高中数学 模块综合素质检测题课后强化训练含详解 新人教a版必修.docx
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高中数学模块综合素质检测题课后强化训练含详解新人教a版必修
模块综合素质检测题
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．已知sinα＝－
，
<α<
，则角α等于（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] D
2．已知向量a＝（－2,2），b＝（5，k）．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是（ ）
A．[－4,6]
B．[－6,4]
C．[－6,2]
D．[－2,6]
[答案] C
[解析] 由|a＋b|≤5平方得a2＋2a·b＋b2≤25，
由题意得8＋2（－10＋2k）＋25＋k2≤25，
即k2＋4k－12≤0，（k＋6）（k－2）≤0，求得－6≤k≤2.故选C.
3．函数f（x）＝|sinx＋cosx|的最小正周期是（ ）
A.
B.
C．π
D．2π
[答案] C
[解析] 由f（x）＝|sinx＋cosx|＝
，而y＝
sin（x＋
）的周期为2π，所以函数f（x）的周期为π，故选C.
[点评] 本题容易错选D，其原因在于没有注意到加了绝对值会对其周期产生影响．
4．|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
[答案] C
[解析] ∵c⊥a，∴a·c＝0，∴a·（a＋b）＝0，
即a·b＝－|a|2，设a与b的夹角为θ，
∴cosθ＝
＝
＝－
，
∴θ＝120°.
5．函数y＝tan
的单调增区间是（ ）
A.
，k∈Z
B.
，k∈Z
C.
，k∈Z
D.
，k∈Z
[答案] A
[解析] ∵kπ－
<2x－
，k∈Z，
∴kπ－
<2x，k∈Z.
∴
－
＋
，k∈Z.
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位）．设开始时点P的坐标为（－10,10），则5秒后点P的坐标为（ ）
A．（－2,4）
B．（－30,25）
C．（10，－5）
D．（5，－10）
[答案] C
[解析] 设（－10,10）为A,5秒后P点的坐标为A1（x，y），则
＝（x＋10，y－10），由题意有
＝5v.
所以（x＋10，y－10）＝（20，－15）
⇒
⇒
所以选C.
7．函数y＝sin
＋cos
的最小正周期和最大值分别为（ ）
A．π，1
B．π，
C．2π，1
D．2π，
[答案] A
[解析] y＝sin2xcos
＋cos2x·sin
＋cos2xcos
－sin2xsin
＝
sin2x＋
cos2x＋
cos2x－
sin2x
＝cos2x，
∴函数的最小正周期为π，最大值为1.
8．设向量a＝（1，－3），b＝（－2,4），c＝（－1，－2），表示向量4a、4b－2c、2（a－c）、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为（ ）
A．（2,6）
B．（－2,6）
C．（2，－6）
D．（－2，－6）
[答案] D
[解析] 设d＝（x，y），由题意4a＝（4，－12）,4b－2c＝（－6,20）,2（a－c）＝（4，－2）．又表示向量4a、4b－2c、2（a－c）、d的有向线段首尾相接能构成四边形，
∴4a＋（4b－2c）＋2（a－c）＋d＝0，即（4，－12）＋（－6，20）＋（4，－2）＋（x，y）＝（0,0），求得向量d＝（－2，－6）．
9．若sinα＋cosα＝tanα
，则角α所在区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] tanα＝sinα＋cosα＝
sin（α＋
），
∵0<α<
，∴
<α＋
<
.
∴
）≤1.
∴1<
.
∴
<α<
，即α∈（
，
）．故选C.
10．若向量i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋mj，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围是（ ）
A.
B．（－∞，－2）∪
C.
∪
D.
[答案] B
[解析] 由条件知a＝（1，－2），b＝（1，m），
∵a与b的夹角为锐角，
∴a·b＝1－2m>0，∴m<
.
又a与b夹角为0°时，m＝－2，∴m≠－2.
[点评] 两个向量夹角为锐角则数量积为正值，夹角为钝角则数量积为负值，是常用的结论．
11．已知函数F（x）＝sinx＋f（x）在
上单调递增，则f（x）可以是（ ）
A．1
B．cosx
C．sinx
D．－cosx
[答案] D
[解析] 当f（x）＝1时，F（x）＝sinx＋1；当f（x）＝sinx时，F（x）＝2sinx.此两种情形下F（x）的一个增区间是
，在
上不单调；对B选项，当f（x）＝cosx时，F（x）＝sinx＋cosx＝
sin
的一个增区间是
，在
上不单调；D选项是正确的．
12．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
[答案] B
[解析] ∵C＝π－（A＋B），∴sinC＝sin（A＋B），∴2sinAcosB＝sin（A＋B）．∴sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin（A－B）＝0.∴A－B＝kπ（k∈Z）．又A、B为三角形的内角，∴A－B＝0.∴A＝B.则三角形为等腰三角形．
[点评] 解三角形的题目注意应用诱导公式及三角形内角和为π的条件．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）
13．函数y＝cos2x＋sinxcosx的最小正周期T＝________.
[答案] π
[解析] y＝cos2x＋sinxcosx＝cos2x＋
sin2x
＝
sin（2x＋φ），
∴函数f（x）的周期T＝
＝π.
14．已知α，β均为锐角，且cos（α＋β）＝sin（α－β），则tanα＝________.
[答案] 1
[解析] ∵cos（α＋β）＝sin（α－β），
∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，
∵α、β为锐角，∴cosα≠0，cosβ≠0，
上式两边同除以cosαcosβ得
1－tanαtanβ＝tanα－tanβ，
即tanα－tanβ＋tanαtanβ－1＝0，
∴（1＋tanβ）（tanα－1）＝0，
∵β为锐角，∴tanβ＞0，
∴1＋tanβ≠0，∴tanα－1＝0即tanα＝1.
15．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
＝m（
＋
＋
），则实数m＝________.
[答案] 1
[解析] 由于本题是填空题，所以可以令三角形ABC为等腰三角形，其中角C＝90°，则两直角边的高的交点为C，即C与H重合．而O为斜边AB的中点，所以
与
为相反向量，所以有
＋
＝0，于是
＝m
，而C与H重合，所以m＝1.
16．函数f（x）＝3sin
的图象为C，如下结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①图象C关于直线x＝
对称；
②图象C关于点
对称；
③函数f（x）在区间
内是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移
个单位长度可以得到图象C.
[答案] ①②③
[解析] f
＝3sin
＝－3，①正确；
f
＝3sinπ＝0，②正确；
由2kπ－
≤2x－
≤2kπ＋
，k∈Z得，
kπ－
≤x≤kπ＋
，
∴f（x）的增区间为
（k∈Z），
令k＝0得增区间为
，③正确；
由y＝3sin2x的图象向右平移
个单位长度可以得到图象C，④错误．
三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）设函数f（x）＝a·b，其中向量a＝（m，cos2x），b＝（1＋sin2x,1），x∈R，且函数y＝f（x）的图象经过点
.
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）的最小值及此时x值的集合．
[解析]
（1）f（x）＝a·b＝m（1＋sin2x）＋cos2x，
由已知f
＝m
＋cos
＝2，得m＝1.
（2）由
（1）得f（x）＝1＋sin2x＋cos2x
＝1＋
sin
，
∴当sin
＝－1时，f（x）取得最小值1－
，
由sin
＝－1得，2x＋
＝2kπ－
，
即x＝kπ－
（k∈Z）
所以f（x）取得最小值时，x值的集合为
x|x＝kπ－
，k∈Z.
18．（本题满分12分）已知函数f（x）＝
.
（1）求f（x）的定义域；
（2）设α是第四象限的角，且tanα＝－
，求f（α）的值．
[解析]
（1）由cosx≠0得x≠kπ＋
（k∈Z），
故f（x）的定义域为
.
（2）因为tanα＝－
，且α是第四象限的角，
所以sinα＝－
，cosα＝
，
故f（α）＝
＝
＝
＝
＝2（cosα－sinα）＝
.
19．（本题满分12分）（08·陕西文）已知函数f（x）＝2sin
cos
＋
cos
.
（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）令g（x）＝f
，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
[解析]
（1）∵f（x）＝sin
＋
cos
＝2sin
，
∴f（x）的最小正周期T＝
＝4π.
当sin
＝－1时，f（x）取得最小值－2；
当sin
＝1时，f（x）取得最大值2.
（2）由
（1）知f（x）＝2sin
，
又g（x）＝f
，
∴g（x）＝2sin
＝2sin
＝2cos
.
∵g（－x）＝2cos
＝2cos
＝g（x），且定义域为R，∴函数g（x）是偶函数．
20．（本题满分12分）已知sin（45°＋α）sin（45°－α）＝－
，0°<α<90°.
（1）求α的值；
（2）求sin（α＋10°）[1－
tan（α－10°）]的值．
[解析]
（1）∵sin（45°＋α）sin（45°－α）＝sin（45°＋α）cos（45°＋α）
＝
sin（90°＋2α）＝
cos2α，
∴
cos2α＝－
.即cos2α＝－
.
∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，
∴2α＝120°，α＝60°.
（2）sin（α＋10°）[1－
tan（α－10°）]
＝sin70°（1－
tan50°）＝sin70°·
＝
＝
＝－
＝－
＝－
＝－1.
21．（本题满分12分）（2010·江西文，19）已知函数f（x）＝（1＋
）sin2x－2sin（x＋
）sin（x－
）．
（1）若tanα＝2，求f（α）；
（2）若x∈[
，
]，求f（x）的取值范围．
[解析]
（1）f（x）＝
·sin2x－2（
sinx＋
cosx）（
sinx－
cosx）
＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x
∴f（α）＝
＝
＝
＝
.
（2）由
（1）知，f（x）＝cos2x＋sinxcosx
＝
＋
＝
sin（2x
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