新苏科初二数学下册第二学期期末考试试题.docx
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新苏科初二数学下册第二学期期末考试试题
新苏科初二数学下册第二学期期末考试试题
一、解答题
1．某校数学兴趣小组成员小华对本班上学期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数分布直方图和频数、频率分布表．请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
分组
49.5～59.5
59.5～69.5
69.5～79.5
79.5～89.5
89.5～100.5
合计
频数
2
20
16
4
50
频率
0.04
0.16
0.40
0.32
1
（1）频数、频率分布表中，；
（2）补全频数分布直方图；
（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是多少．
2．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：
四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：
四边形ABEC是矩形．
3．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE
（1）求证：
CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？
为什么？
4．解下列方程：
（1）；
（2）．
5．如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处．
（1）求直线AC所表示的函数的表达式；
（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积．
6．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E为BC延长线上一点，且BD＝BE，连接DE，Q为DE的中点，有一动点P从B点出发，沿BC以每秒1个单位的速度向E点运动，运动时间为t秒．
（1）如图1，连接DP、PQ，则S△DPQ＝ （用含t的式子表示）；
（2）如图2，M、N分别为AD、AB的中点，当t为何值时，四边形MNPQ为平行四边形？
请说明理由；
（3）如图3，连接CQ，AQ，试判断AQ、CQ的位置关系并加以证明．
7．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表:
调查结果统计表
组别
分组（元）
频数
调查结果频数分布直方图调查结果扇形统计图
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：
这次调查的样本容量是，,；
（2）补全频数分布直方图；（3）求扇形统计图中扇形的圆心角度数；
（4）该校共有人，请估计每月零花钱的数额在范围的人数.
8．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：
AF=BD．
（2）求证：
四边形ADCF是菱形．
9．如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
并证明你的结论．
10．已知：
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE＝DF
求证：
AC、EF互相平分．
11．某商家预测一种衬衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种衬衫，上市后果然供不应求，商家又用了26400元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件进价贵了10元，该商家购进的第一批衬衫是多少件？
12．解方程
（1）
（2）（配方法）
13．为了提高学生阅读能力，我区某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；被调查的学生周末阅读时间众数是 小时，中位数是 小时；
（2）计算被调查学生阅读时间的平均数；
（3）该校八年级共有500人，试估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数．
14．如图，点为的边的中点，分别以、为斜边作和，且，．
（1）求证：
．
（2）探究：
与的数量关系，并证明你的结论．
15．发现：
如图1，点为线段外一动点，且．
（1）填空：
当点位于上时，线段的长取得最小值，且最小值为（用含的式子表示）
（2）应用：
如图2，点为线段外一动点，且，分别以为边，作等腰直角和等腰直角，连接．
①请找出图中与相等的线段，并说明理由；
②直接写出长的最小值．
（3）拓展：
如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，请直接写出长的最小值及此时点的坐标．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．
（1）a＝8，b＝0.08；
（2）作图见解析；（3）．
【分析】
（1）根据频数之和等于总个数，频率之和等于1求解即可；
（2）直接根据
（1）中的结果补全频数分布直方图即可；
（3）根据89.5~100.5这一组的人数及概率公式求解即可.
【详解】
解：
（1）由题意得a＝50-2-20-16-4=8，b＝1-0.04-0.16-0.40-0.32=0.08；
（2）如图所示：
（3）由题意得张明被选上的概率是．
【点睛】
本题考查频数分布直方图，频数分布直方图的应用是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，要熟练掌握．
2．
（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到ABCD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，ABEC，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；
（2）由
（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）∵由
（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠AFC=2∠ADC，
∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
【点睛】
此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．
3．
（1）见解析
（2）成立
【解析】
试题分析：
（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．
（2）由
（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可
得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
试题解析：
（1）在正方形ABCD中，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．
理由是：
∵由
（1）得：
△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．CE＝CF
∵∠GCE＝∠GCF，GC＝GC
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
考点：
1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质．
4．
（1）；
（2）原方程无解
【分析】
（1）分式方程两边同乘以（3+x）（3﹣x）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程两边同乘以（x+1）（x﹣1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即得结果．
【详解】
解：
（1）方程两边同乘（3+x）（3﹣x），得9（3﹣x）＝6（3+x），
解这个方程，得x＝，
检验：
当x＝时，（3+x）（3﹣x）≠0，
∴x＝是原方程的解；
（2）方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得4+x2﹣1＝（x﹣1）2，
解这个方程，得x＝﹣1，
检验：
当x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣1是增根，原方程无解．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
5．
（1）；见解析；
（2）；见解析；（3）12或，见解析．
【分析】
（1）利用矩形的性质，求出点A、C的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）Rt△AED中，由勾股定理得：
，即可求解；
（3）①当EC＝EO时，ON＝OC＝4＝EM，则△OEA的面积＝×OA×EM；②当OE＝OC时，利用勾股定理得：
，求出ON＝，进而求解．
【详解】
解：
（1）∵点B的坐标为且四边形OABC是矩形，
∴点A、C的坐标分别为，
设AC的表达式为，
把A、C两点的坐标分别代入上式得，解得，
∴直线AC所表示的函数的表达式；
（2）∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴OA＝6，OC＝8．
∴Rt△AOC中，AC＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，
∵沿CD折叠，
∴∠CED＝90°，BD＝DE，CE＝6，AE＝4，
∴∠AED＝90°，
设BD＝DE＝a，则AD＝8﹣a，
∵Rt△AED中，由勾股定理得：
，
∴，解得a＝3，
∴点D的坐标为；
（3）
过点E分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵EN⊥OC，EM⊥OA，OC⊥OA，
∴∠ENO＝∠NOM＝∠OME＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴EM＝ON．
①当EC＝EO时，
∵EC＝EO，NE⊥OC，
∴ON＝OC＝4＝EM，
△OEA的面积＝×OA×EM＝×6×4＝12；
②当OE＝OC时，
∵EN⊥OC，
∴∠ENC＝∠ENO＝90°，
设ON＝b，则CN＝8﹣b，
在Rt△NEC中，，
在Rt△ENO中，，
即，
解得：
b＝，
则EM＝ON＝，
△OEA的面积＝×OA×EM＝×6×＝；
故△OEA的面积为12或．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质与判定、勾股定理及一次函数，关键是灵活运用知识点及函数的性质，求线段的长常用勾股定理这个方法．
6．
（1）；
（2）当t＝时，四边形MNQP为平行四边形，证明见解析；（3）AQ⊥CQ，证明见解析．
【分析】
（1）由勾股定理可求BD＝5，由三角形的面积公式和S△DPQ＝（S△BED﹣S△BDP）可求解；
（2）当t＝时，可得BP＝＝BE，由中位线定理可得MN∥BD，MN＝BD＝5，PQ∥BD，PQ＝BD＝5，可得MN∥PQ，MN＝PQ，可得结论．
（3）连接BQ，由等腰三角形的性质可得∠AQD+∠BQA＝90°，由直角三角形的性质可得DQ＝CQ，∠DCQ＝∠CDQ，由“SAS”可证△ADQ≌△BCQ，可得∠AQD＝∠BQC，即可得结论．
【详解】
解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴BC＝4，CD＝3，
∴BD＝＝5，
∴BD＝BE＝5，
∵Q为DE的中点，
∴S△DPQ＝S△DPE，
∴S△DPQ＝（S△BED﹣S△BDP）＝＝．
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