高中数学第一章计数原理122第2课时组合的综合应用习题课学案新人教A选修230319470.docx

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高中数学第一章计数原理122第2课时组合的综合应用习题课学案新人教A选修230319470

第2课时　组合的综合应用（习题课）

　1.进一步理解组合的定义，熟练掌握组合数公式的应用．　2.能解决含有限制条件的组合问题，掌握常见的类型及解决策略．　3.能解决简单的排列、组合的综合问题．

探究点1　有限制条件的组合问题

　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？

（1）至少有一名队长当选．

（2）至多有两名女生当选．

（3）既要有队长，又要有女生当选．

【解】　

（1）至少有一名队长含有两种情况：

有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825种．或采用排除法有C－C＝825种．

（2）至多有两名女生含有三种情况：

有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966种．

（3）分两种情况：

第一类：

女队长当选，有C种；

第二类：

女队长不当选，

有C·C＋C·C＋C·C＋C种．

故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790种．

[变问法]在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？

解：

分两类情况：

第一类：

没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C＝462种选法．

第二类：

一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：

C＋C＝660种选法．

所以至多1名队长被选上的方法有462＋660＝1122种．

有限制条件的组合问题分类

有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类：

一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；

二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：

一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．　

　1.若从1，2，3，…，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有（　　）

A．60种　　　　　　　　　B．63种

C．65种D．66种

解析：

选A.若四个数之和为奇数，则有1个奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数．若是1个奇数3个偶数，则有CC＝20种，若是3个奇数1个偶数，则有CC＝40种，共有20＋40＝60种不同的取法．

2．（2018·江苏盐城大丰新中学高二下学期期中）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有________种不同的选派方案．（用数字作答）

解析：

根据题意，分两种情况讨论：

①甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有C×C＝40（种）选派方案；

②甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有C＝15（种）选派方案．则共有40＋15＝55种选派方案．

答案：

55

探究点2　组合中的分组、分配问题

　按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？

（1）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

（2）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；

（3）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．

【解】　

（1）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有C种，甲不论用哪种方法，取得2本书后，乙再从余下的4本书中任取2本有C种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有C种方法，所以一共有CCC＝90（种）方法．　

（2）先在6本书中任取1本，作为一堆，有C种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有C种取法，最后余下3本书作为一堆，有C种取法，共有方法CCC＝60（种）．

（3）分成三堆共有CCC种，但每一种分组方法又有A种不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有CCCA＝360（种）．

在本例条件下，若甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两个人每个人得1本，有多少种分法？

解：

先分成三堆，为部分均匀分组问题，共有种，然后分给三个人共有·A＝90（种）．

分组、分配问题的求解策略

（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种．

①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；

②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！

；

③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．

（2）分配问题属于“排列”问题．

分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．　

　将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．

（1）有多少种放法？

（2）每盒至多一球，有多少种放法？

（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？

（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？

解：

（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256种放法．

（2）这是全排列问题，共有A＝24种放法．

（3）法一：

先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A种投放方法，故共有·A＝144种放法．

法二：

先取4个球中的两个“捆”在一起，有C种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，所以共有CA＝144种放法．

（4）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC＝12种放法．

探究点3　与几何图形有关的组合问题

　如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.

（1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？

其中含C1点的有多少个？

（2）以图中的12个点（包括A，B）中的4个为顶点，可作出多少个四边形？

【解】　

（1）法一：

可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116（个）．

法二：

可作三角形C－C＝116（个），

其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36（个）．　

（2）可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360（个）．

解答几何图形类组合问题的策略

（1）几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强．

（2）解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可．

（3）计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．　

（1）四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？

（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？

解：

（1）（直接法）如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3C＋3＝33种．

（2）（间接法）如图，从10个点中取4个点的取法有C种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面．有4C＝60种，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形（对棱中点连线两两相交且互相平分），故4点不共面的取法为：

C－（60＋6＋3）＝141种．

探究点4　排列、组合的综合应用

　从1到9的九个数字中取3个偶数、4个奇数，问：

（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？

（2）上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？

【解】　

（1）分步完成：

第一步，在4个偶数中取3个，可有C种取法；第二步，在5个奇数中取4个，可有C种取法；第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有A种排法．所以符合题意的七位数有C·C·A＝100800（个）．

（2）上述七位数中，3个偶数排在一起的有C·C·A·A＝14400（个）．

解答排列、组合综合问题的思路及注意点

（1）解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．　

（2）解排列、组合综合问题时要注意以下两点：

①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．

②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．

　（2018·重庆高二检测）将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子放有2个连号小球的所有不同放法有________种．（用数字作答）

解析：

先把4个小球分为（2，1，1）一组，其中2个连号小球的种类有（1，2），（2，3），（3，4）为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，共有CA＝18种．

答案：

18

1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有（　　）

A．26种　　　B．84种　　　

C．35种　　　D．21种

解析：

选C.从7名队员中选出3人有C＝＝35种选法．

2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为（　　）

A．9B．14

C．12D．15

解析：

选A.法一（直接法）分两类：

第1类，张、王两同学都不参加，有C＝1种选法；

第2类，张、王两同学中只有1人参加，有CC＝8种选法．

故共有1＋8＝9种选法．

法二（间接法）：

共有C－C＝9种不同选法．

3．（2017·高考浙江卷）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）

解析：

分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C－C＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．

答案：

660

4．现有10名学生，其中男生6名．

（1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？

（2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？

（3）从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？

解：

（1）法一（直接法）：

必须有女生可分两类：

第一类只有一名女生，共有CC＝24种；第二类有2名女生，共有C＝6种，根据分类加法计数原理，必须有女生的不同选法有CC＋C＝30种．

法二（间接法）：

C－C＝45－15＝30（种）．

（2）CC＝90（种）．

（3）C＝28（种）．

知识结构

深化拓展

1.相同元素分配问题的处理策略

（1）隔板法：

如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．

（2）将n个相同的元素分给m个不同的对象（n≥m），有C种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．

2．解决先选后排问题时，应遵循三大原则

（1）先特殊后一般；

（2）先组合后排列；

（3）先分类后分步.

[A　基础达标]

1．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（　　）

A．60种B．70种

C．75种D．150种

解析：

选C.根据题意，知从6名男医生中选2名、从5名女医生