杆件的应变能及其应用分析.docx

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杆件的应变能及其应用分析

第十四章杆件的应变能及其应用

一、教学目标和教学内容

1．教学目标

让学生掌握杆件弹性应变能的有关概念。

理解和掌握在工程力学有广泛应用的能量方法。

掌握功能原理、功的互等定理、位移互等定理、卡氏定理。

能够熟练地计算基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能。

对于简单结构应变能，也能够完成应变能的计算。

能够较为熟练地应用卡氏第二定理，完成杆件的位移计算，并可以求解简单超静定问题。

为进一步在结构力学等后续课程中，学习和应用能量方法奠定基础。

2．教学内容

介绍能量法的有关概念。

例如，外力的功、应变能、比能等等。

介绍基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算。

讲解功能原理、功的互等定理和位移互等定理。

讲解余能概念和卡氏定理。

二、重点难点

重点：

建立应变能等有关概念。

基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能的计算。

卡氏第二定理及其应用。

难点：

杆件应变能计算中的可否叠加问题。

对于广义力和相应广义位移的正确理解和认识。

应用卡氏第二定理求位移时，如何正确地选取或设定与位移相应的广义力。

能否正确写出内力方程，灵活地进行先求偏导数再积分的运算。

三、教学方式

采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

四、建议学时

6学时

五、讲课提纲

1、弹性应变能与功能原理

弹性体在荷载作用下将发生变形，外力作用点要产生位移．因此，在弹性体的变形过程中，外力沿其作用方向做了功，称为外力功。

对于弹性体，因为变形是可逆的，外力功将以一种能量形式积蓄在弹性体内部。

当将荷载逐渐卸除时，该能量又将重新释放出来作功，使弹性体恢复到变形前的形状。

例如钟表里的发条在被拧紧的过程中，发生了弹性变形而积蓄了能量，在它放松的过程中可带动指针转动，从而发条就作了功。

弹性体伴随弹性变形积蓄了能量，从而具有对外界作功的潜在能力，通常把这种形式的能量称为弹性应变能（Dlasticstrainenergy）或弹性变形能（Dlasticdeformationenergy），用表示。

根据物理学中的功能原理，积蓄在弹性体内的应变能及能量损耗在数值上应等于荷载所作的功，即

如果在加载过程中动能及其它形式的能量损耗不计，应有

（14.1）

利用上述的这种功能概念解决固体力学问题的方法统称为能量法，相应的基本原理统称为功能原理（Principleforworkandenergy）。

弹性体的功能原理的应用非常广泛，它是目前在工程中得到广泛应用的有限单元法的重要理论基础。

2、杆件的应变能计算

如前所述，若外力在加载过程中所作的功全部以应变能的形式积蓄在弹性体内，即在加载和卸载的过程中能量没有任何损失，则只要得到加载过程中外力功的数值，弹性体应变能的数值也就可以计算出来，所以说外力功是应变能的一种度量。

2.1外力功的计算

外力作功分为以下两种情况。

一种情况为常力作功。

这里所谓常力，是指工程动力学中，作用在不变形的刚体上使刚体产生运动的力。

当外力在作功过程中保持不变时，它所作的功等于外力与其相应位移的乘积。

例如，在沿外力方向线上有线位移，则

另一种情况为静荷载作功。

所谓静荷载，是指构件所承受的荷载从零开始缓慢地增加到最终值，然后不随时间改变。

所以静荷载的施加过程均为变力。

静荷载作功，可以解释为在其施加过程中的一种变力作功。

例如图14.1所示的简单受拉杆，拉力由零逐渐增加到定值，由产生的伸长变形由零逐渐增加到，这就是拉力的作用点的位移。

如果材料服从胡克定律，则外力与位移成线性关系（图14.2）。

设表示加载过程中拉力的一个值，相应的位移为，此时将拉力增加一微量，使其产生相应的位移增量，这时，已经作用在杆上的拉力将在该位移增量上作全功，其值为

（14.2）

图14.1

在上式中略去了在上作的功，这部分功为二阶微量。

在图14.2中以阴影面积来表示。

拉力从零增加到的整个加载过程中所作的总功则为这种单元面积的总和，也就是的面积，即

上述积分是与静荷载施加过程有关的积分，可以称为静荷载作功的过程积分。

积分结果的系数1/2，既是已经完成过程积分的标志，又表示构件材料为线性弹性材料。

将以上的分析推广到其它的受力情况，因而静荷载下外力功的计算式可写为

（14.3）

图14.2

式中的是广义力，它可以是集中力或集中力偶；是与广义力相对应的位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。

上式表明，当外力是由零逐渐增加的变力时，在符合胡克定律的范围内，外力在其相应位移上所作的功，等于外力最终值与相应位移最终值乘积的一半。

2.2杆件的应变能计算

2.2.1应变能的有关概念

按照功能原理，应变能可以由计算外力的功得到，这是应变能的一种计算方法。

同时，也表明线弹性材料杆件的应变能，在完成了过程积分，也始终具有1/2系数。

应变能和外力的功，它们在杆件受力变形过程中的积累，也可以由荷载伸长图和应力应变图（见图14.2）考察到。

2.2.2杆件的应变能计算

2.2.2.1杆件在各种基本变形时应变能的计算

如前所述，应变能是根据能量守衡原理通过外力功来计算的。

以下我们讨论的均为静荷载问题，动能和其他能量的损耗不计。

1.轴向拉伸或压缩杆的应变能及比能

当拉（压）杆的变形处于线弹性范围内时，外力所作的功为

则杆内的应变能为

由图14.1知，杆件任一横截面上的轴力

考虑到胡克定律有

所以，拉（压）杆的应变能为

（14.4）

或（14.4）

若外力较复杂，轴力沿杆轴线为变量，可以先计算长度为微段内的应变能，再按积分的方法计算整个杆件的应变能，即

=

（14.5）

为了对构件的弹性变形能有更全面的了解，我们不但要知道整个构件所能积蓄的应变

能，而且要知道杆的单位体积内所能积蓄的应变能。

对于承受均匀拉力的杆（图14.1），杆内各部分的受力和变形情况相同，所以每单位体积内积蓄的应变能相等，可用杆的应变能除以杆的体积来计算。

这种单位体积内的应变能，称为应变比能（Densityofstrainenergy），简称比能，并用表示，于是

=

可见应变比能的数值也可以用~图中的面积来表示（图14.2）。

根据胡克定律，比能又可以写成下列形式

（14.6）

2．剪切变形时的应变能及比能

为了分析的方便，从受剪切杆中截取如图14.3所示的单元体，该单元体处于纯剪切应力状态，假想其在一个面（如左侧面）上被固定起来，则在剪应力由零逐渐增加到值的过程中，单元体将发生如图所示的变形，与此对应的剪应变由零增加到值，其右侧面向下的位移为。

当材料在线弹性范围内工作时，其与成正比（图14.3），与图14.2、中所示受拉杆的相应图形类似。

所以，单元体各表面上的剪力在单元体变形过程中所作的功为

上式中，作功的力是单元体右侧面上的剪力。

由于剪应变很小，其余各面上的剪力，在其作用方向上没有位移，都没有在其作用方向上作功。

故单元体内积蓄的应变能为

图14.3

单元体内积蓄的应变比能则为

这表明，等于~直线下的面积。

由剪切胡克定律，比能又可以写成下列形式

（14.7）

3.圆轴扭转时的应变能及比能

如图14.4所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值，则在线弹性范围内，相对扭转角与扭转力偶矩间的关系是一条直线（图14.4）。

与轴向拉伸杆件相似，扭转圆轴的应变能应为

图14.4

由于圆轴横截面上的扭矩，且

所以，受扭圆轴的应变能为

（14.8）

实际上，受扭圆轴中各点的应力状态均为纯剪切应力状态，因而可以直接采用公式（14.7），求积分即得杆件的应变能。

因为剪应力，所以

当扭矩沿轴线为变量时，上式变为

（14.9）

可见利用比能计算全杆内积蓄的应变能应用范围更广，该方法适用于杆各横截面上内力变化（相应横截面上各点处的应力也不同）的情况。

4.弯曲变形时的应变能及比能

（1）纯弯曲梁

设如图14.5所示的简支梁在两端的纵向对称平面内受到外力偶作用而发生纯

弯曲，在加载过程中，梁的各横截面上的弯矩均有=，故梁在线弹性范围内工作时，其轴线弯曲成为一段圆弧（图14.5），两端横截面有相对的转动，其夹角为

图14.5

且

故

与前面的情况相似，在线弹性范围内，当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到时，梁两端截面上相对转动产生的夹角也从零逐渐增加到，与的关系也是斜直线（图14.5），所以杆件纯弯曲变形时的应变能为

（14.10）

（2）横力弯曲梁

在工程实际中，最常遇到的是受横力弯曲的梁（如图14.6所示）。

这时，梁横截面上同时有剪力和弯矩，所以梁的应变能应包括两部分：

弯曲应变能和剪切应变能。

由于剪力和弯矩通常均随着截面位置的不同而变化，都是的函数，因此，计算梁的应变能应从分析梁上长为的微段开始（图14.6）。

在弯矩的作用下，微段产生弯曲变形，两端横截面有相对的转动（图14.6）；在剪力的作用下，微段产生剪切变形，两端横截面有相对的错动（图14.6）。

由于在小变形的情况下，弯曲正应力不会引起剪应变，剪应力也不会引起线应变，或者说，由弯矩产生的位移与由剪力产生的位移互相垂直，因此，可以先分别计算出弯矩和剪力在各自相应的变形位移上所作的功，然后根据叠加原理将它们叠加起来。

但由于在工程中常用的梁往往为细长梁，与剪应力对应的剪切应变能，比与弯矩对应的弯曲应变能小得多，可以不计，所以只需要计算弯曲应变能。

图14.6

微段梁左右两端横截面上的弯矩应分别为和。

在计算其应变能时，弯矩增量所作的功为二阶微量，可忽略不计，因此可将该微段看作是纯弯曲的情况。

应用式（14.10）可求得微段的弯曲应变能

全梁的弯曲应变能则可积分上式得到

（14.11）

如果梁中各段内的弯矩由不同的函数表示，上列积分应分段进行，然后再求其总和。

由以上各种变形形式下应变能的计算式可以看出，应变能是力的二次函数，也是变形的二次函数。

当构件同时受几个力（或力偶）作用时，能否用叠加原理求应变能？

2.2.2.2复杂受力情况下应变能的计算

1．有关应变能的两个重要概念。

（1）是否可以应用叠加原理计算应变能。

下面以图14.7所示的拉杆为例加以说明。

拉杆在、同时作用下的应变能为

（14.12）

而当、单独作用时（图14.7、），杆的应变能分别为

图14.7

和

显然

可见对图14.7所示的情况不能用叠加原理计算应变能。

其原因是这些荷载所作的功是互相影响的，即荷载除在其自身引起的位移上作功外，在其它荷载引起的位移上也要作功，所以不能将各荷载单独分析再进行叠加。

这样的荷载称为属于同类型荷载。

例如若先将作用在拉杆上，杆件有伸长，则所作的功为

在不卸除的情况下，再施加，杆件又伸长了，故变力、常力所作的功为

和

则整个加载过程外力所作的功为

将上式转化为应变能则同样得到式（14.12）。

其中就是两力所作功互相影响的结果。

（2）应变能是否与加载次序及过程有关。

对于上述的拉杆，若先施加再施加，通过类似的计算可以证明，杆件内积蓄的应变能与上述分析结果一样，当然也与、同时作用时一样。

可见，积蓄在弹性体内的弹性应变能只决定于弹性体变形的最终状态，或者说只决定于作用在弹性体上的荷载和位移的最终值，与加载的先后次序无关。

2．组合变形时的应变能

如果作用在杆件上的某一荷载作用方向上，其它荷载均不在该荷载方向上引起位移，则前一荷载与其它荷载将属于不同荷载类型，则仍可应用叠加原理计算应变能