【解析】∵k＜0，∴y＝kx＋b是减函数．
∴当x1＜x2时，y1＞y2.
【答案】A
题型二二次函数的图象和性质
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则（）
A．a>0，b>0B．a>0，c>0
C．b>0，c>0D．a、b、c均小于0
【解析】由图象开口向下知a<0，而－b/2a>0，∴b>0
又f（0）＝c>0.
【答案】C
2.若二次函数对任意的实数ｘ都满足，则实数a的值为（）
A．B．－C．－3D．3
【答案】D
【方法技巧】在解决与二次函数对称轴有关的问题时如果能合理应用下面的结论会简化解题过程：
若函数对任意的实数ｘ满足，则的对称轴是x＝m．
3．已知函数f（x）＝2x2－3x＋1，
（1）求这个函数图象的顶点坐标和对称轴方程；
（2）求这个函数的最小值；
（3）不直接计算函数值，试比较f（－1）和f
（1）的大小．
【思路点拨】本题考查二次函数的基本性质，第（3）问首先利用函数f（x）的对称性：
f（x－h）＝f（x＋h），把要比较的两个值转化到同一个单调区间上，再利用函数的单调性比较它们的大小．也可以比较两个自变量离对称轴的距离大小，从而得到它们的大小关系．本题a＝2＞0，拋物线开口向上，，离对称轴远的函数值大，所以f（－1）＞f
（1）这也是常用的方法，应熟练掌握．
【解析】
（1）将函数配方化为顶点式
【方法技巧】讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象，为了方便，通常画草图，有时可以省去y轴，利用单调性比较两个数值的大小，关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上，这里体现了数形结合及化归等重要思想方法．
4.已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________．
【解析】由图知拋物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是（3,0），所以拋物线与x轴的另一个交点坐标是（－1,0），所以关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为x1＝－1，x2＝3.
【答案】－1,3
5．已知关于x的函数y=（m＋6）x2＋2（m－1）x＋m＋1的图象与x轴总有交点．
（1）求m的取值范围；
（2）当函数图象与x轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4时，求m的值．
【解析】
（1）当m＋6＝0，即m＝-6时，函数y＝－14x－5与x轴有一个交点；
当m＋6≠0时，Δ＝4（－9m－5）≥0，解得m≤，
即当m≤，且m≠－6时，抛物线与x轴有交点．
综合m＋6＝0和m＋6≠0可知，
当m≤时，此函数的图象与x轴有交点．
（2）设x1，x2是方程（m＋6）x2＋2（m－1）x＋m＋1＝0的两个根，
当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0，符合题意，
∴m的值是－3.
【方法技巧】对于y=ax2+bx+c要认为它是二次函数，就必须认定a≠0.当题目条件未说明a≠0时，就要讨论a=0和a≠0两种情况.
题型三二次函数的最值问题
1．求函数y＝2x2－4x－3的最值．
（1）x∈R；
（2）x∈[－2,0]；（3）x∈[0,3]；（4）x∈[2,4]．
【解析】对二次函数配方，得y＝2x2－4x－3＝2（x－1）2－5.
（1）若x∈R，当x＝1时，ymin＝－5；无最大值．
（2）若x∈[－2,0]，当x＝－2时，ymax＝13；
当x＝0时，ymin＝－3.
（3）若x∈[0,3]，当x＝1时，ymin＝－5；
当x＝3时，ymax＝3.
（4）若x∈[2,4]，当x＝2时，ymin＝－3；
当x＝4时，ymax＝13.
2．求函数＝在区间[0,2]上的最大值和最小值.
【解析】＝
由于的图象（抛物线）的对称轴x＝a
对于[0,2]的位置有四种可能.
当a＜0时，＝＝，
当0≤a＜1时,＝＝，
当1≤a＜2时,＝＝－1，
当a≥2时,，＝＝－1，＝＝
【方法技巧】
（1）利用单调性求最值或值域应先判断函数在给定区间上的单调性;
（2）求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图象解答．
题型四由特殊值求待定系数
1．已知一次函数y＝kx＋b，x＝1时，y＝－2，且在y轴上的截距为－5，那么它的解析式是（）
A．y＝3x＋5B．y＝－3x－5C．y＝－3x＋5D．y＝3x－5
【答案】D
2．过点A（－2,3）的反比例函数的解析式是（）
【答案】B
3．二次函数的顶点坐标为（2，－1），且过点（3,1），则解析式为________．
【答案】y＝2x2－8x＋7
4．一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则一次函数的解析式为________．
【解析】
即b2＝144，∴b＝±12.
∴解析式为y＝3x±12.
【答案】y＝3x±12
5．已知二次函数图象的对称轴是x＝2，又经过点（2，3），且与一次函数的图象交于点（0，－1），求过一次函数与二次函数的图象的另一个交点的坐标．
【解析】已知二次函数图象的对称轴为x=2，且又经过点（2，3），则二次函数图象的顶点为（2，3），设二次函数为ｙ＝；以（0，－1）代入，得a＝－1，
∴ｙ＝①
再以（0，－1）代入，得b＝1，∴y＝x－1②，
联立①，②消去y，得x2－x＝0，方程组的解为或，
所求另一个交点坐标为（1，2）
题型五由恒等式求待定系数
1．若，则A，B.
【解析】
2．已知二次函数满足＝１，－＝2x，则＝（）
A．B．C．D．
【答案】C
3．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为y＝x2－2x＋1，求该二次函数的解析式．
【解析】将y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得解析式为
y＝（x＋2）2＋b（x＋2）＋c＋3＝x2＋（b＋4）x＋2b＋c＋7.
令x2＋（b＋4）x＋2b＋c＋7＝x2－2x＋1，
题型六二次函数三种解析式的灵活运用
【方法技巧】
二次函数解析式有三种表达形式，
1.一般式：
y=ax2+bx+c；其中a≠0,a,b,c为常数
2.顶点式：
y=a（x-h）2+k；其中a≠0,a,h,k为常数，（h,k）为顶点坐标。
3.交点式：
y=a（x-x1）（x-x2）；其中a≠0,a,x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标.
每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：
（1）根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）；已知抛物线与x轴的两个交点（或与x轴的一个交点及对称轴），用两点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）；
（2）解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知直接确定某些系数；
（3）若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax2+bx+c=0（a≠0）），那么最后的结果必须写成此种形式。
1．已知抛物线与x轴交于点（－1,0），（1,0），并且与y轴交于点（0,1），则抛物线的解析式为
A．y＝－x2＋1B．y＝x2＋1C．y＝－x2－1D．y＝x2－1
【解析】由题意抛物线对称轴是y轴且开口向下，顶点（0,1）故抛物线为y＝－x2＋1.【答案】A
2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-3，0），对称轴x=-1,顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式。
解法1：
依题意，得
解得
∴即所求.
解法2:
∵抛物线对称轴x=-1,顶点到x轴的距离为2，
∴顶点（-1，±2）
设y=a（x+1）2±2,抛物线过（-3，0）,
∴0=a（-3+1）2±2.
解得-或
∴-（x+1）2+2=
或
解法3：
∵抛物线对称轴x=-1,过（-3，0）
∴由对称性知抛物线必过（1，0）
设y=a（x+3）（x-1）,抛物线过（-1，±2）
∴±2=a×2×（-2）
解得：
∴
【方法技巧】此例给出3种解法，显然解法2、解法3较简便，因为它们只需待定一个系数a,只要构造一个关于a的方程即可。
所以，对于求解二次函数解析式，要注意选择形式。
疑难解读：
a、b、c对二次函数的图象和性质的影响
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