大一下高数下册知识点.docx
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大一下高数下册知识点
高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
（一）向量线性运算
定理1：
设向量a≠0，则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数λ，使
b＝λa
1、线性运算：
加减法、数乘；
2、空间直角坐标系：
坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
3、利用坐标做向量的运算：
设a
（ax
ay,az），b
（b,b,b）；
xyz
则ab（axbx,ay
by,az
bz）,
a（ax,ay,az）；
4、向量的模、方向角、投影：
1）向量的模：
r
x2
y2
z2
；
2）两点间的距离公式：
AB
（x2
x1）2
（y2
y1）2
（z2
z1）2
3）方向角：
非零向量与三个坐标轴的正向的夹角
4）方向余弦：
cos
x,cos
y,cos
z
r
r
r
cos2cos2cos21
5）投影：
Prjuaacos，其中为向量a与u的夹角。
（二）数量积，向量积
1、数量积：
ababcos
1）
aaa
2
2）
abab0
abaxbx
aybyazbz
2、向量积：
c
a
b
大小：
a
bsin
，方向：
a,b,c符合右手规则
）
a
0
1a
2）a//b
a
b
0
i
j
k
ab
ax
ay
az
bx
by
bz
运算律：
反交换律baab
（三）曲面及其方程
1、曲面方程的概念：
S:
f（x,y,z）0
2、旋转曲面：
yoz面上曲线C:
f（y,z）
0，
绕y轴旋转一周：
f（y,
x2
z2）
0
绕z轴旋转一周：
f（
x2
y2,z）
0
3、柱面：
F（x,y）0表示母线平行于z轴，准线为
F（x,y）0
的柱面
z0
4、二次曲面
x
2
y
1）椭圆锥面：
a
2
b
2
2z2
x2
y2
z
2
1
2）椭球面：
a2
b2
c2
x2
y2
z
2
1
旋转椭球面：
a2
a2
c2
x2
y2
z
2
1
3）单叶双曲面：
a2
b2
c2
x2
y2
z
2
1
4）双叶双曲面：
a2
b2
c2
x2
y2
z
5）椭圆抛物面：
a2
b2
x
6）双曲抛物面（马鞍面）：
a
2
y
2
z
2
b2
x2
y2
1
7）椭圆柱面：
a2
b2
x2
y2
1
8）双曲柱面：
a2
b2
9）抛物柱面：
x2
ay
（四）空间曲线及其方程
F（x,y,z）0
1、一般方程：
G（x,y,z）0
x
x（t）
x
acos
t
2、参数方程：
y
y（t），如螺旋线：
y
asin
t
z
z（t）
z
bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
F（x,y,z）
0
H（x,y）0
G（x,y,z）
，消去z，得到曲线在面
xoy上的投影
0
z0
（五）平面及其方程
1、点法式方程：
A（x
x0）B（y
y0）C（zz0）0
法向量：
n（A,B,C），过点（x0,y0,z0）
、一般式方程：
Ax
ByCzD
0
2
x
y
z
1
截距式方程：
a
b
c
3、两平面的夹角：
n1
（A1,B1,C1），n2
（A2,B2,C2），
cos
A1A2
B1B2C1C2
A2
B2
C2
A2
B2
C2
1
1
1
2
2
2
1
2
A1A2
B1B2
C1C2
0
1//
A1
B1
C1
2
A2
B2
C2
4、点P0（x0
y0,z0）到平面Ax
By
CzD0的距离：
d
Ax0By0Cz0D
A2B2C2
（六）空间直线及其方程
A1xB1yC1zD1
0
1、一般式方程：
0
A2xB2yC2zD2
2、对称式（点向式）方程：
xx0
yy0
zz0
m
n
p
方向向量：
s（m,n,p），过点（x0,y0,z0）
x
x0
mt
3、参数式方程：
y
y0
nt
z
z0
pt
4、两直线的夹角：
s1
（m1,n1,p1），s2
（m2,n2,p2），
cos
m1m2
n1n2
p1p2
n2
p2
m
n2
p2
m2
2
1
1
1
2
2
2
L1
L2
m1m2
n1n2p1p20
L1
//L2
m1
n1
p1
m2
n2
p2
5、直线与平面的夹角：
直线与它在平面上的投影的夹角，
AmBnCp
sin
A2B2C2m2n2p2
L//AmBnCp0
L
ABC
mnp
第九章多元函数微分法及其应用
（一）基本概念
1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，
闭区域，有界集，无界集。
2、多元函数：
（1）定义：
设n维空间内的点集D是R2的一个非空子集，称映
射f：
D→R为定义在D上的n元函数。
当n≥2时，称为多元函数。
记为U=f（x1，x2，，xn），（x1，x2，，xn）∈D。
3、二次函数的几何意义：
由点集D所形成的一张曲面。
如z=ax+by+c的图形
为一张平面，而z=x2+y2的图形是旋转抛物线。
4、极限：
（1）定义：
设二元函数f（p）=f（x,y）的定义域D,p0（x0,y0）是D的聚
点D,如果存在函数A对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点p（x,y）∈D∩∪（p0,δ）时,都有Ⅰf（p）-AⅠ=Ⅰf（x,y）-AⅠ﹤ε成立,那么就称常数A
为函数f（x,y）当（x,y）→（x0,y0）时的极限，记作
limf（x,y）A
（x,y）（x0,y0）
多元函数的连续性与不连续的定义
5、有界闭合区域上二元连续函数的性质：
（1）在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；
（2）在有界区域
D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
6、偏导数：
设有二元函数z=f（x,y），点（x0,y0）是其定义域D内一点。
把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f（x,y）有增量（称为对x/y的偏增量）如果△z与△x/△y之比当△x→0/△y→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f（x,y）在（x0,y0）处对x/y的偏导数记作
fx（x0,y0）
lim
f（x0
x,y0）
f（x0,y0）
x
x0
fy（x0,y0）
lim
f（x0,y0
y）
f（x0,y0）
0
y
y
7、混合偏导数定理：
如果函数的两个二姐混合偏导数
fxy（x,y）
和fyx（x,y）在D
内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。
、方向导数：
f
f
cos
f
cos
其中,
为
l
的方向角。
8
l
x
y
9、全微分：
如果函数z=f（x,
y）
在（x,
y）处的全增量△z=f（x
△x，y△y）-f（x,y）
可以表示为△z=A△x+B△y+o（ρ），其中A、B不依赖于△x,
△y，仅与x,y有关，
当Ρ→0，此时称函数z=f（x,y）
在点（x，y）处可微分，A△x+B△y称为函数
z=f（x,y）
在点（x,y）
处的全微分，记为
dz
zdx
zdy
x
y
（二）性质
1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
1
2
偏导数连续
函数可微
偏导数存在
充分条件
必要条件
4
定义
2
3
函数连续
微分法
1）定义：
2）复合函数求导：
链式法则
ux
z
若zf（u,v）,uu（x,y）,vv（x,y），则
zzuzvzzuzv
xuxvx，yuyvy
3）隐函数求导：
两边求偏导，然后解方程（组）
（三）应用
1、极值
1）无条件极值：
求函数zf（x,y）的极值
vy
fx
0
解方程组
fy
0
求出所有驻点，对于每一个驻点
（x0,y0），令
Afxx（x0,y0），B
fxy（x0,y0），Cfyy（x0,y0），
①若AC
B2
0
，A
0，函数有极小值，
若AC
B2
0，A
0，函数有极大值；
②若AC
B2
0
，函数没有极值；
③若AC
B2
0
，不定。
2）条件极值：
求函数zf（x,y）在条件（x,y）
0下的极值
令：
L（x,y）
f（x,y）
（x,y）
———Lagrange函数
Lx
0
解方程组
Ly
0
（x,y）0
2、几何应用
1）曲线的切线与法平面
x
x（t）
曲线
:
y
y（t），则
上一点M（x0,y0,z0）（对应参数为t0）处的
z
z（t）
xx0
y
y0
zz0
切线方程为：
x（t0）
y（t0）
z（t0）
法平面方程为：
x（t0）（x
x0）
y（t0）（y
y0）z（t0）（zz0）0
2）曲面的切平面与法线
曲面:
F（x,y,z）
0
，则
上一点M（x0,y0,z0）处的切平面方程为：
Fx（x0,y0,z0）（xx0）Fy（x0,y0,z0）（yy0）Fz（x0,y0,z0）（zz0）0
x
x0
yy0
zz0
法线方程为：
Fx（x0,y0,z0）Fy（x0,y0,z0）Fz（x0,y0,z0）
第十章
重积分
（一）二重积分
n
1、定义：
f（x,y）d
limf（
k
k
）
k
D
0
k1
2、性质：
（6条）
3、几何意义：
曲顶柱体的体积。
4、计算：
1）直角坐标
D
（x,y）1（x）
y
2（x）
，
a
x
b
f（x,y）dxdy
b
2（x）
dx
f（x,y）dy
D
a
1（x）
D
（x,y）
1（y）
x
2（y）
c
y
d
，
d2（y）
f（x,y）dxdydyf（x,y）dx
c1（y）
D
2）极坐标
D（,）
1（）
2（）
2（）
f（x,y）dxdydf（cos,sin）d
1（）
D
（二）三重积分
n
1、定义：
f（x,y,z）dv
limf（k,
k,k）vk
0
k1
2、性质：
3、计算：
1）直角坐标
f（x,y,z）dv
dxdy
z2（x,y）
f（x,y,z）dz
z1（x,y）
-------------
“先一后二”
D
b
dz
f（x,y,z）dxdy
f（x,y,z）dv
-------------
“先二后
a
DZ
一”
2）柱面坐标
x
cos
y
sin
f（x,y,z）dv
f（cos,sin
z）dddz
，
z
z
3）球面坐标
xrsincos
yrsinsin
zrcos
f（x,y,z）dvf（rsincos,rsinsin,rcos）r2sindrdd
（三）应用
曲面S:
z
f（x,y）,（x,y）D的面积：
A
1（
z）2
（
z）2dxdy
D
x
y
第十二章无穷级数
（一）常数项级数
1、定义：
1）无穷级数：
un
u1
u2
u3
un
n
1
部分和：
Sn
n
uk
u1
u2
u3
un，
k
1
正项级数：
un，un
0
n1
交错级数：
（
1）nun，un0
n1
2）级数收敛：
若limSn
S存在，则称级数
un收敛，否则称级数
un发散
n
n
1
n1
3）绝对收敛：
n
收敛，则
n
绝对收敛；
n1
n1
条件收敛：
un收敛，而un发散，则un条件收敛。
n1n1n1
定理：
若级数un绝对收敛，则un必定收敛。
n1n1
2、性质：
1）级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性；
2）级数
an与
bn分别收敛于和s与σ，，则
（anbn）收敛且，其和为
n1
n1
n1
s+σ
3）在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛；
4）级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。
5）必要条件：
级数
un收敛即limun0.
n1
n
3、审敛法
正项级数：
un，un0
n1
1）定义：
limSn
S存在；
n
2）
un收敛
Sn有界；
n1
）比较审敛法：
un，
vn为正项级数，且u
n
v
n
（n1,2,3,）
3
n1
n1
若vn收敛，则un收敛；若un发散，则vn发散.
n1n1n1n1
4）比较法的推论：
un，vn为正项级数，若存在正整数m，当nm时，
n1n1
unkvn，而vn收敛，则un收敛；若存在正整数m，当nm时，
n1n1
un
kvn，而
vn发散，则
un发散.
n1
n1
做题步骤：
①找比较级数（等比数列，调和数列，
p级数1/np）；②比较大小；
③是否收敛。
5）比较法的极限形式：
设
un，
vn为正项级数，
n1
n1
（1）若limun
l
（0
l
），而
vn
收敛，则
un收敛；
n
vn
n
1
n
1
（2）若limun
0
或limun
，而
vn发散，则
un发散.
n
vn
n
vn
n1
n
1
6）比值法：
un
为正项级数，设
limun
1
l，则当l1时，级数
un收
n
1
n
un
n1
敛；则当l
1时，级数
un发散；当l
1时，级数
un
可能收敛也可能发散.
n
1
n1
7）根值法：
un为正项级数，设limnun
l，则当l
1时，级数
un收敛；
n
1
n
n1
则当l1时，级数
un发散；当l
1时，级数
un可能收敛也可能发散.
n
1
n1
8）极限审敛法：
un为正项级数，若
limnun
0或limnun
，则级
n1
n
n
数
un发散；若存在p
1，使得limnp
un
l
（0
l
），则级数
un收敛.
n1
n
n1
交错级数：
莱布尼茨审敛法：
交错级数：
（1）n
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