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旋转及切线的证明

2014年11月02日973254268的初中数学组卷

一．选择题（共5小题）

1．（2014•慈溪市模拟）下列环保标志图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2014•秀屿区模拟）下面的图形中既是中心对称又是轴对称的图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（2014•北海）如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　）

A．

30°

B．

40°

C．

50°

D．

60°

4．（2014•资阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（　　）

A．

55°

B．

60°

C．

65°

D．

80°

5．（2014•眉山）如图，△ABC中，∠C=67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（　　）

A．

56°

B．

50°

C．

46°

D．

40°

二．解答题（共9小题）

6．（2014•潍坊）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．

（1）求证：

OD∥BE；

（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．

7．（2014•德州）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．

（1）求AC、AD的长；

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

8．（2014•宝坻区一模）已知：

如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．

（1）求证：

CD为⊙O的切线；

（2）若BC=5，AB=8，求OF的长．

9．（2014•江宁区二模）如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．

（1）求证：

CD与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长．

10．（2013•从化市一模）如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于点D，DE⊥OC，垂足为E．

求证：

（1）AD=CD；

（2）DE是⊙O1的切线．

11．（2013•岳阳二模）如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．

（1）求证：

PQ是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，AT=2

，求AC的长．

12．（2012•泰宁县质检）已知，如图，AB为⊙O的直径，弦DC延长线上有一点P，∠PAC=∠PDA．

（1）求证：

PA是⊙O的切线；

（2）若AD=6，∠ACD=60°，求⊙O的半径．

13．（2012•峨眉山市二模）题甲：

关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两实数根分别是x1和x2．

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．

题乙：

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．

求证：

（1）BD=DC；

（2）DE与⊙O相切．

我选做的是　_________　题．

14．（2012•汕头模拟）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．

（1）直线FC与⊙O有何位置关系？

并说明理由；

（2）若OB=BG=4，求CD的长．

2014年11月02日973254268的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2014•慈溪市模拟）下列环保标志图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合银行标志图案求解．

解答：

解：

A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；

C、中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；

D、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意，

故选：

C．

点评：

本题考查了中心对称图形及轴对称图形的知识，关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．

在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

2．（2014•秀屿区模拟）下面的图形中既是中心对称又是轴对称的图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

解答：

解：

A、此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形是不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

B、此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形旋转180°后能与原图形重合，所以此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；

D、此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．

3．（2014•北海）如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（　　）

A．

30°

B．

40°

C．

50°

D．

60°

考点：

专题：

计算题．

分析：

先根据平行线的性质得∠DCA=∠CAB=65°，再根据旋转的性质得∠BAE=∠CAD，AC=AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC=∠DCA=65°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，于是有∠BAE=50°．

解答：

解：

∵DC∥AB，

∴∠DCA=∠CAB=65°，

∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，

∴∠BAE=∠CAD，AC=AD，

∴∠ADC=∠DCA=65°，

∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA=50°，

∴∠BAE=50°．

故选：

C．

点评：

本题考查了旋转的性质：

旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．

A．

55°

B．

60°

C．

65°

D．

80°

考点：

分析：

利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB1是等边三角形，即可得出旋转角度．

解答：

解：

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，

∴AB1=

BC，BB1=B1C，AB=AB1，

∴BB1=AB=AB1，

∴△ABB1是等边三角形，

∴∠BAB1=60°，

∴旋转的角度等于60°．

故选：

B．

点评：

此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△ABB1是等边三角形是解题关键．

5．（2014•眉山）如图，△ABC中，∠C=67°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠B′C′B的度数为（　　）

A．

56°

B．

50°

C．

46°

D．

40°

考点：

专题：

几何图形问题．

分析：

利用旋转的性质以及等腰三角形的性质得出∠AC′C=∠AC′B′=67°，进而得出∠B′C′B的度数．

解答：

解：

∵将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，

∴AC′=AC，

∴∠C=∠AC′C=67°，

∴∠AC′B=180°﹣67°=113°，

∵∠AC′C=∠AC′B′=67°，

∴∠B′C′B=∠AC′B﹣∠AC′B′=113°﹣67°=46°．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，得出∠AC′C=∠AC′B′=67°是解题关键．

二．解答题（共9小题）

6．（2014•潍坊）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．

（1）求证：

OD∥BE；

（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．

考点：

专题：

几何综合题．

分析：

（1）连接OE，证出Rt△OAD≌Rt△OED，利用同弦对圆周角是圆心角的一半，得出∠AOD=∠ABE，利用同位角相等两直线平行得到OD∥BE，

（2）由Rt△COE≌Rt△COB，得到△COD是直角三角形，利用S梯形ABCD=2S△COD，

求出xy=48，结合x+y=14，求出CD．

解答：

（1）证明：

如图，连接OE，

∵CD是⊙O的切线，

∴OE⊥CD，

在Rt△OAD和Rt△OED，

，

∴Rt△OAD≌Rt△OED（SAS）

∴∠AOD=∠EOD=

∠AOE，

在⊙O中，∠ABE=

∠AOE，

∴∠AOD=∠ABE，

∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．

（2）解：

与

（1）同理可证：

Rt△COE≌Rt△COB，

∴∠COE=∠COB=

∠BOE，

∵∠DOE+∠COE=90°，

∴△COD是直角三角形，

∵S△DEO=S△DAO，S△OCE=S△COB，

∴S梯形ABCD=2（S△DOE+S△COE）=2S△COD=OC•OD=48，

即xy=48，

又∵x+y=14，

∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=142﹣2×48=100，

在Rt△COD中，

CD=

=10，

∴CD=10．

点评：

本题考查了切线的性质：

圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质．关键是综合运用，找准线段及角的关系．

7．（2014•德州）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．

（1）求AC、AD的长；

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

考点：

专题：

几何综合题．

分析：

（1）连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD，

（2）连接OC，由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．

解答：

解：

（1）①如图，连接BD，

∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ABC中，

AC=

（cm），

②∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴

，

∴AD=BD，

∴Rt△ABD是直角等腰三角形，

∴AD=

AB=

×10=5

cm；

（2）直线PC与⊙O相切，

理由：

连接OC，

∵OC=OA，

∴∠CAO=∠OCA，

∵PC=PE，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ECB，

∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，

即OC⊥PC，

∴直线PC与⊙O相切．

点评：

本题主要考查了切线的判定，勾股定理和圆周角，解题的关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角．

8．（2014•宝坻区一模）已知：

如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．

（1）求证：

CD为⊙O的切线；

（2）若BC=5，AB=8，求OF的长．

考点：

专题：

计算题；几何综合题．

分析：

（1）根据平行线的性质和垂直的定义推出∠DCF=90°，根据切线的判定即可判断；

（2）根据垂径定理得到AH=BH=3，根据勾股定理求出CH，证△HAF≌△HBC，得出FH=CH=3，CF=6，连接BO，设BO=x，则OC=x，

OH=x﹣3，由勾股定理得到42+（x﹣3）2=x2，求出方程的解，就能求出答案．

解答：

（1）证明：

∵OC⊥AB，CD∥BA，

∴∠DCF=∠AHF=90°，

∴CD为⊙O的切线．

（2）解：

∵OC⊥AB，AB=8，

∴AH=BH=

=4，

在Rt△BCH中，∵BH=4，BC=5，

由勾股定理得：

CH=3，

∵AE∥BC，

∴∠B=∠HAF，

∵∠BHC=∠AHF，BH=AH，

∴△HAF≌△HBC，

∴FH=CH=3，CF=6，

连接BO，设BO=x，则OC=x，OH=x﹣3．

在Rt△BHO中，由勾股定理得：

42+（x﹣3）2=x2，

解得

，

∴

，

答：

OF的长是

．

点评：

本题主要考查对全等三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，平行线的性质，切线的判定，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能灵活运用这些性质进行证明是解此题的关键，题型较好，难度适中．

9．（2014•江宁区二模）如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．

（1）求证：

CD与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长．

考点：

专题：

证明题．

分析：

（1）过O作ON⊥CD于N，连接OM，由切线的性质可知，OM⊥BC，再由AC是正方形ABCD的对角线可知AC是

∠BCD的平分线，由角平分线的性质可知OM=ON，故CD与⊙O相切；

（2）先根据正方形的性质得出△MOC是等腰直角三角形，由勾股定理可求出OC的长，进而可求出AC的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出AB的长．

解答：

（1）证明：

过O作ON⊥CD于N，连接OM，

∵⊙O与BC相切于点M，

∴OM⊥BC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=90°，AB∥CD

∴AB∥OM∥DC，

∵AC为正方形ABCD对角线，

∴∠NOC=∠NCO=∠MOC=∠MCO=45°，

∵OM=ON，

∴CD与⊙O相切；

（2）解：

由

（1）易知△MOC为等腰直角三角形，OM为半径，

∴OM=MC=1，

∴OC2=OM2+MC2=1+1=2，

∴

．

∴

，

在Rt△ABC中，AB=BC，

有AC2=AB2+BC2，

∴2AB2=AC2，

∴

．

故正方形ABCD的边长为

．

点评：

本题考查的是正方形的性质及勾股定理、切线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

10．（2013•从化市一模）如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于点D，DE⊥OC，垂足为E．

求证：

（1）AD=CD；

（2）DE是⊙O1的切线．

考点：

专题：

证明题．

分析：

（1）连接OD，根据圆周角定理得出∠ODA=90°，根据垂径定理即可得到答案；

（2）连接O1D，根据三角形的中位线定理推出O1D∥OC，由DE⊥OC得到O1D⊥DE，根据切线的判定即可得出答案．

解答：

（1）证明：

连接OD、，

∵OA是圆O1的直径，

∴∠ODA=90°，

即：

OD⊥AC，

∵OD过圆心O，

∴AD=DC．

（2）证明：

连接O1D，

∵AD=DC，O1A=O1O，

∴O1D是△AOC的中位线，

∴O1D∥OC，

∵DE⊥OC，

∴O1D⊥DE，

∵O1D是⊙O的半径，

∴DE是⊙O1的切线．

点评：

本题主要考查对圆周角定理，三角形的中位线定理，平行公理及推论，切线的判定，垂线的定义等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并灵活运用这些性质进行证明是证此题的关键，题目比较典型，难度适中．

11．（2013•岳阳二模）如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．

（1）求证：

PQ是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，AT=2

，求AC的长．

考点：

分析：

（1）要证明PQ是⊙O的切线只要证明OT⊥PQ即可；

（2）由已知可求得OM的长，从而利用勾股定理求得AD的长．

解答：

（1）证明：

连接OT；

∵OT=OA，

∴∠ATO=∠OAT，

又∵∠TAC=∠BAT，

∴∠ATO=∠TAC，

∴OT∥AC；

∵AC⊥PQ，

∴OT⊥PQ，

∴PQ是⊙O的切线．

（2）解：

过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD；

又∵∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，

∴四边形OTCM为矩形，

∴OM=TC=

，

∴在Rt△AOM中，

AM=

=1，

∴AC=AM+OT=1+

点评：

本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．

12．（2012•泰宁县质检）已知，如图，AB为⊙O的直径，弦DC延长线上有一点P，∠PAC=∠PDA．

（1）求证：

PA是⊙O的切线；

（2）若AD=6，∠ACD=60°，求⊙O的半径．

考点：

分析：

（1）连接BD，根据AB是直径得出∠1+∠2=90°，根据∠1=∠3和∠2=∠PAC求出∠BAP=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）求出∠B=∠ACD=60°，求出∠DAB=30°，根据勾股定理求出BD、AB，即可求出答案．

解答：

（1）证明：

连接BD，

∵AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，

∴∠ADB=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∵∠1=∠3，∠2=∠PAC，

∴∠3+∠PAC=∠1+∠2，

∴∠BAP=∠3+∠PAC=90°，

又∵OA是⊙O的半径，

∴PA是⊙O的切线．

（2）解：

∵∠B=∠ACD=60°，

在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AD=6，

设BD=x，AB=2x，

由AD2+BD2=AB2得：

x2+62=（2x）2，

解得x=

，

∴⊙O的半径为

．

点评：

本题考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用行政进行推理和计算的能力，用了方程思想．

13．（2012•峨眉山市二模）题甲：

关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两实数根分别是x1和x2．

（1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．

题乙：

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．

求证：

（1）BD=DC；

（2）DE与⊙O相切．

我选做的是　题甲　题．

考点：

分析：

题甲

（1）求出△=22﹣4×1×（k+1）=﹣4k≥0，求出即可；

（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2，x1•x2=k+1，推出﹣2﹣（k+1）＜﹣1，求出k的范围，即可求出k；

题乙

（1）连接AD，得出AD⊥BC，根据等腰三角形性质推出BD=DC即可；

（2）连接OD，求出∠BOD=∠BAC，推出OD∥AC，即可得出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．

解答：

题甲解：

（1）△=22﹣4×1×（k+1）=﹣4k，

∵方程有两个实数根，

∴△=﹣4k≥0，

∴k≤0；

（2）根据根与系数的关系得：

x1+x2=﹣2，x1•x2=k+1，

∵x1+x2﹣x1x2＜﹣1

∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1，

∴k＞﹣2，

又∵k≤0，且k为整数，

∴k为﹣1或0．

题乙：

证明：

（1）连接AD，

∵AB是直径，

∴AD⊥BC，

又∵AB=AC，

∴BD=CD；

（2）连接OD，

∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，

∴∠BAC=∠BOD，

∴OD∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线．

点评：

本题考查了根与系数的关系和根的判别式，切线的判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．

14．（2012•汕头模拟）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．

（1）直线FC与⊙O有何位置关系？

并说明理由；

（2）若OB=BG=4，求CD的长．

考点：

专题：

证明题；几何综合题．

分析：

（1）连接OC，根据等腰三角形性质和折叠推出∠2=∠3，∠F=90°，推出OC∥AF，推出∠OCG=90°即可；

（2）根据解直角三角形求出∠COE=60°，根据Ssin60°=

，求出CE长，根据垂径定理求出CD即可．

解答：

解：

（1）直线FC与⊙O相切，

理由如下：

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