12

424

122

）（x1）

4

42

21

x1-

4

|Xi|

所以

d1=d2，即得/AFP=/PFB.

②当

X1X0=0时，直线AF的方程:

1

AA

4（x—0）,即（X；——）x—X0y—X0=0,x0—044

2

Xo

直线

2

X1

所以

BF的方程：

y-14（x-0）,即（xf-^）x-x1y1x^0,

4人-044

P点到直线AF的距离为：

di

21X0X121

I（X0「4）（丁）「X0X14X0「

X0—X1、“21、

h）（X°?

|X°-X1|

40-，同理可得到P

2

21

X04

点到直线

BF的距离d2二

I%-x0|

110I因此由

di=d2，可得到/

AFP=/PFB.

2.（本小题满分12分）

设A、B是椭圆3X2

点N（1,3）是线段AB的中点，线段

AB的

垂直平分线与椭圆相交于

（I）确定■的取值范围,

（n）试判断是否存在这样的

的方程;

D两点•并求直线AB

‘使得A、B、C、D四点在同一个圆上？

并说明理由

（此题不要求在答题卡上画图）

本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力•

（I）解法1：

依题意，可设直线AB的方程为y=k（xT），3,代入3x2y2

整理得（k23）x2-2k（k-3）x（k-3）2-■=0.①

设A（X1,yj,B（X2,y2）,则X1x是方程①的两个不同的根,

•••••=4[（k23）—3（k-3）2]0,②

2k（k—3）

且x1x22,由N（1,3）是线段AB的中点，得

k+3

x1x22

12=1,.k（k一3）=k23.

解得k=—1,代入②得，’12，即’的取值范围是（12,+8）

于是，直线AB的方程为y-3--（x-1）,即x•y-4=0.

解法2:

设A（X1,yJ,B（X2,y2）,则有

厂22

3x1+y1=h

22二（治—X2XX1+X2）+（力—y2）（%+y2）=°.

3x?

+y2=九

依题意，

X「X2,.kAB「3（X1X2）

、宀2

•••N（1,3）是AB的中点，•x1x2=2,比•y2二6,从而kAB二-1.

又由N（1,3）在椭圆内，•■31232=12,

•-的取值范围是（12,+^）.

直线AB的方程为y—3=—（x—1）,即x+y—4=0.

（H）解法1：

TCD垂直平分AB,•直线CD的方程为y—3=x—1，即x—y+2=0,

代入椭圆方程，整理得4x2•4x4-彊-0.

又设C（X3,y3）,D（X4,y4）,CD的中点为C（x0,y。

）,则X3,X4是方程③的两根，

11313

•X3X4二T,且X。

=—（X3X4）=-—,y。

=X。

2=—,即M（-—,—）•

22222

于是由弦长公式可得|CD1•（-：

）24x3-x4|「2（二3）.④

将直线AB的方程x+y—4=0,代入椭圆方程得4x2-8x*16-■=0⑤

同理可得|AB|“1-k2|x^x2,2^-12）.⑥

•••当’12时，「2（=3）、2（二12）,|AB|：

：

|CD|

假设存在’>12，使得A、B、C、D四点共圆，贝UCD必为圆的直径，点M为圆心.

点M到直线AB的距离为d=今一41

J2

1-41

2

12

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

222AB29■-12■-3CD2

|MA|=|MB|d|I\I

22222

故当■>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，LCD-1为半径的圆上.

2

（注：

上述解法中最后一步可按如下解法获得：

）

2

A、B、C、D共圆二△ACD为直角三角形，A为直角二|AN|=|CN|•|DN|,

即（型）2=（竺.

22

d）（—

由⑥式知，⑧式左边

■-12

2

由④和⑦知，⑧式右边

/2厂3）3、2”2厂3）3、2、■-39

珂2厂）（2/二丁二

■-12

2

•••⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.

解法2:

由（H）解法1及入>12,

•/CD垂直平分AB,

•直线CD方程为y-3=x-1,代入椭圆方程，整理得

4x24x4-'-0.③

将直线AB的方程x+y—4=0,代入椭圆方程，整理得

4x2-8x16-=0.⑤

解③和⑤式可得x12

2_，-12,x

3,4

1匚3

3_Jh—3）d（_1+J—33+血-3）

DA=（

3・、，3・.，12

2

计算可得CADA=0,•A在以CD为直径的圆上.

又B为A关于CD的对称点，•A、B、C、D四点共圆.

（注：

也可用勾股定理证明AC丄AD）

3.（本小题满分14分）

11

已知不等式---•…

23

1

■-[log2n],其中n为大于2的整数,

2

[log2

n]表示不超过

log2n的最

设数列｛an｝的各项

且满足

a1二b（b0）,an

na.1

n

=2,3,4,

（I）证明an

：

r^q23,4,5,

（n）猜测数列｛a.｝是否有极限？

如果有，写出极限的值（不必证明）

（川）试确定一个正整数N，使得当n•N时，对任意b>0，都有

an

1

:

:

:

-.

5

本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想

（I）证法1:

v当n_2时,0:

:

:

an

na.」

一nan」

an

nan」

-nan」

1

=+-

an」n

即——

anan1

1

于是有一

a?

a〔

111

畠一，—-一

2&a2

1

>--

■3,

ananA

所有不等式两边相加可得

an

a1

>—+

2

由已知不等式知，当n>3时有,

ana1

丄[log2n].

2

111

印=b,[log2n]

an

2b[log2n]

2b

2b

an

2b[log2n]

证法2:

设f（n）

=丄•1宀一丄，首先利用数学归纳法证不等式

n

an_1f（n）b

n=3,4,5,.

（i）当n=3时，由a3乞

3a2

3a2

-3L

「3.711f（3）b

a22a1

知不等式成立.

则aki

...（k1）ak

k1）ak

k1

ak

（k1）

1f（k）b

b

（k+1）b

（k1）（k1）f（k）bb

1

1（f（k）E

1f（k1）b

由（i）、（ii）知，

an_,n_3,4,5,.

1+f（n）b

又由已知不等式得

b2bq/匚

an,n=3,4,5,.

12b[logn]

1[logn]b

2

即当n=k+1时，不等式也成立

（n）有极限，且liman=0.n—Jpc

（出）

2b

2b[log2n]

-^,令一^

[log2n][log2n]

则有log2n-[log2n]10,=n210=1024,

故取N=1024，可使当n>N时，都有an：

：

：

1•

4.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1,F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线I与x轴的交点为M,|MA_J：

2:

1.

（I）求椭圆的方程；

（n）若点P为I上的动点，求/f1pf2最大值.

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知

识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力•满分14分•

22

解:

（I）设椭圆方程为^7^2ab0，半焦距为c，则

ab

（ii）假设当n=k（k>3）时，不等式成立，即

b

ak_Vf（k）b，

2

a

MAa,Ah=a-c

c

厂2

a

一_a=2（a_c）

由题意,得2a=4

a2=b2+c2

二a=2,b=^3,c=1

22

故椭圆方程为-y1.

43

设直线PF,的斜率k^-y°,直线PF2的斜率k2

3

0：

：

.F,PF2：

：

.PFM,

2

，•”ZFPF为锐角。

2y。

”2y。

二ta^FPF汗就

V15y°215一2_15y°一石.

当y°h：

R5，即y°=_、.15时,tan/RPF?

取到最大值，此时/RPF?

最大,故乙F1PF2的最大值为arctan」5.

15

5.已知函数fx和gx的图象关于原点对称，且fx[=x22x.

（I）求函数gx的解析式;

（n）解不等式gx-fx-x-1；

（川）若hx二gx-・fx1在1-1,1上是增函数，求实数•的取值范围.

本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合

运用所学知识分析和解决问题的能力•满分14分.

解：

（I）设函数y二fx的图象上任意一点QXo,yo关于原点的对称点为Px,y，则

X。

二-X,

y。

=「y.

•••点Qx0,y0在函数y=fx的图象上

:

•一讨=x2-2x,即讨--x22x,故gx--x22x

（n）由g（xf（x）—x—1,可得2x—x—1兰0

当x_1时，2x2-x7乞0，此时不等式无解.

21

当x:

:

：

1时，2x2•x-1_0,解得-1_x.

2

因此，原不等式的解集为-1,-.

〔2」

（川）hx=-1亠；.以2•21—咒次-1①当，=_1时，hx=4x1在[-1,1止是增函数,

&=-1

②当，_1时，对称轴的方程为x二1^

1

】）当，1时,,一1,解得，1.

1_>

ii）当•.-1时，1,解得-1：

一_0,

1+扎

综上，’_0.

6.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

对定义域分别是Df、Dg的函数y=f（x）、y=g（x）,

-f（x）g（x）当x€Df且x€Dg

规定：

函数h（x）=

f（x）

g（x）

当x€Df且x-Dg当xDf且x€Dg

若函数

12

f（x）=,g（x）=x,x€R,写出函数

x-1

h（x）的解析式

求问题

（1）中函数h（x）的值域；

⑶若g（x）=f（x+a）其中a是常数，且a€[0,n请设计一个定义域为R的函数y=f（x）,及一个a的值,使得h（x）=cos4x,并予以证明.

2

打x

［解］

（1）h（x）=

x—1

1

x€（-g,1）U（1,+口

x=1

（2）当xMl时,h（x）=

2

x

=x-1+

X-1

1

X-1

+2,

若x>1时，则h（x）>其中等号当x=2时成立若x<1时，则h（x）<0其中等号当x=0时成立

•••函数h（x）的值域是（-g,0]{1}U[4,+g）

ji

⑶令f（x）=sin2x+cos2x,a=

4

则g（x）=f（x+a）=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2x-sin2x,

44

于是h（x）=f（x）•f（x+a）=（sin2x+co2sx）（cos2x>in2x）=cos4x.

另解令f（x）=1+、2sin2x,a=,

2

g（x）=f（x+a）=1+2sin2（x+n）=1..2sin2x,

于是h（x）=f（x）•f（x+a）=（12sin2x）（1-.2sin2x）=cos4x.

7.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.

在直角坐标平面中，已知点P1（1,2）,P2（2,22）厂-,Pn（n,2n）,其中n是正整数.对平面上任一点A。

记A1为A。

关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…,An为An-1关于点Pn的对称点•

（1）求向量A0A2的坐标；

（2）当点Ao在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3为周期的周期函数，且当x€（0,3］时,f（x）=lgx.求以曲线C为图象的函数在（1,4］上的解析式；

⑶对任意偶数n,用n表示向量AoAn的坐标•

［解］

（1）设点Ao（x,y）,A0为P1关于点的对称点Ao的坐标为（2-x,4-y）,

A1为P2关于点的对称点A2的坐标为（2+x,4+y）,

•••A0A2={2,4}.

（2）TA0A2={2,4},

•f（x）的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.

因此，曲线C是函数y=g（x）的图象，其中g（x）是以3为周期的周期函数，且当x€（-2,1］时,g（x）=lg（x+2）-4.于是，当x€（1,4］时,g（x）=lg（x-1）-4.

另解设点A°（x,y）,A2化$2）,于是X2-x=2,y2-y=4,

若3

当1

•••当x€（1,4］时,g（x）=lg（x-1）-4.

⑶A0An=A0A2'A2A4'An_2An,

A2k-2A2k-2P2k4^2k，得

A0An

=2（PP2+P3P4k*+巳斗巳）=2（{1,2}+{1,2

3}+—+{1,2

n-1}）=2{n,^^i）

23

}={n,

4（2n1）

3

}

如图，设抛物线C:

y=x2的焦点为F，动点P在直线|：

x-y-2=：

0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求厶APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明/PFA=/PFB.

解：

（1）设切点A、B坐标分别为（x,x0）和（Xi,X；）（（Xi=Xo）,

•••切线AP的方程为：

2x0x—y—X；=0；

切线BP的方程为：

2xm-y-X；=0；

解得P点的坐标为：

xp='Xl,y^=X0X1

2

所以△APB的重心G的坐标为xG二X°XiXp=xp,

3

2

所以yp=-3yG+4xg，由点P在直线I上运动，从而得到重心G的轨迹方程为:

21X亠X121

（2）方法1：

因为FA=（X°,X0-―），FP=（」t,x°X1-―），FB=（X1,X1--）.

4244

由于P点在抛物线外，则|FP卜0.

•-cosAFP

FPFA

|FP||FA|

同理有cosBFP

X0

X1

121

X0（X0X1）（X0）X0X1

44-

|FPh.X0

（x。

2-：

）

4

|FP|

X0X1

FPFB

|FP||FB|

I2

X1（X0X1）（X1

4

X0X1

|FP|

•••/AFP=/PFB.

方法2:

①当X1X°=O时，由于X1=X0,不妨设X0=0,则y°=0,所以P点坐标为

（X1,0）,贝UP点到直线AF的距离为：

2

①罟而直线BF的方程:

—

2

xi-

4x,

Xi

2ii

即（捲）x「捲yx^i=o.

44

所以

P点到直线BF的距离为：

d2

所以

di=d2,即得/AFP=/PFB.

②当

XMo=0时，直线AF的方程:

2

Xi

直线

BF的方程：

y_[

4Xi—。

所以

P点到直线AF的距离为:

XoXi

di二

ixix-j

I（Xi「G：

（Xi2

（Xi

i

-4）（xi）2

21|XiI

Xi2」

4

|Xi|

2iXo

4（x-°），即（xo

ii

）x-x°y—Xo=o,

44

AA

4（x-o）,即（x；—）xy-=o,

44

1/2i、/xoxi、2

I（xo）（）-Xoxi

42

i22

）Xo

xo-捲2i

F（XoV

（X：

Xo

得到P点到直线BF

2.（本小题满分i2分）

2

设A、B是椭圆3x

垂直平分线与椭圆相交于

Ixo-XtI

o1，同理可

的距离d2

|Xi

-，因此由di=d2，可得到/AFP=/PFB.

y2

='上的两点，

点N（i,3）是线段AB的中点，线段AB的

D两点.

（I）确定'的取值范围,

并求直线AB

的方程;

（H）试判断是否存在这样的■，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？

并说明理由

（此题不要求在答题卡上画图）

本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问

题的能力•

（I）解法i：

依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-i厂3,代入3x2y2二

整理得（k23）x2-2k（k-3）x（k-3）2-■=o.①

设A（Xi,yj,B（X2,y2）,则花x是方程①的两个不同的根，

•••丄=4[-（k23）—3（k-3）2].0,②

2k（k—3）

且XiX22，由N（1,3）是线段AB的中点，得

k3

解得k=—1,代入②得，’12，即’的取值范围是（12,+R）

于是，直线AB的方程为y-3--（x-1）,即x•y-4=0.

解法2:

设A（X1,yJ,B（X2,y2）,则有

依题意，

x一•k_3（X1+X2）

X1Jx2「kAB一

y1+y2

•••N（1,3）是AB的中点，•••％•x2二2,y1•y2二6,从而kAB二-1.

又由N（1,3）在椭圆内，•■.31232=12,

•-■的取值范围是（12,+8）.

直线AB的方程为y—3=—（x—1）,即x+y—4=0.

（H）解法1：

TCD垂直平分AB,•直线CD的方程为y—3=x—1，即x—y+2=0,

代入椭圆方程，整理得4x2•4x•4-■=0.

又设C（x3,y3）,D（x4,y4）,CD的中点为C（X0,y°）,则X3,X4是方程③的两根,

口11

•X3W,且"尹3心一尹0

313

十I?

，即mv

于是由弦长公式可得

|CD|「1（-1）2|X3-X4h2（-3）.④

Vk

将直线AB的方程x+y—4=0,代入椭圆方程得4x2-8xT6-■=0⑤

同理可得|AB^1k2|x^X22C-12）.⑥

•••当-12时，.2（二3）..2（二12）,|AB|：

：

|CD|

假设存在’>12，使得A、B、C、D四点共圆，贝UCD必为圆的直径，点M为圆心.

13

点M到直线AB的距离为

d|X0y°-4|匕2一4132

d==耳

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当•>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，|CD1为半径的圆上.

2

（注：

上述解法中最后一步可按如下解法获得：

）

2

A、B、C、D共圆=△ACD为直角三角形，A为直角二|AN|=|CN|•|DN|,

即（但）_（竺「d）（Q_d）.⑧

222

由⑥式知，⑧式左边二~12,

2

由④和⑦知，⑧式右边=（2（'一3）!

2）（2（■-3）壬—

2222222

•••⑧式成立，即A