小学奥数思维2间接思路.docx

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小学奥数思维2间接思路

（二）间接思路

　　“间接思路”指不直接依据条件、问题去思考，而把隐蔽的条件通过图解、演示、列表等中介办法，去进行铺路搭桥，使之显现和帮助分析数量关系，找到解题途径的思路。

　　【图解思路】解题时，先把题中的条件和问题用图表示出来，便于看清题中的数量关系，然后“按图索骥”，寻找解题的方法，这种思路叫做图解思路，运用这种思路解题的方法叫图解法。

　　例1甲乙两班同学的人数相等，各有一些同学参加课外微电脑小组，

加人数的几分之几？

　　分析（运用图解思路分析）：

　　我们先根据题中的条件和问题，画出线段图（图2.16）。

　　下面借助这个直观图形来分析。

依题意，甲乙两班人数相等，从图中明

就很容易了。

　　例2快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿公路追赶前面的一个骑车人。

这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。

现在知道快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，那么，慢车每小时行多少千米？

　　分析（用图解思路探索）：

　　先将题中的条件和问题用图2.17表示出来。

　　此题看来无从下手，但沿着图解思路去寻找，确能找到解题的线索。

从图中可以看出这段距离分成两段。

（1）AB段是骑车人先走的路程，骑车人到达B点时，三辆车才出发；

（2）BC段是骑车人12分钟所走的路程；（3）要求慢车的速度，必须求出AC的距离，而AC的距离即由骑车人在三辆车出发前的路程AB段及骑车人12分钟所走的路程BC段组成，能求出骑车人每分钟走多少米，BC段也就容易求了。

　　根据快车每小时行24千米，可求出快车6分钟行驶的路程是：

　　根据中车每小时行20千米，可求出中车10分钟行驶的路程是：

　　中车10分钟比快车6分钟多行的路程是：

的路程是：

　　骑车人6分钟走的路程是：

　　根据快车6分钟行驶了2400米，那么骑车人在三辆车出发前的路程是（即AB段）：

　　2400—1400=1000（米）

　　BC段是骑车人12分钟所走的路程，可根据速度×时间=距离求出。

即：

　　再求出AB的距离和慢车的速度就轻而易举。

　　【演示思路】对于某些不好理解的题，利用手边现成的东西，如铅笔、小刀、纸片、小棒等，像做实验一样，动手演示，使题目内容形象化、数量关系具体化，从而找到解题的线索，这就是演示思路。

运用这种思路解题的方法叫演示法。

　　例1兄弟俩早晨5∶00各推一车菜同时从家出发去集市，哥哥每分钟行100米，弟弟每分钟行60米，哥哥到达集市后用5分钟卸好菜，立即返回，中途接到弟弟，这时是5∶55，问集市离他们家有多少千米？

　　分析（用演示思路考虑）：

　　我们可以用△和□纸片，分别代表“家”与“集市”，放在课桌两端，用红蓝两支铅笔代表兄弟两人，实际走一走，看下图（图2.18）。

　　实线表示弟弟走的路程，虚线表示哥哥走的路程，从演示中可以看出，兄弟两人共走的路程是“家”到“集市”路程的两倍，其一半就是所求“家”到“集市”的距离。

　　根据条件可知，哥哥与弟弟共同走了（55—5）分钟，每分钟走（100＋60）米，共同走的路程可用速度×时间求出。

共同走的路程加上哥哥在集市时卸菜时弟弟走的路程（60米×5），便是兄弟共同走的路程。

　　例2一列客车以每小时72千米的速度行驶，客车的司机发现对面开来一列货车，速度是每小时54千米，这列货车从他身边驶过共用了8秒钟，求这列货车的长。

　　分析（用演示思路思索）：

　　用红蓝两支铅笔分别代表客车、货车，客车车头上有一司机，货车车尾上站着一人，按下图（图2.19）演示。

　　两列火车相向行驶，客车司机发现对面开来一列货车（即客车司机看见了货车的车头），货车从客车司机身边驶过（即客车司机看见了货车车尾）。

　　从演示中可以看出，这个问题实际上是客车车头与货车车尾相遇的问题，而行驶的距离正好是货车车身长。

　　因此只要求出客车与货车每秒钟的速度和，再乘以8秒钟，即可以求出这列货车的长。

　　【列表思路】有些题目的数量关系比较复杂、隐蔽，解题时可以把条件所涉及的数量或结论的各种可能一一排表列举出来，使人“了如指掌”，从中找出解题的途径和方法，这种思路我们叫列表思路或列举思路。

运用这种思路解题的方法叫列表法（或列举法）。

　　例1有1张5元币，4张2元币，8张1元币，要拿出8元钱，可以有几种拿法？

　　分析（用列表思路分析）：

　　如果随便拿出8元钱，是很容易的，难就难在把所有的情况考虑全，既不遗漏，也不重复。

现在不妨列出下表。

　　列表时要按一定顺序排列，这样才不会遗漏和重复。

　　上表是按5元币、2元币、1元币从大币到小币依次排列的，每一种排列的总货币值都是8元。

　　对照上表看一看，有几种不同的拿法就一目了然了。

　　例2甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。

到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了一盘，问小强赛了几盘？

　　分析（用列表思路分析）：

　　这道题数量关系比较隐蔽，现在用列表思路考虑，将各人已经赛的盘数用表格表示出来，就很容易看出小强已经赛了几盘。

　　条件：

甲4盘

　　乙3盘

　　丙2盘

　　丁1盘

　　小强？

盘

　　甲和乙赛了1盘，就在表中“甲”与“乙”交叉的那格里打“√”，丁没有和丙比赛过，就在“丁”和“丙”交叉的那一格里画上“○”，根据条件分析：

甲赛了4盘，那就是指甲与乙、丙、丁、小强各赛了1盘，所以在相应的交叉处都记上“√”；乙赛了3盘，与甲乙赛了1盘，而丁只赛了1盘，且在与甲比赛中已经算了，所以不能与丁比赛，剩下2盘只能与丙和小强各赛1盘，这样就把乙的3盘落实下来了；丙赛2盘，已分别与甲、乙各赛了1盘，所以丙不能与丁、小强比赛了，在有关相应交叉处只能记“○”；丁只赛了1盘，这一盘已和甲比赛时算了，所以丁与乙、丙、小强没有比赛，只能在相应的交叉处记“○”，填好了这个表就可以明显地看出小强赛了几盘。

　　【观察思路】互通过观察，发现隐藏在题中的数量间的关系和变化规律，从而达到顺利的解决问题的目的，这就是观察思路。

　　例1计算下列各题。

（1）33333×33333

（2）37×18＋27×42

　　（3）9999×9999＋19999

　　分析（用观察思路分析）：

　　这几道题数据比较多而大，呆做是很麻烦的，必须想法进行简便计算。

如何才能运用运算定律和运算性质呢：

我们从整体上观察题目的运算结构和数据特点，灵活运用运算定律和运算性质，就能使计算简化。

　　先看第

（1）题。

运算用乘法分配律时，一般要凑成整十、整百、整千……。

若把33333拆成3×11111，此题就变成了

　　33333×33333=33333×3×11111

　　=99999×11111

　　然后变形为：

=（100000—1）×11111

　　再计算就简单多了。

　　再看第

（2）题。

运用乘法分配律，两个乘积中又没有一个相同因素，但从题目结构上观察，又似乎可以运用乘法分配律，然后进一步观察，发现把27折成3×9，42折成6×7，然后用乘法交换律和结合律再重新组合。

　　即：

37×18+27×42

　　＝37×18＋（3×9）×（6×7）

　　=37×18＋（3×6）×（9×7）

　　=37×18＋18×63

　　到这一步此题计算就变成了一道标准的乘法分配律逆运算题了。

　　最后分析第（3）题。

从表面看，此题也不好运用乘法分配律，但仔细观察后，你会发现只要把19999拆成9999＋10000后就能运用乘法分配律了。

即：

　　9999×9999+19999=9999×9999＋9999+10000

　　=9999×（9999+1）＋10000第一次运用乘法分配律

　　=9999×10000＋10000

　　=（9999＋1）×10000第二次运用乘法分配律。

　　分析到这一步，最后结果也就容易求出了。

　　例2自然数1、2、3、4……，按下面的格式排列，从数字1开始到2第一次拐弯，到3第二次拐弯，到5第三次拐弯，到7第四次拐弯，到10第五次拐弯……。

问到数字几作第20次拐弯。

　　4344454647484950

　　42212223242526…

　　41207891027…

　　4O196121128…

　　39185431229…

　　38171615141330…

　　37363534333231…

　　分析（用观察思路探索）：

　　我们的观察，是有目的的观察，在这里，我们应抓住“第20次拐弯”，来进行有目的性的观察，也就是说，我们的兴趣应放在偶数次拐弯上。

为了叙述方便，我们用a。

表示第n次拐弯时的那个对应的自然数。

　　从数表观察知：

　　a2=3a4＝7a6＝13

　　a8＝21a10＝31……

　　再来观察a2、a4、a6、a10……的规律。

　　a4=a2+4a6=a4+6a8=a6+8

　　a10＝a8＋10

　　发现了这一规律，那■a20不就容易求出吗？

　　即：

a20=a18+20=a16＋18＋20=a14＋16＋18+20

　　=a12+14+16+18+20＝a10+12＋14＋16+18＋20

　　=a8＋10+12＋14+16＋18＋20

　　=a6＋8＋10＋12＋14＋16＋18+20

　　=a4＋6＋10＋12＋14＋16＋18＋20

　　=a2＋4+10+12＋14＋16十18+20

　　=3＋4＋10＋12＋14＋16+18＋20

　　最后把它计算出来，就是第20次拐弯的那个数。

　　例3把从1到100的数排成下面的数表，在这个数表里面，把横的方向的三个数，纵的方向的两个数，一共6个数用线框围起来（如下表所示）。

若使围起来的六个数的和为429时，线框里面应该是哪六个数？

　　分析（用观察思路思索）：

　　观察数表的构成规律是解此题的关键，仔细观察后，我们会发现：

（1）线框里的数，上、下两排中间的数，分别为其左右两数的平均数；

（2）上下两排对应的两数之差为7；

　　（3）六个数之和除以3为上、下两排中间数之和，这个和减去差（7）除以2为上排中间数（10），这个和加上差（7）除以2为下排中间数。

　　找出了上、下排的中间数，其他四个数就容易找了。

　　【穷举思路】对于一组需要计算总数的东西，如果它们的数量不太多，我们可以把它一一列举出来，从而求出其总数，这种思考问题的路子，叫穷举思路或枚举思路。

运用这种思路来解题叫穷举法。

　　运用穷举思路分析题目时必须注意两点。

第一、数目不太大，若计算的数目太多时，要一一列举当然可以，但非常费时；第二、列举时必须保证不重复、不遗漏。

　　例1将一个整数分成若干个小于它的整数之和，这叫做分拆，比如3=2＋13=1+1＋1。

但3=1＋2与3=2+1

　　只是加数顺序不同，应算是同一种分拆，请问整数6有多少种不同的分拆方式？

　　分析（用穷举思路考虑）：

　　因为整数6不大，完全可以考虑用穷举思路分析，帮助求解。

由于

　　6=1＋5=2＋4=3＋3最少可拆为两数之和；

　　6=1＋1+1＋1＋1+1最多可拆为六数之和。

　　除了这两种情况之外，还可以拆成几个数之和呢？

都可以用穷举法求出。

　　这样一共有多少种分拆方式，也就自然出来了。

　　例2北京—郑州—武汉—长沙—广州的铁路，要准备多少种车票？

　　分析。

用穷举思路分析。

　　这个问题就是从北京、郑州、武汉、长沙、广州五个站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法，先列出下表。

　　起点站终点站

　　通过一一穷举，究竟要准备多少种不同的车票，不就一目了然了吗。

　　【尝试思路】通过列表，归纳等手段，用试一试的方式来探究解决数学问题，这就是尝试思路。

尝试往往是数学问题得到解决的前奏，很多数学问题的解决都发生在大胆的尝试之中。

　　例143位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同。

每个同学都各自把身上带的全部钱买了画片。

画片只有3分一张和5分一张的两种，每人都尽量多买5分一张的画片。

问他们所买的3分画片的总数是多少？

　　分析（用尝试思路分析）：

（1）从8分到5角就是以“分”为单位的从自然数8到50的43个连续自然数，这正好与43个同学一一对应。

（2）每个同学都把身上所带的钱全部买画片，就是每个同学都不许有余钱。

　　（3）每个同学既要把钱花光，又要尽量多买5分一张的画片，所以钱数是5的倍数（10、15、20、25、30、35、40、45、50）的九个人不能买3分一张的画片。

　　钱数被5除余3的同学（8、13、18、23、28、33、38、43、48）每人可以买1张3分的画片，9人共买9张3分一张的画片。

　　钱数被5除余1的同学（11、16、21、26、31、36、41、46）每人可买2张3分的画片，因为余钱数不是3的倍数，只好退一个5分与1分合成6分，这样8人共买16张3分画片。

　　钱数被5除余2的同学（12、17、22、27、32、37、42、47），因为余钱数2分，需要退下2个5分与2分合成12分，这样每人可以买4张3分画片，8人共买32张。

　　同理，钱数被5除余4的同学（9、14、19、24、29、34、39、44、49），每人可买3张3分画片，共买27张。

　　然后再求其总张数就容易了。

　　例2在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如图2.20），共有五个仓库。

一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库空着，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输一千米需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？

　　————

　　10吨20吨40吨

　　图2.20

　　分析（用尝试思路分析）：

　　根据题意，只要选择运输的吨千米数最少就最合理。

那么我们就不妨将货物集中到各个仓库，试算一下吨千米数，再一列举出来后，加以比较。

　　如果把货物统统运到一号仓库，那么吨千米数是：

　　100×20＋400×40＝18000（吨千米）

　　如果都运到二号仓库，则为：

　　10×100+40×300-13000（吨千米）

　　如果都运到三号仓库，则为：

　　10×200＋20×100＋400×200=12000（吨千米）

　　都运到四号仓库，则为：

　　10×300＋20×200+40×100=11000（吨千米）

　　都运到五号仓库，则为：

　　10×400＋20×300=10000（吨千米）

　　然后进行比较后就不难发现集中在几号仓库运费最少。

　　此题也可以这样分析：

　　因为五号仓库的货物动一站就要增加4000吨千米，而一号、二号仓库的货物动一站分别只增加1000吨千米和2000吨千米，合计才3000吨千米，所以五号仓库货物不能动，这样再去计算运费也不难了。

　　【方程思路】有些题目，用算术方法解答比较繁杂，我们可以转换一种思路，用方程来解答。

运用列方程解题的思路叫方程思路也叫代数思路。

　　方程思路的关键是找出等量关系。

把未知数看作已知数参与运算。

　　例1小明放学后沿某条公共汽车路线，以每小时4千米的速度回家，沿途该路公共汽车每9分钟就有一辆车从右面超过他，每7分钟就又遇到迎面开来的一辆车，如果该路公共汽车按相等的时间间隔以同一速度不停地运行，那么公共汽车发车的时间间隔是多少？

　　分析（用方程思路分析）：

　　该题数量关系比较复杂，用算术方法解比较困难，我们用方程思路来探讨。

为了解题方便，我们设公共汽车的速度为每小时x千米。

抓住公共汽车之间的距离都是相等的这个等量关系，先求出公共汽车的速度，然后再进一步求解。

　　化简得（4＋x）×7=（x-4）×9

　　解这个方程得x=32

　　再求出每两辆车之间的距离。

　　最后求出发车的时间间隔。

　　例2两个数相除商8，余16，被除数、除数、商与余数的和是463，被除数是多少？

　　分析（用方程思路思考）：

　　两个数相除商8余16，意味着有等量关系：

　　被除数=除数×8+16

　　然后我们把未知数被除数，除数分别用两个字母x、y代替，根据题意可以找两个等量关系式：

　　x=8y＋16①

　　x＋y+8＋16=463②

　　把①代入②得

　　8y+16+y+8＋16=463

　　9y=423

　　y＝47

　　然后可以求出被除数x。