惯性矩的计算方法与常用截面惯性矩计算公式.docx
《惯性矩的计算方法与常用截面惯性矩计算公式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《惯性矩的计算方法与常用截面惯性矩计算公式.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
惯性矩的计算方法与常用截面惯性矩计算公式
......
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
截面图形的几何性质
一.要点及难点：
（一）.截面静矩和形心
1.静矩的定义式
如图1
所示随意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对随意轴
的一次矩为它对该轴的静矩，即
y
dSy
xdA
x
dA
dSx
ydA
整个图形对y、z轴的静矩分别为
x
×C
y
Sy
xdA
A
（I-1）
0
A
y
x
Sx
ydA
A
2.形心与静矩关系
图I-1
设平面图形形心C的坐标为yC,zC
则
0
y
Sx
Sy
（I-2）
A
，x
A
推论1
假如y轴经过形心（即x
0），则静矩Sy
0；同理，假如x
轴经过形心（即y0），则静矩Sx0；反之也建立。
推论2
假如x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；假如
y轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心
设截面图形由几个面积分别为A1,A2,A3
An的简单图形构成，且一
直各族图形的形心坐标分别为
x1,y1；x2,y2；x3,y3
，则图形对y轴和x
专业word可编写
......
轴的静矩分别为
n
n
Sy
Syi
Aixi
i1
i1
（I-3
）
n
n
Sx
Sxi
Aiyi
i1
i1
截面图形的形心坐标为
nn
Aixi
Aiyi
x
i1
，
y
i1
（I-4）
n
n
Ai
Ai
i1
i1
4.静矩的特点
（1）界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴相关。
（2）静矩有的单位为m3。
（3）静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对随意形心轴的静矩必然为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必经过图形的形心。
（4）若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。
组合图形的形心地点，往常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，而后由式（I-4）求出其形心坐标。
（二）.惯性矩惯性积惯性半径
1.惯性矩
定义设随意形状的截面图形的面积为A（图I-3），则图形对O点的
极惯性矩定义为
专业word可编写
......
Ip
2dA
（I-5）
A
图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为
Iy
x2dA，
Ix
y2dA
（I-6）
A
A
惯性矩的特点
（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一
坐标轴定义的。
（2）极惯性矩和轴惯性矩的单位为m4。
（3）极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正当。
（4）图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标
原点的随意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即
Ip2dA（x2y2）dAIyIx（I-7）
AA
（5）组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，
分别等于各族纷繁图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之
和，即
nnn
IIi，IyIyi，IxIxi（I-8）
i1i1i1
y
x1
C1
A1
y
x2
C2
x
dA
A2
y
xn
Cn
Any1
0
x
0
yn
y2
x
图I-2
图I-3
专业word可编写
......
2.惯性积
定义设随意形状的截面图形的面积为A（图I-3），则图形对y轴
和x轴的惯性积定义为
Ixy
xydA
（I-9）
A
惯性积的特点
（1）界面图形的惯性积是对互相垂直的某一对坐标轴定义的。
（2）惯性积的单位为m4。
（3）惯性积的数值可正可负，也可能等于零。
若一对坐标周中
有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必
等于零。
但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐
标轴重且不必定有图形的对称轴。
（4）组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同
一坐标轴的惯性积之和，即
n
IxyIxyi（I-10）
i1
3.惯性半径
定义：
随意形状的截面图形的面积为A（图I-3）,则图形对y轴和
x轴的惯性半径分别定义为
iy
Iy
Ix
（I-11
）
，ix
A
A
惯性半径的特点
（1）惯性半径是对某一坐标轴定义的。
（2）惯性半径的单位为m。
专业word可编写
......
（3）惯性半径的数值恒取证之。
（三）.惯性矩和惯性积的平行移轴公式
平行移轴公式
Ix
IxC
a2A
（I-12）
Iy
IyC
b2A
Ixy
IxCyCabA
（I-13）
平行移轴公式的特点
（1）意形状界面光图形的面积为A（图（I-4）；xC，yC轴为图形的
形心轴；x，y轴为分别与xC，yC形心轴相距为a和b的平行轴。
（2）两对平行轴之间的距离a和b的正负，可随意选用坐标轴x，y
或形心xC，yC为参照轴加以确立。
（3）在全部互相平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不必定是最小。
专业word可编写
......
y
yC
dA
b
CxC
a
0x
图I-4
（四）、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯性矩
转轴公式
Ix
Ix
Iy
Ix
Iycos2
Ixysin2
1
2
2
Iy1
Ix
Iy
Ix
Iy
Ixysin2
2
2
cos2
Ixy
1
Ix
Iy
sin2
Ixycos2
1
2
转轴公式的特点
（1）角度的正负号，从原坐标轴x,y转至新坐标轴x1,y1，以逆时针转向者为正（图5）。
（2）原点O为截面图形平面内的随意点，转轴公式与图形的形心没关。
专业word可编写
......
（3）图形对经过同一坐标原点随意一对互相垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即
IxIyIx1Iy1IP
主惯性轴、主惯性矩随意形状截面图形对以某一点O为坐标原点的坐
标轴x0、y0的惯性积为零（Ix0y00），则坐标轴x0、y0称为图形通
过点O的主惯性轴（图6）。
截面图形对主惯性轴的惯性矩Ix0,Iy0，称
为主惯性矩。
主惯性轴、主惯性矩确实定
（1）关于某一点O，若能找到经过点O的图形的对称轴，则以点O为坐标原点，并包括对称轴的一队坐标轴，即为图形经过点O的一对主惯性轴。
关于拥有对称轴的图形（或组合图形），常常已知其经过自己形心轴的惯性矩。
于是，图形对经过点o的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。
（2）若经过某一点o没有图形的对称轴，则能够点o为坐标原点，任作一坐标轴x，y为参照轴，并求出图形对参照轴x，y的惯性矩Ix,Iy和惯性积Ixy。
于是，图形经过点o的一对主惯性轴方
位及主惯性矩分别为
tan2
2Ixy
（I-16）
0
Iy
Ix
Ix0
IxIy
Ix
Iy
2
Ixy
2
（I-17）
Iy0
2
2
主惯性轴、主惯性矩的特点
专业word可编写
......
（1）图形经过某一点O起码拥有一对主惯性轴，而主惯性形势图形对经过同一点O全部轴的惯性矩中最大和最小。
（2）主惯性轴的方向角0，从参照轴x，y量起，以逆时针转向为正。
（3）若图形对一点o为坐标原点的两主惯性矩相等，则经过点o的全部轴均为主惯性轴，且全部主惯性矩都同样。
（4）以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴，称为形心主惯性轴。
图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。
y
y
y1
x1
y0
x0
0
x
0
x
A
0
图I-5图I-6
二.典型例题剖析
例I-a试计算图示三角形截面关于与其底边重合的x轴的静矩。
解：
计算此截面关于x轴的静矩x
时，能够去平行于x
轴的狭长条
（见图）作为面
S
积元素（因其上各点的y坐标相等），即dA
b（y）dy。
由相像三角形关系，可
专业word可编写
......
知:
b（y）
b
（h
h
Sx
ydA
A
y）,所以有dA
b
（hy）dy。
将其代入公式（I-1）的第二式，即得
h
hb
h
bh2
bh2
（hy）dy
bydy
y
dy
0h
0
h0
6
y
dy
h
b（y）
y
0x
b
例题I-a图
解题指导：
本题为积分法求图形对坐标轴的静矩。
例I-2试确立图示Ⅰ-b截面形心C的地点
解：
将截面分为?
、П两个矩形。
为计算方便，取x轴和y轴分别与界面的底边
和左侧沿重合（见图）。
先计算每一个矩形的面积
Ai和形心坐标（xi,yi）如
下：
专业word可编写
......
矩形?
A
10
120
1200mm2
x
10
5mm
，y
120
60mm
2
2
矩形П
A
10
70
700mm2
x
10
70
45mm，y
10
5mm
2
2
将其代入公式（I-4），即得截面形心C的坐标为
Ax
A
x
37500
x
A
20mm
A
1900
Ay
A
y
75500
y
A
40mm
A
1900
解题指导：
本题是将不规则图形区分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形
心，计算不规则图形的形心。
y10
?
Ⅱ
120
10
·x
y
·
xx
80
专业word可编写
......
图Ⅰ-b
例I-3试求图I-c所示截面关于对称轴x轴的惯性矩Ix
解：
此截面能够看作有一个矩形和两个半圆形构成。
设矩形关于x轴的惯性矩
为Ix，每一个半圆形关于x轴的惯性矩为Ix，则由公式（I-11）的第一式可知，所给截面的惯性矩：
IxIx2Ix
（1）
矩形关于x轴的惯性矩为：
Ix
d（2a）3
802003
5330104mm4
（2）
12
12
半圆形关于x轴的惯性矩能够利用平行移轴公式求得。
为此，先求出每个半圆
形关于与x轴平行的形心轴xC（图b）的惯性矩IxC。
已知半圆形关于其底边的
惯性矩为圆形对其直径轴
x（图b）的惯性据之半，即Ix
d4
。
而半圆形的
128
面积为
A
d2
，其形心究竟边的距离为
2d（图b）。
故由平行移轴公式
8
3
（I-10a），能够求出每个半圆形对其自己形心轴
xC的惯性矩为：
IxC
Ix
（2d）2A
d4
（2d）2d2
（3）
3
128
3
8
由图a可知，半圆形形心到x轴距离为a
2d，故在由平行移轴公式，求得每个
3
半圆形关于x轴的惯性矩为：
Ix
IxC
（a
2d）2A
d4
（2d）2d2
（a
2d）2d2
3
128
3
8
3
8
d2
（d2
a2
2ad）
4
32
2
3a
将d=80mm、a=100mm（图a）代入式（4），即得
专业word可编写
......
Ix
（80）2
（802
1002
2
10080）
3460
104mm4
4
32
2
3
将求得的Ix和Ix
代入式
（1），便得
Ix
5330
104
2
3460
104
12250
104mm4
解题指导：
本题是将不规则图形区分为若干个规则图形
，利用已有的规则图形的面积
、
形心及对自己形心轴的惯性矩，联合平行移轴公式计算组合截面图形对组合
截面形心的惯性矩。
图I-c
40
a=100
2d
a
3
2d
x
x
3
图I-c
40
d=80
xc
专业word可编写
......
100d
专业word可编写
......
常用截面惯性矩计算公式
专业word可编写
......
专业word可编写
......
专业word可编写
......
专业word可编写
升级会员 