切线长定理和三角形的内切圆练习题.docx
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切线长定理和三角形的内切圆练习题
第3课时切线长定理和三角形的内切圆
o知识要点分类练夯卯亘耻
"X
知识点
1切线长定理
1.如图24-2-34,PA切OO于点A,PB切OO于点B,OP交OO于点C,下列结论中，错误的是（）
图24-2-34
A.Z1=Z2B.PA=PB
C.AB丄OPD.ZFAB=2Z1
2.如图24-2-35所示，从OO外一点F引OO的两条切线FA,FB,切点分别为A,
B.如果ZAPB=60°,FA=8,那么弦AB的长是（）
图24-2-35
A.4B.8C.43D.83
3.如图24-2—36,PA,PB分别与OO相切于A,B两点，若/C=65°,则/P的度
数为（）
图24—2—36
A.50°B.65°C.100°D.130°
4.如图24—2—37,PA,PB是OO的两条切线，A,B是切点，若/APB=60°,PO
=2,则OO的半径等于.
图24－2－37知识点2三角形的内切圆
5.2017广州如图24-2—38,OO是厶ABC的内切圆，则点O是厶ABC的（）
图24—2—38
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
6.如图24—2—39，点O是厶ABC的内切圆的圆心，若/BAC=80°,则/BOC的度
数为（）
图24－2－39A．130°B．120°C．100°D．90°
7.如图24-2—40,△ABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且
AB=18cm,BC=28cm,CA=26cm,求AF,BD,CE的长.
图24—2—40
B规律方法综合练提升能力
8.如图24-2-41所示，0是厶ABC的内心，过点0作EF//AB,与AC,BC分别交于点E,F,则（）
图24-2-41
A.EF>AE+BFB.EFVAE+BF
C.EF=AE+BFD.EF9.2016孝感《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：
“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何.”其意思为：
“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长
直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步.”该问题的答案是
步.
10.如图24—2-42,在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与O0相
切于E,F,G三点，过点D作O0的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为.
图24-2-42
11.如图24-2-43,OO是Rt△ABC的外接圆，/ABC=90°,P是OO外一点，PA切OO于点A,且PA=PB.
⑴求证：
PB是OO的切线；
（2）已知PA=.3,/ACB=60°,求OO的半径.
图24-2-43
12.如图24—2-44,已知在△ABC中，/A=90°
⑴请用圆规和直尺作出OP,使圆心P在AC边上，且与AB,BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
⑵若/B=60°,AB=3,求OP的面积.
图24—2—44
13.如图24—2—45所示，PA,PB是OO的切线，CD切OO于点E,△PCD的周长为12,/APB=60°.
求：
（1）PA的长；
（2）/COD的度数.
图24－2－45
14.如图24-2-46所示，正方形ABCD的边长为4cm,以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F,与CD交于点E,求△ADE的面积.
图24-2-46
A拓广探究创新练冲剌"
15.如图24—2-47所示，P为OO外一点，PA,PB为OO的切线，A,B为切点，AC为OO的直径，PO交OO于点E,交AB于点F.
⑴试判断/APB与/BAC的数量关系，并说明理由.
（2）若OO的半径为4,P是OO外一动点，是否存在点P,使四边形PAOB为正方形?
若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由.
图24－2－47
教师详解详析
1.D
2.B［解析］根据切线长定理，得PA=PB.
又•••/APB=60°,•••△ABP为等边三角形，
AB=PA=8.故选B.
3.A［解析］TPA,PB是OO的切线，•OA丄AP,OB丄BP,OAP=ZOBP=90°•••/AOB=2/C=130°,:
丄P=360°—（90°+90°+130°）=50°•故选A.
4.1［解析］TPA,PB是OO的两条切线，
1
•••/APO=ZBPO=—/APB,/PAO=90°.
2
•••/APB=60°,APO=30°.
•/PO=2,•AO=1.
5.B
6.A［解析］•••点O是厶ABC的内切圆的圆心，
11
•/OBC=-ZABC,/OCB=一/ACB,
22
11
•/BOC=180°—（/OBC+ZOCB）=180°—-（180。
—/A）=90°+?
/A=90°+40°=130°.
7.解：
根据切线长定理，得AE=AF,BF=BD,CE=CD.
设AF=AE=xcm,贝UCE=CD=（26—x）cm,BF=BD=（18—x）cm.
■/BC=28cm,•BD+CD=28cm,
即（18—x）+（26—x）=28,解得x=8,
则18—x=10,26—x=18,
•AF的长为8cm,BD的长为10cm,CE的长为18cm.
&C［解析］如图，连接OA,OB,贝UOA,OB分别是/CAB与/CBA的平分线，
•••/EAO=ZOAB.
•/EF//AB,:
丄EOA=ZOAB,
•••/EOA=ZEAO,•AE=EO.
同理可得：
FO=BF,•EF=AE+BF.故选C.
9.6［解析］根据勾股定理
，得斜边长为.82+152=17,
则该直角三角形能容纳的圆形
811517
（内切圆）半径r=十£—=3（步），即直径为6步.
10.133［解析］连接OE,OF,ON,OG,如图.
3
设MN=x,DN=y,根据切线长定理可得GM=MN=x,ED=DN=y,AE=AF=5—
y,FB=BG=y—1,CM=6—（x+y）.在RtADMC中，DM2=CM2+CD2,即（x+y）2=[6
—（x+y）]2+42,解得x+y=弓,即DM=晋.
33
11.解：
⑴证明：
如图，连接0B.
•/OA=OB,•••/OAB=ZOBA.
•/PA=PB,PAB=ZPBA,
•••/OAB+ZPAB=ZOBA+ZPBA,即/PAO=ZPBO.
•/PA是OO的切线，
•••/PAO=90°,PBO=90°,即OB丄PB.又•••OB是OO的半径，•PB是OO的切线.
⑵如图，连接OP.tPA=PB,
•••点P在线段AB的垂直平分线上.
•/OA=OB,
•••点O在线段AB的垂直平分线上
•OP垂直平分线段AB.
又•••BC丄AB,
•••PO//BC,•••/AOP=ZACB=60°,
•••/APO=30°,•OP=2OA.
•-PA=3,
根据勾股定理，得AO=1,
•••OO的半径为1.
12.解：
（1）如图所示，则OP为所求作的圆.
⑵I/ABC=60°,BP平分/ABC,
•••/ABP=30°,•BP=2AP.
设AP=x,贝UBP=2x.
由勾股定理，得AB=BP2-AP2=.（2x）2-x2=・，3x.
•「AB=3,••“J3x=3,解得x=3.
•-AP=吋3,•-Sop=3n.
13.解：
⑴•/CA,CE都是OO的切线，
•CA=CE.同理DE=DB,PA=PB,
•△PCD的周长=PD+CD+PC=PD+BD+PC+CA=PB+PA=2PA=12,•PA=6,
即PA的长为6.
⑵I/P=60°,•••/PCE+ZPDE=120°,
•••/ACD+/CDB=360°—120°=240°.
•/CA,CE,DB,DE是OO的切线，
1
•••/OCE=/OCA=2/ACD.
1
/ODE=/ODB=-/CDB,
2
1
•/OCE+ZODE=2（/ACD+/CDB）=120°,
•••/COD=180°—120°=60°.
14.解：
设DE=xcm,贝UCE=（4—x）cm.
•/CD,AE,AB均为OO的切线，
•EF=CE=（4—x）cm,AF=AB=4cm,
•AE=AF+EF=（8—x）cm.
在RtAADE中，AE2=AD2+DE2,
即（8—x）2=42+x2，解得x=3.
11
•-Saade=?
AD•DE=2X4X3=6（cm2）.
15.解：
（1）/APB=2/BAC.
理由：
•••PA,PB为OO的切线，
1
•PA=PB,/APO=/BPO=-/APB.
2
在等腰三角形APB中，由“三线合一”，得PF丄AB,
•ZPFA=ZPFB=90°,
•ZAPO+/PAB=90°.
•••PA切OO于点A,
•PA丄OA,BAC+ZPAB=90°,
•ZAPO=ZBAC,
⑵存在.当四边形PAOB是正方形时，
PA=AO=OB=PB=4,PO丄AB且PO=AB,
1
•-2PO-AB=PA・PB,
11即2PO2=PA2,2PO2=16,•PO=42.
这样的点P有无数个，它们到圆心O的距离等于4,2.
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