考研数学一真题及答案解析.docx

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考研数学一真题及答案解析

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学

（一）试卷

一、选择题（1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）

（1）极限

=

（A）1（B）

（C）

（D）

（2）设函数

由方程

确定,其中

为可微函数,且

则

=

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）设

为正整数,则反常积分

的收敛性

（A）仅与

取值有关（B）仅与

取值有关

（C）与

取值都有关（D）与

取值都无关

（4）

=

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）设

为

型矩阵

为

型矩阵,若

则

（A）秩

秩

（B）秩

秩

（C）秩

秩

（D）秩

秩

（6）设

为4阶对称矩阵,且

若

的秩为3,则

相似于

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）设随机变量

的分布函数

则

=

（A）0（B）1

（C）

（D）

（8）设

为标准正态分布的概率密度

为

上均匀分布的概率密度,

为概率密度,则

应满足

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空题（9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.）

（9）设

求

=.

（10）

=.

（11）已知曲线

的方程为

起点是

终点是

则曲线积分

=.

（12）设

则

的形心的竖坐标

=.

（13）设

若由

形成的向量空间的维数是2,则

=.

（14）设随机变量

概率分布为

则

=.

三、解答题（15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分10分）

求微分方程

的通解.

（16）（本题满分10分）

求函数

的单调区间与极值.

（17）（本题满分10分）

（1）比较

与

的大小,说明理由

（1）记

求极限

（18）（本题满分10分）

求幂级数

的收敛域及和函数.

（19）（本题满分10分）

设

为椭球面

上的动点,若

在点

的切平面与

面垂直,求

点的轨迹

并计算曲面积分

其中

是椭球面

位于曲线

上方的部分.

（20）（本题满分11分）

设

已知线性方程组

存在两个不同的解.

（1）求

（2）求方程组

的通解.

（21）（本题满分11分）

设二次型

在正交变换

下的标准形为

且

的第三列为

（1）求

（2）证明

为正定矩阵,其中

为3阶单位矩阵.

（22）（本题满分11分）

设二维随机变量

的概率密度为

求常数及

条件概率密度

（23）（本题满分11分）

设总体

的概率分布为

1

2

3

其中

未知,以

来表示来自总体

的简单随机样本（样本容量为

）中等于

的个数

试求常数

使

为

的无偏估计量,并求

的方差.

2010年考研数学一真题及答案