完整版历年全国自考线性代数试题及答案.docx
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完整版历年全国自考线性代数试题及答案
全国2010年7月高等教育自学考试
试卷说明:
在本卷中,
列式;E表示单位矩阵。
AT表示矩阵A的转置矩阵;A*表示A的伴随矩阵;R(A)表示矩阵A的秩;|A|表示A的行
1•设3阶方阵A=[a1,a2,a3],其中ai(i=1,2,3)为A的列向量,
若|B|=|[a1+2a2,a2,a3]|=6,则|A|=()A.-12B.-6C.6D.12
3020
2•计算行列式
)A.-180B.-120C.120D.180
21050
0020
2323
12
3•设A=34,则|2A*F(
)A.-8B.-4C.4D.8
4.设a1,a2,a3,a4都是3维向量,则必有
A.a1,a2,a3,a4线性无关B.a1,a2,a3,a4线性相关
C.a1可由a2,a3,a4线性表示D.a1不可由a2,a3,a4线性表示
5.若A为6阶方阵,齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2,贝UR(A)=()A.2B3C.4D.5
6.设A、B为同阶矩阵,且R(A)=R(B),则()A.A与B相似B.A|=|B|C.A与B等价D.A与B合同
7.设A为3阶方阵,其特征值分别为2,1,0则|A+2E|=()A.0B.2C.3D.24
&若A、B相似,则下列说法错误.的是()A.A与B等价B.A与B合同C.|A|=|B|D.A与B有相同特征
9.若向量a=(1,-2,1)与B=(2,3,t)正交,则t=()A.-2B.0C.2D.4
10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,l,0,则()A.A正定B.A半正定C.A负定D.A半负定
二、填空题(本大题共10小题海小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
32
211山
1l.设A=01,B=,则AB=.
010
24
12.设A为3阶方阵,且|A|=3,则|3A-l|=.
13.三元方程X1+X2+X3=0的结构解是.
14.设a=(-1,2,2),则与a反方向的单位向量是.
15.设A为5阶方阵,且R(A)=3,则线性空间W={x|Ax=0}的维数是.
1
16.设A为3阶方阵,特征值分别为-2,丄,I,则|5A-1匸.
2
17.若A、B为同阶方阵,且Bx=0只有零解,若R(A)=3,贝UR(AB)=.
22
18.二次型f(X1,X2,X3)=X1-2X1X2+X2-X2X3所对应的矩阵是.
19.设3元非齐次线性方程组
11
Ax=b有解a1=2,a2=2
33
且R(A)=2,则Ax=b的通解是
1
20.设a=2,则A=aaT的非零特征值是
3
3x3
X4
1
3x1x2
3x3
4x4
4白
勺结构解•
x15x2
9X3
8x4
0
24.求向量组
a1=
:
(1,
2,
3,4),a2=(
a4=(2,3
•,6,
8)
的秩
2
1
2
25.已知A=
5
a
3
的一个特征向量
1
b
2
23.求非齐次线性方程组
-1,2,3),
0,
全部特征向量
a3=(2,3,8,
11),
=(1,1,-1)丁,求a,b及所对应的特征值,
并写出对应于这个特征值的
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
2
0
0
2
0
0
0
0
1
0
2
0
0
1
0
0
1
4
3
21.计算5阶行列式D=
0
0
2
0
0
22.设矩阵X满足方程0
1
0
X0
0
1=
=2
0
1求X
0
0
0
2
0
0
0
2
0
1
0
1
2
0
1
0
0
0
2
26.用正交变换化二次型
f(X1,X2,X3)=xj2xf2xf4x2X3为标准形,并写出所用的正交变换
四、证明题(本大题共1小题,6分)27.设a1,a2,a3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系•证明a1,a1+a2,a2+a3也是Ax=0的基础解系
全国2011年1月
说明:
本卷中,At表示矩阵A转置,det(A)表示方阵A的行列式,A-1表示方阵A的逆矩阵,(,)表示向量,的内积,E表示单位矩阵.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无
1.设A是4阶方阵,且det(A)=4,贝Udet(4A)=()A.44B.45C.46D.47
2.已知A2+A+E=0,则矩阵A-1=()A.A+EB.A-EC.-A-ED.-A+E
3.设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=()
A.A-1CB-B.CA-1B-1C.B-1A-1CD.CB-1A-1
4.
D.AAt是s>对称矩阵
设A是s>n矩阵(s丰n)则以下关于矩阵A的叙述正确的是()
A.AtA是s>对称矩B.AtA=AAtC.(AtA)t=AAt
设1,2,3,4,5是四维向量,贝U(
l,2,3,4,5一定线性无关B.l,
2,3,4,
5一定线性相关
5—定可以由1,2,3,4线性表出D.
1一定可以由
2,3,4,5线性表出
设A是n阶方阵,若对任意的n维向量X均满足设矩阵A与B相似,则以下结论不正确.的是(
AX=0,贝U(
)
)A.A=0B.A=EC.秩(A)=n
D.0<秩(A)秩(A)=秩(B)B.A与B等价C.A与B有相同的特征值D.A与B的特征向量一定相同
8.
3
3为矩阵A=0
0
0
5的三个特征值,则123=(
2
)A.
10B.20C.24
D.30
二次型
f(X1,X2,X3)=X12
2
X2
2
X3
2X1X22X1X32X2X3的秩为(
)A.1
B.2C.3D.
10.设A,
B是正定矩阵,则
A.AB一定是正定矩阵B.A+B一定是正定矩阵C.(AB)
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
T一定是正定矩阵D.
A-B一定是负定矩阵
10
11.设A=,k为正整数,则Ak=
11
.12.设2阶可逆矩阵A的逆矩阵
1
A-1=3
则矩阵A=
13.设同阶方阵A,B的行列式分别为-3,5,则det(AB)=
14.设向量=(6,-2,0,4),=
(-3,1,5,7),向量满足2+
=3,则=
2
3
0
3
1
7“丄
15.实数向量空间V={(X1,X2,
…Xn)|3X1+X2+…+Xn=0}的维数是
.16.矩阵A=
0
2
的秩
4
1
4
5
17.设1,2是齐次线性方程组Ax=0的两个解,则A(3172)=
18.设方阵A有一个特征值为0,则det(A3)=.
19.设P为正交矩阵,若(Px,Py)=8,贝卩(x,y)=.
222
6小题,每小题9分,共54分)
20.设f(xi,X2,X3)=X!
4X22x32tXM22^X3是正定二次型,则t满足
abc
2a
2a
21.计算行列式
2b
bac
2b
2c
2c
cab
三、计算题(本大题共
41
0
0
2
22.判断矩阵A=
3
0
0是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
0
0
5
6
0
0
6
7
23.求向量组i=(1,2,-1,-2),2=(2,5,-6,-5),3=(3,1,1,1),4=(-1,2,-7,-3)的一个最大线性无关组,
并将其余向量通过该最大线性无关组表示出来.
2x1
3x2
X3
5x4
0
24.求齐次线性方程组
3x1
X2
2x3
4x4
0的一个基础解系及其结构解
X1
2X2
3x3
X4
0
2
25.求矩阵A=1
2
32
82的特征值和特征向量.
143
26.写出下列二次型的矩阵,并判断其是否是正定二次型.
f(X1,X2,X3)=xj3xf2x1x22x1x36x2x3
四、证明题(本大题共1小题,6分)
27.设方阵A满足(A+E)2=E,且B与A相似,证明:
B2+2B=0.
1.卜列等式中,
正确的是
()
20
0
1
0
012
3
369
A.
2
B.3
00
1
0
2
145
6
456
1
0
0
2.设矩阵
A=
2
2
0
,那么矩阵A的列向量组的秩为
3
4
0
说明:
At表示矩阵A的转置矩阵,
3.设向量1=(-1,4),
2=(1,_2),
A*表示矩阵A的伴随矩阵,
E是单位矩阵,
|A|表示方阵A的行列式。
3=(3,-8),右有常数a,b使a1-b
2-3=0,则(
1
0
1
20
120
C.5
10
D.
0
2
0
35
035
(
)
A.3
B.2C.1
D.0
4=(4,9,0)的极大线性无关组为(
A.a=-1,b=-2B.a=-1,b=2C.a=1,b=-2D.a=1,b=2
A.
1,
4B.
1,
3C.1,
2
D.
2,
1
3
5.
下列矩阵
车中,
是初等矩阵的为(
)
1
1
1
2
00
1
0
8
1
0
8
A.
0
1
0
B.0
20C.
0
1
0
D.
0
1
8
0
0
1
0
02
0
0
1
0
0
1
4.向量组1=(1,2,0),
2=(2,4,0),3=(3,6,0),
0b
6•设A、B均为n阶可逆矩阵,且
C=0B,则C-1是(
A0
A.B1
JB.A
C.0
7.设A为3阶矩阵,
8.设=3是可逆矩阵
A的秩r(A)=3,则矩阵
A的一个特征值,则矩阵
9.设矩阵A=2
D.A1
A*的秩r(A*)=(
12,则A的对应于特征值
)A.0B.1
C.2
D.3
1
有一个特征值等于(
=0的特征向量为(
)A.
D.-
3
D.(0,1,1)T
A.(0,0,0)tB.(0,2,-1)TC.(1,0,-1)T
10.下列矩阵中是正定矩阵的为()
1
1D.
23303
A.B.C.
233631
、填空题(本大题共10小题,每题2分,共20分)
111
11•行列式123
149
1
:
.12.设矩阵A=2
3
1
2,B=(1,2,3),贝UBA=
1
3
中第4行各元素的代数余子式之和为
1
13.行列式
0
14.设A,B为n阶方阵,且AB=E,A-1B=B-1A=E,贝UA2+B2=.
15.设向量=(1,2,3,4),贝U的单位化向量为.
16.设3阶方阵A的行列式AF1,则|A3|=.
2
17.已知3维向量=(1,-3,3),=(1,0,-1)贝9+3=.
18.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0,且A的秩为n-1,则齐次线性方程组Ax=0的通解为
19.设1,2,…,n是n阶矩阵A的n个特征值,则矩阵A的行列式|A|=.
20.二次型f(X1,X2,X3)=X1X2+X1X3+X2X3的秩为.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
1
21.已知矩阵A=2
1
11
10,B=
01
10
21
02
0
0,求:
(1)AtB;
(2)|AtB|.
1
123
QA
1
3
22.设A=221
21
B=,
C=2
0,且满足AXB=C,求矩阵X
53
343
3
1
23.求向量组1=(1,2,1,0)t,2=(1,1,1,2)T,3=(3,4,3,4)T,4=(4,5,6,4)T的秩与一个极大线性无关组
x1x23x3x41
24.判断线性方程组2X1X2X34X42是否有解,有解时求出它的解.
x14x35x41
25.
2=(-1,0,1)T,
(1)用施密特正交化方法将
设向量1=(1,1,0)T,
1,2化为正父的1,2;
(2)求3,使1,2,3两两正父.
222
26.已知二次型f=X1X2X3
2
2X1X3,经正交变换x=Py化成了标准形f=y1
2
2y2,求所用的正交矩阵
P.
四、证明题(本大题共6分)
27.设A为5阶反对称矩阵,证明|A|=0.
1
0
1
1.设A3
5
0,则
aat
=(
0
4
1
2•设A为3阶方阵,且A4,则2A
3.设A,B为n阶方阵,且A=-A,BT=B,
)A.-49B.-7C.7
D.
49
()A.-32B.
-8C.
8D.32
则下列命题正确的是(
)
A.(A+B)T=A+BB.(AB)T=-ABC.A2是对称矩阵D•B2+A是对称阵
4.设A,B,X,Y都是n阶方阵,则下面等式正确的是()
A.若A2=0,
则A=0B.
.(AB)2=A2B2C.若AX=AY,贝UX=YD.若A+X=B,
贝UX=B-A
1
1
3
1
0
2
1
4
5.设矩阵A=
,则秩(A)=()A.1B.2C.3
D.4
0
0
0
5
0
0
0
0
kx
z
0
6.若方程组
2x
ky
z
0仅有零解,则k=()A.-2B.-1C.0
D.2
kx
2y
z
0
7.实数向量空间
V={
(X1,
X2,X3)|X1+X3=0}的维数是()A.0B
.1C.2D.3
X1
2x2
X3
1
&若方程组
3x2
X3
2有无穷多解,则
=()A.1B.2C.3D.4
X2
x3
(3)(4)
(2)
1
0
0
9.设A=0
1
0,
则下列矩阵中与A相似的是()
0
0
2
020B.
22
)A.正定B.不定C.负定D.半正定
10.设实二次型f(捲兀*)X2X3,则f(
11.设A=(-1,1,2)t,B=(0,2,3)T,则|ABt|=.
12.设三阶矩阵A1,2,3,其中i(i1,2,3)为A的列向量,且|A|=2,则12,2,123
0
1
0
1
设Aa
0
c,且秩(A)=3,贝Ua,b,c应满足
.14.矩阵Q2
2的逆矩阵是
1
1
3
b
0
2
2
2
三兀方程
X1+X3=1的通解是.16.已知A相似于
10,则|A-E|
02
0
0
1
矩阵A
0
1
0
的特征值是
1
0
0
1
2
与矩阵A
2
1
相似的对角矩阵是
1
00
设A相似于
0
10,则A4.
0
01
二次型f(X1,X2,X3)=X1X2-X1X3+X2X3的矩阵是
•二、计算题
(本大题共
13.
15.
17.
18.
19.
20.
21.
23.
24.
25.
26.
27.
6小题,每小题9分,共54分
计算4阶行列式D=
.22.
设A=
,而X满足AX+E=A2+X,求X.
求向量组:
13,
1
的秩,并给出该向量组的一个极大无关组,同时将其余
1的特
X
2x2
2x3
0
为何值时,齐次方程组2X1
X2
X3
0有非零解?
并求其全部非零解
3X|
X2
X3
0
的向量表示成该极大无关组的线性组合
当
已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值,向量1(1,1,1$、2(2,2,1)T是A的对应于12
征向量,求A的属于31的特征向量.
求正交变换Y=PX,化二次型f(X1,X2,X3)=2X1X2+2X1X3-2X2X3为标准形.四、证明题(本大题6分)
设1,2,3线性无关,证明1,122,133也线性无关.
接下来是答案
全国2010年7月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题课程代码:
04184
*
试卷说明:
在本卷中,人1表示矩阵A的转置矩阵(行列对换);A*表示A的伴随矩阵;A-1=A_(重要)
IA
求A-1和A*时,可用这个公式,A*太复杂了自己看看
1
0
0
2
0
0
r(A)表示矩阵A的秩;|A|表示A的行列式;E表示单位矩阵。
E0
1
0
2E0
2
0,每一项都乘2
0
0
1
0
0
2
一、单项选择题[]表示矩阵,矩阵乘矩阵还是矩阵;||表示行列式,计算后为一个数值,行列式相乘为数值
运算
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选
均无分。
1•设3阶方阵
A=(a1,a2,a3),其中ai(i=1,2,3)为A的列向量,若|B|=(a什2a2,a2,a3)|=6,则|A|=(C)
A.-12
B.-6ai(i=1,2,3)为A的列向量,3行1列
C.6
D.12
2•计算行列式
3
2
0
2
0
10
0
3
0
0
0
3
=(A
)=3*-2*10*3=-180
A.-180
B.-120
C.120
D.180
3•若A为3阶方阵且
|A-1
|=2,则|2A|=(c)=23|A|=8*1/2=4
B.2
A.-
2
C.4D.8
4.设a1,a2,a3,a4都是3维向量,则必有(B)n+1个n维向量线性相关
A.a1,a2,a3,a4线性无关B.a1,a2,a3,a4线性相关
C.a1可由a2,a3,a4线性表示D.a1不可由a2,a3,a4线性表示
5.若A为6阶方阵,齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2,则r(A)=(C)
A.2B.3n-r(A)=解向量的个数=2,n=6
C.4D.5
6.设A、B为同阶方阵,且r(A)=r(B),则(C)A与B合同r(A)=r(B)PTAP=B,P可逆
A.A与B相似
B.|A|=|BI
C.A与B等价
D.A与B合同
7•设A为3阶方阵,其特征值分别为
2,1,0则|A+2E|=(D),|A|=所有特征值的积=0
A.OB.2A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2,|A+2E|=4*3*2
C.3D.24
8•若A、B相似,则下列说法错误.的是(B)
A.A与B等价B.A与B合同
C.|A|=|B|D.A与B有相同特征值
A、B相似A、B特征值相同|A|=|B|r(A)=r(B);若A〜B,B〜C,则A〜C(〜代表等价)
9若向量a=(1,-2,1)与3=(2,3,t)正交,则t=(D)T0,即1*2-2*3+1*t=0,t=4
A.-2B.0
C.2D.4
10•设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0,则(B),所有特征值都大于0,正定;
A.A正定B.A半正定所有特征值都小于0,负定;
C.A负定D.A半负定所有特征值都大于等于0,半正定;同理半负定;其他情况不定
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
11.设
A=0
1,B=21
1
,贝UAB:
=(A
的每
一行与B
的每一列对应相乘相加)
2
4
01
0
3*2
2*0
3*1
2*1
3*
12*0
6
53
a11a12
a13
=0*2
1*0
0*1
1*0
0*
11*0
=0
10