高中数学第一章计数原理122第2课时组合的综合应用习题课学案新人教A选修230319470.docx

1、高中数学第一章计数原理122第2课时组合的综合应用习题课学案新人教A选修230319470第2课时组合的综合应用(习题课)1.进一步理解组合的定义，熟练掌握组合数公式的应用2.能解决含有限制条件的组合问题，掌握常见的类型及解决策略3.能解决简单的排列、组合的综合问题探究点1有限制条件的组合问题课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选(2)至多有两名女生当选(3)既要有队长，又要有女生当选【解】(1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有CCCC825种或采用排除法有CC

2、825种(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有CCCCC966种(3)分两种情况：第一类：女队长当选，有C种；第二类：女队长不当选，有CCCCCCC种故共有CCCCCCCC790种变问法在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？解：分两类情况：第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C462种选法第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：CC660种选法所以至多1名队长被选上的方法有4626601 122 种有限制条件的组合问题分类有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，

3、其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏 1.若从1，2，3，9这9个整数中取4个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有()A60种 B63种C65种 D66种解析：选A.若四个数之和为奇数，则有1个奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数若是1个奇数3个偶数，则有CC20种，若是3个奇数1个偶数，则有CC40种，共有204060种不同的取法2(2018江苏盐城大丰新中学高二下学期期中)现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、

4、乙两名同学不能同时入选，则共有_种不同的选派方案(用数字作答)解析：根据题意，分两种情况讨论：甲、乙两位同学只有一人入选，只需从剩余的6人中再选出3人，有CC40(种)选派方案；甲、乙两位同学都没有入选，只需从剩余的6人中选出4人，有C15(种)选派方案则共有401555种选派方案答案：55探究点2组合中的分组、分配问题按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？(1)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(2)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；(3)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本【解】(1)3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取2本的方法有C种，甲不论用哪种方

5、法，取得2本书后，乙再从余下的4本书中任取2本有C种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本书中取两本书，有C种方法，所以一共有CCC90(种)方法(2)先在6本书中任取1本，作为一堆，有C种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有C种取法，最后余下3本书作为一堆，有C种取法，共有方法CCC60(种)(3)分成三堆共有CCC种，但每一种分组方法又有A种不同的分配方案，故一人得1本，一人得2本，一人得3本的分法有CCCA360(种) 在本例条件下，若甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两个人每个人得1本，有多少种分法？解：先分成三堆，为部分均匀分组问题，共有种，然后分给三个

6、人共有A90(种)分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个

7、放入盒子，共有444444256种放法(2)这是全排列问题，共有A24种放法(3)法一：先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A种投放方法，故共有A144种放法法二：先取4个球中的两个“捆”在一起，有C种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，所以共有CA144种放法(4)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC12种放法探究点3与几何图形有关的组合问题如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C6，线

8、段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？【解】(1)法一：可作出三角形CCCCC116(个)法二：可作三角形CC116(个)，其中以C1为顶点的三角形有CCCC36(个)(2)可作出四边形CCCCC360(个)解答几何图形类组合问题的策略(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组

9、合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数 (1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？解：(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3C333种(2)(

10、间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C种，除去4点共面的取法种数可以得到结果从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面有4C60种，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：C(6063)141种探究点4排列、组合的综合应用从1到9的九个数字中取3个偶数、4个奇数，问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？【解】(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C种取法；第二步，在5个奇数中取4个，可有C种取法；第三步，3个偶数、4

11、个奇数进行排列，可有A种排法所以符合题意的七位数有CCA100 800(个)(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA14 400(个)解答排列、组合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列 (2)解排列、组合综合问题时要注意以下两点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法(2018重庆高二检测)将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同

12、的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子放有2个连号小球的所有不同放法有_种(用数字作答)解析：先把4个小球分为(2，1，1)一组，其中2个连号小球的种类有(1，2)，(2，3)，(3，4)为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，共有CA18种答案：181某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有()A26种 B84种C35种 D21种解析：选C.从7名队员中选出3人有C35种选法2从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A9 B14 C12 D15解析：选A.法一(直接法)

13、分两类：第1类，张、王两同学都不参加，有C1种选法；第2类，张、王两同学中只有1人参加，有CC8种选法故共有189种选法法二(间接法)：共有CC9种不同选法3(2017高考浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有CC55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A12种不同的选法根据分步乘法计数原理知共有5512660种不同的选法答案：6604现有10名学生，其中男生6名(1)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？(

14、2)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？(3)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？解：(1)法一(直接法)：必须有女生可分两类：第一类只有一名女生，共有CC24种；第二类有2名女生，共有C6种，根据分类加法计数原理，必须有女生的不同选法有CCC30种法二(间接法)：CC451530(种)(2)CC90(种)(3)C28(种)知识结构深化拓展1.相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)，有C种方法可描述为n1个空中插入m1块板2解决先选后排问题时，应遵循三大原则(1)先特殊后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步.A基础达标1有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种 B70种C75种 D150种解析：选C.根据题意，知从6名男医生中选2名、从5名女医生