1同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系可概括为平方关系商数关系和倒数关系如考虑sinαco.docx

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1同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系可概括为平方关系商数关系和倒数关系如考虑sinαco

1、同角三角函数基本关系式，同角三角函数基本关系可概括为平方关系，商数关系和倒数关系，如考虑sinα，cosα，tanα，cotα与secα，cscα六个函数，还可借助如下图表形象记忆：

（1）对角线上两个函数的积为1（倒数关系）

（2）任一顶点的函数等于与其相邻两个顶点的函数的积（商数关系）

（3）阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方（平方关系）

由此图可得出公式的变形形式或其他同角函数关系式如：

等.，1＋tan2α=sec2α，1＋cot2α=csc2α，sinαcscα=1，cosα·secα=1倒数关系:

商的关系：

平方关系：

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α

（六边形记忆法：

图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”）

诱导公式（口诀:

奇变偶不变，符号看象限。

）

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

（其中k∈Z）

两角和与差的三角函数公式万能公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ

2tan（α/2）

sinα＝——————

1＋tan2（α/2）

1－tan2（α/2）

cosα＝——————

1＋tan2（α/2）

2tan（α/2）

tanα＝——————

1－tan2（α/2）

半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin———·cos———

22

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos———·sin———

22

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos———·cos———

22

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin———·sin———

221sinα·cosβ＝---[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21

cosα·sinβ＝---[sin（α＋β）－sin（α－β）]21

cosα·cosβ＝---[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21

sinα·sinβ＝—---[cos（α＋β）－cos（α－β）]2公式分类公式表达式

乘法与因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√（b2-4ac）/2a-b-b+√（b2-4ac）/2a

根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：

xx定理

判别式b2-4a=0注：

方程有相等的两实根

b2-4ac>0注：

方程有一个实根

b2-4ac<0注：

方程有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA

cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB

tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）

ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA）ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA）

倍角公式tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式sin（A/2）=√（（1-cosA）/2）sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2）

cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=-√（（1+cosA）/2）

tan（A/2）=√（（1-cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-√（（1-cosA）/（（1+cosA））

ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1-cosA））ctg（A/2）=-√（（1+cosA）/（（1-cosA））

和差化积2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）

2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）

sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）

tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB

ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB-ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB

某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/21+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n22+4+6+8+10+12+14+…+（2n）=n（n+1）12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：

其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：

角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2注：

（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：

D2+E2-4F>0

抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h

正棱锥侧面积正棱台侧面积

圆台侧面积球的表面积S=4pi*r2

圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积

弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式

锥体体积公式圆锥体体积公式

斜棱柱体积V=S'L注：

其中,S'是直截面面积，L是侧棱长

柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h

1.万能公式

令tan（a/2）=t

sina=2t/（1+t^2）

cosa=（1-t^2）/（1+t^2）

tana=2t/（1-t^2）

2.辅助角公式

tanr=b/a

3.三倍角公式

sin（3a）=3sina-4（sina）^3

cos（3a）=4（cosa）^3-3cosa

tan（3a）=[3tana-（tana）^3]/[1-3（tana^2）]

4.积化和差

sina*cosb=[sin（a+b）+sin（a-b）]/2

cosa*sinb=[sin（a+b）-sin（a-b）]/2

cosa*cosb=[cos（a+b）+cos（a-b）]/2

sina*sinb=-[cos（a+b）-cos（a-b）]/2

5.积化和差

sina+sinb=2sin[（a+b）/2]cos[（a-b）/2]

sina-sinb=2sin[（a-b）/2]cos[（a+b）/2]

cosa+cosb=2cos[（a+b）/2]cos[（a-b）/2]

cosa-cosb=-2sin[（a+b）/2]sin[（a-b）/2]

概念性质，系统掌握。

｛an｝是等差数列an－an-1＝d（n≥2，n∈N+d为同一常数）。

从逻辑的角度看上述命题是一个“且”命题,即：

a2－a1＝a3－a2＝„＝an－an-1＝d（n个等号同时成立），如：

1，3，a，b，c是等差数列,则a＝5且b＝7且c＝9；1，3，a，7，c不是等差数列则a≠5或c≠9。

此外｛an｝是等差数列an＝pn＋q（p、q为常数，n∈N+以下脚马同）2an+1＝an＋an+2Sn＝An2＋Bn（

A、B为常数）；｛an｝,｛bn｝为等差数列｛pan＋qbn｝为等差数列（p、q为常数）

通项公式：

an＝a1＋（n－1）d以及求和公式：

Sn＝（a1＋an）n／

2、Sn＝na1＋n（n－1）d／2＝dn2／2＋（a1－d/2）n＝An2＋Bn，不仅要理解公式的内涵、能熟练运用，而且要从公式的推导过程中获取规律性的思维方法。

2．通法通则，烂熟于胸

通项、求和公式中涉及五个量（a

1、d、an、n、Sn）通过解方程“知三可以求二”，事实上很多问题通过转化为a

1、d便迎刃而解。

a

1、d是等差数列的两个基本量。

例1：

在等差数列｛an｝中,ap＝q,aq＝p,求a（p+q）？

解：

依题意得：

a1＋（p－1）d＝qd＝－1

a1＋（q－1）d＝p∴a1＝p＋q－1∴a（p+q）＝0

3．交汇函数，认清本质

（1）an＝f（n）＝pn＋q图象是直线上的离散点集，两条件（如a5，a10）等差数列即可确定。

（2）Sn＝dn2／2＋（a1－d/2）n的图象（d≠0时）是过原点的抛物线上的离散点集，由于过（0，0），只要给出两个条件（如S

5、，S10）就可确定等差数列。

例2：

等差数列｛an｝中，3a5＝7a10且a1＜0，则前n项和Sn最小的是（）？

（A）S7或S8（B）S13（C）S12（D）S15

解：

3（a1＋4d）＝7（an＋9d）∴d＝（-4a1）/51＞0

Sn＝（-2a1）＋（53a1n）/51

对称轴＝＝13.25∵|13-13.25|＜|14-13.25|∴S13最小

4．技巧方法，广泛迁移

优良的思维品质表现为能用最明确最简单的方式，了解和解决问题。

首先，减少运算量，掌握下列公式十分有益：

（1）an＝am＋（n－m）d

（2）若m＋n＝p＋q则an＋am＝ap＋aq

（3）2am＝a1＋a2m－1

（4）Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列

例3:

｛an｝是等差数列，S11＝33，则a6＝？

若a6＝3，则S11＝？

解：

S11＝3311（a11＋a1）／2＝33a11＋a1＝62a6＝6a6＝3

此外，还有思想方法的迁移,在公式的推导过程中隐含着下列思维方法：

累差法倒序相加法迭代法

a2－a1＝da3－a2＝d„„+）an－an-1＝dan－a1＝（n-1）dSn＝a1＋a2＋„＋an-1＋anSn＝an＋an-1＋„＋a2＋a12Sn＝n〔（a1＋an）＋„＋（an＋a1）〕Sn＝n（a1＋an）／2an＝an-1＋d＝an-2＋2d＝an-3＋3d„„＝a1＋（n-1）d

例4：

已知数列｛an｝的首项a1＝0，an+1＝an＋（2n+1）求｛an｝的通项公式。

解：

∵a2－a1＝2×1＋1＝3，a3－a2＝2×2＋1＝5，a4－a3＝2×3＋1＝7，„，an－an-1＝2×（n－1）＋1＝2n－1∴an－a1＝n2－1又∵a1＝0∴an＝n2－1

此数列虽不是等差数列，但相邻两项的差却是等差数列（奇数列）,类比等差数列求和时使用的累差法便可求出通项公式。