定积分习题及答案.docx
《定积分习题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分习题及答案.docx（47页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
定积分习题及答案
（A层次）
1.
『sinxcos'xdx;
4.
1xdx
-4x
7.
10.
兀4
fxsinxdx;
13.
16.
『e2xcosxdx;
JI
19.
22.
25.
（B层次）
第五章定积分
2.
5.
8.
11.
14.
17.
J2%Jcosx-cos3xdx;
~4
-be
•0
1.求由
a
J0x2Ja2-x2dx;
0dx
^x2+2x+2
JI
J2兀4cos4xdx;
p
4Inx
ydx；
r（xsinxfdx；
20.
〕0
兀
4sinX,
4dx;
1+sinx
edx
x2VT+x2
6.
9.
12.
15.
18.
21.
1+x,dx;
1-x
23.
24.
dx
（1+x2宀“严妝-0
1dx
'4-X-1
Jl+cos2xdx;
U3.2
/XsinX,f2—dx;
vx+2x+1
1
^xarctgxdx；
e
（sin（lnxdx;
JI
『Insinxdx；
J0etdtr0COStdt=O所决定的隐函数y对x的导数
dy
dx
2.当x为何值时，函数l（x）=
x2
LteSt有极值?
dcosx_
3.一fcos（兀t2dtdx'sinx
2tix
|x+1,
4.设f（x）=<12
L2x,
「2
XA1，求U（XdX。
X2
5.
0（arctgt）dtlim1—
一说Jx2+1
6.
'1.
-sinX,f（x）T2
i0,
其它
，求w（x）=[f（tpt。
7.
1
f（xHT'
Ux,
+e
、2
求j0f（X-1dx。
8.
lim-n^n
乔+J2n十"+Jn2）。
k
、nen
9.
求lim送莎。
nYk4
n+nen
10.设f（x）是连续函数，且f（X）=x+2Lf（tdt，求f（x）。
2ln2
11.若f
dt
（6—1
JI
，求X。
6
12.证明:
-a丫
13.已知圖+a
化22x
f4xedx，求常数a。
"a
14.
设gfx2,
le,
X>0
3
求tf（x-2dx。
小。
15.
设f（X）有一个原函数为1+sin2X，求『xf'（2xdx。
16.
设f（X）=ax+bTnX，在1,3上f（x）"，求出常数a，b使ff（x）dx最
21
17.已知f（x）=e"，求J0f'（x）f"（xdx。
221
18.设f（x）=x2-xj0f（xdx+2j0f（xdx，求f（x）。
19.J0f（cosxbosx-f'（cosxSin2Xdx。
X
20.设XT0时，F（x）=Jo（x2-t2）f"（tpt的导数与X2是等价无穷小，试求
匸（0）。
（C层次）
1.设f（x）是任意的二次多项式，g（x）是某个二次多项式，已知
11,
.0f（xdx=6f（0）+4f2+f
（1），求Jag（xdxo
6LV2z」
12丿
2.设函数f（x）在闭区间a,b］上具有连续的二阶导数，则在（a,b）内存在©,
使得ff（Xdx=（b-a）f〔a+b〕+丄（b-a）3f"（E）
•aI2丿24
3.f（X）在a,b］上二次可微，且f'（x）:
>0，f"（x）:
>0o试证
f（b）+f（a）
o
b
（b-a）f（a）cJaf（XdxV（b—a}
4.设函数f（x在a,b上连续，f'（X在a,b］上存在且可积，f（a）=f（b）=0,
试证Ijb|f"（xpx（aexcb）o
5.设f（x）在0,1上连续，Lf（Xdx=0，JoXf^dx=1，求证存在一点
04o
6.设f（x河微，f（0）=0,厂（0）=1，F（x）=『fx2-t2dt，求lim¥o
・04j0X4
7.设f（x）在la,b］上连续可微，若
f（a）=f（b）=O，则
4
（b-a2
ff（Xidx兰maxf\x卜
“a■a应童■
8.设f（x）在A,b］上连续，Acalim［（x+kKxdx
kT0・a
=f（bf（a）。
9•设f（x）为奇函数，在（-叫畑）内连续且单调增加,
x
F（x）=J0（x-3t）f（tdt，
证明：
（1）F（x）为奇函数；
（2）F（x）在0,址）上单调减少。
10.设f（X）可微且积分Jo[f（X）中xf（xt）dt的结果与x无关，试求f（x）。
11.若f飞x在0,兀连续，f（0）=2,f（兀）=1，证明:
rf（X）+f"（X）]sinxdx=3。
X
12.求曲线y=（（t-1It-2）dt在点（0,0）处的切线方程。
13.设f（x）为连续函数，对任意实数a有r如sinxf（x）dx=0，求证
.兀一a
f0-X）=f（X）。
、x-y2d2y
14.设方程2x-tg（x-y）=[sectdt，求一2-dx
15.设f（x在a,b】上连续，求证：
lim丄[[f（t+h）—f（t）]dt=f（X）—f（aXacX‘a
X2J枚\
16.当x>0时，f（x）连续，且满足「）f（tdt=x，求f
（2）。
1;
Atf（Xdx<『f（Xdx，其中k十（0,1）。
X
17.设f（x）在0,1【连续且递减，证明
18.设f'（x连续，F（x）=Jof（t『（2a-1述，f（0）=0,f（a）=1，试证:
F（2a）—2F（a）=1。
19.设g（x）是a,b】上的连续函数，f（x）=Lg'tdt，试证在（a,b）内方程gUbf-^=0至少有一个根。
b-a
20.
设f（x在a,b】连续，且f（x）>0,又F（x）="（tdt+r丄dt，证明:
•abf（t）
（1）F'（X）工2
（2）F（X）=0在（a,b内有且仅有一个根。
设f（x）在0,2a]上连续，贝UJ。
f（xdx=【0〔f（x）+f（2a-X）idx。
22.
设f（x）是以兀为周期的连续函数，证明:
2兀兀
J0（sinx+x）f（xdx=J0（2x+兀f（x）dx。
23.设f（x在a,b】上正值，连续，则在a,b）内至少存在一点匕，使巴b1b
Jaf（xdx=『/（xjdx=-Lf（xdx。
-2
1xffu+1\1
24.证明JoInf（X+tdt=JqInk焙u+fjnf（uJdu。
f（u）
25.设f（X在fe,b］上连续且严格单调增加，则（a+b）ff（xdxc2fxf（xdx。
26.设f（x在a,b上可导，且f'（X）兰M,f（a）=0，则［f（x朋<^（b-a）2。
27.设f（x）处处二阶可导，且f"（x）X0，又u（t）为任一连续函数，则
1a<1a
-J0f（u（t）dt>f（jMtdtJ,（a>0）。
28.设f（X在a,b］上二阶可导，且f"（x）c0，贝UJbf（x）dx<（b-a）f
a
"a+b、
I。
I2丿
29.设f（x）在a,b】上连续，且f（x）>0，ff（xdx<0，证明在a,b】上必有
・a
f（xpO。
30.f（x）在a,b］上连续，且对任何区间fx,P］ua,b］有不等式
P
ff（Xdx兰MP-Ct
M（M
6为正常数），试证在a,b］上f（xFO。
第五章定积分
（A）
1.
兀
『sinxcofxdx
解:
原式一炉ofxdx—1cos4x
=1
04
2.
fX2Ja2-x2dx
解:
令x=asint，贝Udx=acostdt
当x=0时t=0，当x=a时t-""
2
原式=J。
2a2sin21'acostpcostdt
a4
『sin2tdt
a4
sin4t
4
解：
令X=tg0，则dx
迟
口1-co4tdt
兀4
a
16
=sec2日d日
当X=1,73时0分别为
JI
迟sec29
兀
—2
=J^sin）dsin
4
1
4-
xdx
解：
令J5—4X
=u,
1
一一u
4
2，dx=-]udu
2
1时，u=3,1
一u2du=6
dx
解：
令7X=t，dx=2tdt
当X=1时，t=1；当
X=4时，t=2
原式=J：
2吕
11+t
Ir-,dtI
V1*」1曰
=2
Ln1讪L2+2lnl
1dx
7.
解:
8.
解:
9.
解:
10.
3
当X=—,1时u
4
原式
e2
I
r0-2u
Pl
dx
原式
J-2
原式
=」1
=20
1u—1+1
du=2f2——du=1-2ln2
'0u-1
e21
'J1+lnX
dx
+2x+2
0dx
e2
dlnX=Ji
1
J1+ln
=d（1+lnx）x
e2
=2託-2
I0
T+（x+1rarctg（x讥
=arct1garc毡g1）='+
4
兀/
4』"osZxdx
原式=rJzcos2xdx=V2；0
cosXdx
=J2J2cosdx+72J；（-cosdx
=血［sinx2—si
/nxdx
解：
x4sinX为奇函数
r兀4
•'•Jxsinxdx=0
匹
11.f^4cos4xdx
"2"
兀
解：
原式=42；02cos
JI
4xdx=2J02（2cos2X了dx
JI兀
22
=2J。
2（1+cos2x）dx=2J。
2（1+2cos2x+coS2xdx
J0
=2x|2+2J,cos2xdx+J；（1+cos4xJdx
-八1
=兀+2sin2x2+—+—r2cos4xd4x
024'0
3
=—兀
2
3
=一兀+-sin4x
2
C3.2
12.J5xSinx
5
3.2
解：
…xSinx
x4
+2x2+1
为奇函数
r4+2x2+1
13.
Ik—-^dx
4Sinx
解:
原式=一J細dctgx
3.2
xSinX,cdx=0
73
5
3
丑
4
I4
+丄
2
ln3
2
-xctg^gctgxdx
I4
43\
31
9丿
dx
4f—
解：
原式=2f1InxdJx
-2|4ln2-F
1
4—
=81门2-2匚x2dx
=81n2-4
15.
1
0xarctgxdx
解:
Larctgxdx2
=1farctgx
'01+x2」
】0
1
dx
1dx
J。
右
16.
解:
兀
~8
1
一一x
2
1
+-arct
2
gx
0
JI
『e2x
原式
cosxdx
Jo
兀
2e2x
dsinx
=e2x
rx
兀
fsi
^2e2xdx
兀
+202e
2xd
cosc
兀
-2_02cosc^2e2xdx
-2x
+2ecosc
2
0
匹
一2-4f2e2xcodx
0
兀1
故『e2xcosxdx=-（e兀-2）
5
17.
J0（xsinxfdx
解:
原式
=r（xsinX2dx=J0
1—cos2x
dx
J0
dx」
J0
兀2
xcos?
xdx
J。
x2dsi
x2sii2x
J0
兀
sii2x^2xd
18.
解:
19.
解:
兀
J。
xdco2x
Uxco^x
4[I
Isin（lnxdx
I”，e
原式=xsin（inx
兀
^0co2xd
-Jxcosinx）—dx
1x
=esin1-Icosinxdx
=esin1-
Lcos（lnxb：
=esin1-ecos1+1-tsin（lnxdx
e
故tsin（lnxdx=
e
-（sin1-cos1+1）
JI
J2/cosx-cos3xdx
原式
J；jcosx（1
-cosx
dx
JI
f兀Jcox（-sitxdx+rJc
*■—-■■0
）2
dxl
ossirxdx
JI
]”|（co讨
JI
20.
1+sinX
dx
解:
原式=
■rr
4sinx（1-sinx•o1-sin2x
）dx
Jo
sitx
Vco^Sx
-tg2x
4dcos
'0
cosx
21.
解:
22.
解:
兀xsinx
•0
1+cos2x
令x=2
=JI
〕0
xln
dx
『（secx-1dx
-（tgxx怀
-t，则
」0
1+x
1-x
原式=J。
2
In
=42
兀
+—-2
—-tI
12
1+cos2
12
dt
—c0ts
1+sint
c0ts
1+si
nt
dt
dx
1+x
1-x
In
1-X
W|n3+帥
1+sint
"arc
'0
x2-1
dx
dt
1-x
1+x
23.
解:
24.
解:
Jin3r2dx
8'0
J0
1ln^1
82
丄？
ln3
28
『=dx
M+x4
原式=Jo
化1+x2
）1+x4
In
1
X—1『
X+10
化1
=2]—d
'0「1fx—-+2
VX丿
■0
牛arctg
42
JI
『Insinxdx
原式=L2|n
1
x
x
TT
f
2sin
x
+丄+1飞—dx
1,2
—+x
x
fn
x-
kX丿
-be
o+
=J2兀
x、匹
C0S2；x上2J04（ln2+|nsint+|ncostdt
=尹“2”1nsintdt+Jo4lncotedt
+兀E「兀
t=27兀I,-
2—ln2+2rlnsin
^=2p
tdt+
烧nsinudu
4
=-|n2+2r2Insindt
2y
-JI
故『Insinxdx=-yln2
-bedx
Jo（1+x2M+xr°》0）
dx
1则dx—t2dt
0
原式=f
.4=C1+t
1
-2dt
2
扫ct^dt
=」0
t2
•2;
dx
-be
dx
化x^dx
-be
（l+x2W）
■0
-he1
）1+x2
dx
（1+x2ii+疋）a+x2好+/"）
dx=arctg^x=
故r—
0（l+xpl+x。
）4
（B）
y.Xdy
1.求由J0edt+J0costdt=0所决定的隐函数y对x的导数-o
解：
将两边对x求导得
ydy
e——+cosc=0dx
.dycosx
dxey
X2
2.当x为何值时，函数l（x）=j0teddt有极值?
解:
2
I'（X）=xe^
令I1x）=0得x=0
当XA0时,
I'（X）>0
当XCO时,
I'（x）<0
•••当x=0时，函数I（X）有极小值。
dcosX
3.
一fCOS（Jlt2dto
dxEx
解:
原式=d
饥匚滋小+广®2町
drsinX2cosx21
-口cEtdt+JacEtdtJ
=-co颔sinxj（sirx）+coScoSxSco3c）
=-co（ssinCox+co（scosxj-sirx）=-co（ssinx）cos-sin=（sirx-coX）co（ssinx）
『X+1,
4-设f（X）=<12L2X,
F2
XA1'求Jof（XdX。
解:
212
5・
解:
R+xI'
12
X2
L（arctgt）dt
Jx2+1
J0（arctgtfdt
=lim-—-be
Jx3
6
lim—乂1
（aretgxf
+O^2x
人Farctg^lim
X-^-^
x』+—（arctg）x
2
4f（Xdx=J0（x+1dx+I12x2dx
4（aretgxY
p-,1.-sinX,
6.设f（x）={2
L0,
求W（x）=
其它
X
J0f（t述。
X
解：
当Xc0时，W（x）=ff（tdt=「0dt=0
•0'0
、八/UElfX11-cosx
当OS"时」xRising2
当X>兀时，申（X）=Jof（tdt=『f（tdt+J兀f（tpt=J：
!
sintdt+J兀0dt=1
0,
故S旷c°sx）当ow〃时。
b,
当x＞兀时
——,当X>0时
7.设f（x）=<
1+x
1,当Xv0时
2
jof（X—1dx。
1+ex
当X>1时
解:
f（x-1ix1
11+ex"
当X<1时
ff（x-1dx=f—dxS'尸'01+e
1+（x-1）
dx
X+ex」—ex」」o
2dx
/!
丄X」
1+e
d（x"U
1
=1-1n（1+ex°b+In2
10
=ln（1+e）
8.
lim12（7^+72n十"+Vn2）。
nYn
解:
原式=虬卜童…獻
AH
9.求limZ
ny
nen
2k。
+nen
解：
原式=lim送
nen
2k
1
1+e2x
dx
=arctgoe=a
10.设f（X）是连续函数,
1
且f（X）=x+2Jof（tdt，求f（x）。
解：
令rf（tdt=A，则f（X）=X+2A,
7
+2A
111
从而Lf（Xpx=j0（x+2Apx=2
11
即A=^+2A,A=--
22
:
.f（X）=x—1
2|n1dt
解：
令Jet-1=u,
贝Ut=1n（1+u2）,
dt=2\du
1+u2
当t=21n2时,
u=-J3
当t=X时，u=JeX_1
2In2dt严2udu
=
（；/e^秋c'F^=2arctg眼E
—arc札你X-1'）=—丿6
从而X=In2
12.证明：
V2e^
证：
考虑
丄1上的函数y=「2，则
LV2V2」
r1\
I0,屈
时，/<0
在X=0处取最大值
y=1，且y=e^在x=±—处取最小值e
42
-lx。
13.已知lim化兰〕
—垃（x+a丿
-』a
「4x2rxdx，求常数a。
^-[^xe-dx]
a「aJ
=2a2e'a
=2a2e'a
-He2x
-2!
xd歹
・a
一2（xedx
-be
a
■a
Fdx〕
=e^a
解：
左端=limU-2-〕
XKIX+a丿
右端=f（-2xed（—2x）=f-2xde
・aP#F
2_2x
=-2Xe
-（2a2+2a+1「a
•••（2a2+2a+ie
解之a=0或a=—1
14.设g」?
le,
X>0
，求
3
tf（x-2dx。
解：
令x-2=t，则
31
■1f（X—2dx=Jjedt=
0“
L（1+t
dt
15.设f（x）有一个原函数为1+sin2x,
求Pxf\2xdx
■0
解：
令2x=t，且f（X）=（1+sin2X）=sin2x
mt
「02
小。
蔦〔tdf（t）蔦[tf（t»0—厂f（t
-（1+sintfl=0
'0」
16.设f（X）=ax+bTnX，在1,3上f（x）30，求出常数a，
/[tsii2t
41
JI
0
JI
dt]
3
b使tf（x）dx最
~,33
解：
当］f（Xdx最小，即［（ax+b—InXpx最小，由f（x）=ax+b-Inx>0知,
y=ax+b在y=1nx的上方，其间所夹面积最小，则y=ax+b是y=lnx的切线,
11
，设切点为（X0,lnX0），则切线y=—（x-X0）+lnX0，故a=一X0
Xo
b=lnX）—1。
（a2+bf
X+bxI-12丿1
3
=4a-2（1+1na［Inxdx
令
升级会员 