函数的基本性质及新定义题专项练习doc.docx
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函数的基本性质及新定义题专项练习
1.设H力为定义在R上的奇函数.当虑0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则
f(—1)等于()・
A.3B・1C・一1D・一3
[e_x—2,兀WO,
2.已知函数/(x)=‘A(4是常数且4>0)・对于下列命题:
[2ax—l9x>0
其中正确命题的序号是
3.函数f(x)的定义域为力,若心兀2wA且f(x{)=f(x2)时总有x,=x2,则称f(x)为单函
数例如,函数/a)=x+lUeR)是单函数•下列命题:
1函数/(A-)=X2-2X(X6R)是单函数;②函数/(A-)=|^g2I亍是单函数;
2-x.x<2・
3若于⑴为单函数,xl9x2eA且x^x2f则/(x,)^/(x2);
4若函数/⑴在定义域内某个区间〃上具有单调性,则/⑴一定是单函数.其中真命题是(写出所有真命题的编号).
4.如果对定义在R上的函数/(x),对任意两个不相等的实数坷,兀2,都有
xi/(x1)+x2/(x2)>x1/(x2)4-x2/(xi),则称函数/(兀)为“H函数”•给出下列函数
*
]nxxH0
1y=/;
(2)y=ex+1;(3)y=2x-sinx't@f(x)=\・以上函数是"//函数”
0x=()
的所有序号为.
5.设/(x)是奇函数,且在(Og内是增函数,又/(-3)=0,则%•/(%)<0的解
集是()
A・{a:
I-33}B・{xl无<一3或)vx<3}
②在[1,4-00)±为增函数,若
C.{xl-33}
6.已知函数),=/⑴满足:
①y=/Q+l)是偶函数;
<0,X2>0,且+*2V-2,贝|J/(-旺)与于(-兀2)的大小关系是()
A・/(-兀J>/(-x2)B./(-“)v/(-兀2)
B.C./(-X|)=/(-x2)D・无法确定
7.已知定义在R上的偶函数/(x+2)=/(X)+/
(1),且当XG[0,1]时,y=/⑴单调递减,给出以下四个命题:
①/
(1)=0
2直线兀二-2为函数y=f(x)的一条对称轴;
3函数y»(x)在[4,5]上单调递增
4若方程f(x)=m在上两根兀“2,则西+兀2=-4。
以上命题正确的是(请把所有正确命题的序号都填上)
8.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意a,bwR,为唯一确定的实数,
且具有性质:
(1)对任意awR,a^0=a;
(2)对任意a,beR,a*b=ab+(a*O)+(b*O)・
则函数m*)咕的最小值为()
D.8
A.2B.3C.6
9.已知定义在R上的函数/(兀)满足条件;①对任意的xeR,都有/(x+4)=/(x).②对任意的知可引0,2]且西。
2,都Wf(x.)(x2);③函数
/(x+2)的图象关于y轴对称•则下列结论正确的是()
A.f(7)C./(4.5)(6.5)(7)D./(4.5)(7)(6.5)
10.给出定义:
若m-丄vMM+丄(其中M为整数),则M叫做离实数兀最近
22
的整数,记作{x}=M.在此基础上给出下列关于函数f(x)=\x-{x}\的四个结论:
1函数y=/(x)的定义域为/?
值域为[0,|];
2函数y=/(x)的图象关于直线兀■仗wZ)对称;
3函数y=/(x)是偶函数;④函数)=/⑴在[冷,*]上是增函数。
其中正确结论的是(把正确的序号填在横线上)。
11・已知。
>1,设函数/(x)=tzr+x-4的零点为加,g(兀)=log“兀+x-4的零点为〃,则mn的最大值为()
(A)8(B)4(C)2(D)1
12.若函数兀兀)满足:
存在非零常数7,对定义域内的任意实数x,有f(x^T)=Tf(x)成立,则称/(兀)为“T周期函数”,那么有函数①f(x)=ex②f(x)=e~x③/(x)=lnx④f{x)=x,其中是“F周期函数”的有(填上所有符合条件的函数前的序号)
13•下列命题正确的是(写序号)
1命题"玉0GR工+1>3x()〃的否定是z/Vxg/?
^2+1<3x〃.
2函数/«=cos2^-sin^x的最小正周期为“龙”是性1"的必要不充分条件;
3x2+2x>ax在x丘[1,2]上恒成立oX+2x)min>(ax)^在*[1,2]上恒成立;
4在AABC中/A>B〃是"sinA>sinB〃的充要条件.
14•对任意实数a,b定义运^®\a®b=^a~b~V设f⑴=(/_1)0(4+兀),
a,a-b<1.
若函数y=f(x)^k恰有三个零点,则实数k的取值范围是()
(A)(-2,1)
(B)[0,1](C)[-2,0)(D)[-2,1)
15•设函数y=f(x)在区间仏b)上的导函数为/(x),f\x)在区间(d,b)上的导函数为厂(兀),若区间仏b)上厂(兀)>0,则称函数/*(兀)在区间仏①上为“凹函数”,已知f(x)=-X5-—mx4-2x2在(1,3)上为“凹函数”,则实数m的取值
•\丿2012
范围是()
3131
A.(-OO,—)B.[—,5]C.(—00,31D.(—00,5)
99
16•对于任意两个正整数定义某种运算“※”如下:
当加丿都为正偶数或正奇数时,加※n=m+n;当加,〃中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m=mn・则在此定义下,集合M={(a,b)\a※/7=16}中的元素个数是()
A.18个B.17个C.16个D.15个
17•已知定义域为R的函数f⑴=2a+dc()x+3siz(&、bGR)有最大值和最
2+cosx
小值,且最大值与最小值的和为6,则。
=
A.1B.2C.3D.4
18•设函数f(x)的定义域为R,若存在常数m>0,使对一切实数%均
成立,则称f(x)为“倍约束函数”.现给出下列函数:
①f(x)=O;②f(x)=x2;
X
③f(x)=?
+^+i;④f(x)是定义在实数集R上的奇函数,且对一切x】,X2均有巧I.其中是“倍约束函数”的序号是()
A.①②④B.③④C.①④D.①③④
函数的基本性质及新定义题专项练习参考答案
1.D2.答案①③④
解析
根据题意可画出草图,由图象可知,①显然正
确;函数/U)在r上不是单调函数,故②错误;若/u)>o在岸,+8)上恒成立,则2«x|-l>0,a>l,故③正确;由图象可知在(一®0)上对任意的xj<0,x2<0
3.③【解析】命题①中,因为/(0)=/
(2)=0,所以f(x)=x2-2x(xeR)不是单函数,命题①为假命题;
命题②中,因为/(兀)"警圮辽2,所以,/
(1)»
(2)=1,所以心不是单函数,命
2—x,x<2・
题②为假命题;
因为"若X|,x2eA且f(xt)=f(x2)时总有召=勺"与命题a\,x2gA且西工兀,则/(西)工/仕2);”互为逆不命题,故③为真命题;
由命题①②中的两个函数作为实例,说明若函数/⑴在定义域内某个区间0上具有单调性,则于⑴不一定是单函数•所以④是假命题.
4・②③【解析】x1/(xI)+x2/(x2)>x1/(x2)+x2/(x1)即(x1-x2)[/(x1)-/(x2)]>0,所以函数/(兀)在/?
是增函数.
对于①,由/=2x>0得x>0,即函数在区间(0,2)是增函数,其不是“H函数”;
对于②,由由/=^>0恒成立,所以其为函数”"
对于③,由/=2-cosx>0恒成立,所以其为函数”;
对于④,由于其为偶函数,所以其不可能在R是增函数•所以不是函数”.综上知,是函数”的有②③.
5.C【解析】V/(%)是奇函数,.f(-3)=0,在(0,+oo)内是增函数,・・・./'(3)=0,
Vx-/(x)v(),・・・
(1)当兀〉0时,/(x)v()=/(3),故0vxv3;
(2)当兀v()时,
/(%)>0=/(-3),故-3综上,%•/(%)v0的解集是{力―3<兀<0或0vxv3}・
6.
A【解析】/(x+1)是偶函数,所以/(-x+l)=/(x+l)即/(-x)=/(x+2)由
/(-^)>/(2+x2)=/(-x2)
7.①②④【解析】由已知令x=-l,/(I)=/(-!
)+/(!
),又因为于(兀)是偶函数,
所以/(-!
)=/(!
),所以/
(1)=2/
(1),所以/⑴=0,故①正确;由①得
/(兀+2)=/(兀),所以y=f(x)是周期为2的周期函数,因为"0是对称轴,所
因为函数y=/(%)在
以线x=-2为函数y=的一条对称轴,故②正确;
施[0,1]单调递减,所以y=f(x)在[4,5]上单调递减,③错误;因为线x=-2为函数y=(兀)的一条对称轴,故方程f(x)=m在[-3,-1]上两根西宀满足西+兀2=-4,④正确,综上,正确的命题有①②④.
8.B【解析】
依题意可得几兀)=@)*丄=八丄+/+丄=八丄+1氓卜丄+1=3,当且
仅当*0时成立,
9.D【解析】
所以函数心十)咕的最小值为3,
eeeeve
函数/(x+2)的图象关于y轴对称,得/(2+x)=/(2-x),X/(x+4)=/(x),
所以/(4.5)=/(0.5),/(7)=/(3)=/(2+1)=/(2-1)=/
(1),
f(6.5)=f(2.5)=/(2+0.5)=f(2-0.5)=/(1.5),由题意,/⑴在[0,2]上是增
函数,所以/(4.5)(7)(6.5)・
10.①②③【解析】由定义,得一-2222
0<|x,故①对;
f(x)=x—{%}=x—M,M——v兀5M+丄,贝k—M^k—x'2222
{k-x}=k-M,f(k-兀)=比一x—快一兀]|二比一x_伙_M)\=\x-M\=/(x),即数歹=/(x)的图象关于直线x=-伙wZ)对称,故②对;在②的证明中,令"0,得/(-x)=/(X),即函数为偶函数,故③对;由③得函数为偶函数,在不可能为单调函数;
22
11.B【解析】由f(x)=ax+x-4=0得ax=4-x,函数f(x)=ax+x-4的零点为m,即y=a\y=4-x的图象相交于点(m,4-m);
由g(x)=loga兀+x-4=0得logax=4-x,函数g(x)=logflx+x-4的零点为〃,
即y=log“x,y=4-x的图象相交于点(n,4-n)
因为y=d”,y=log“x互为反函数,所以m=4—,即加+〃=4且加>0,斤>0,
由基本不等式得mn<=4,当且仅当m=n=2时"二”成立,
所以mn的最大值为4・
12.②【解析】
假设都是“T周期函数”,对于函数f(x)=exf(x^-T)=ex+T9Tf(x)=Tex,由/(x+T)=7/(x)得严―店,即eT=T9此方程无实数解,所以①不是;对于函数/(x)=厂有/(x+T)=e-x~TJf(x)=Te~x,由/(x+T)=Tf(x)得严=Te'x,即e~T=T,此方程有一个实数解,所以②是;对于函数/(x)=lnx有/(x+T)=ln(x+T),7/(x)=TInx,由f(x+T)=Tf(x)得ln(x+T)=Tlnx(不成立),所以③不是;对于函数f(x)=x有nx+T)=x+7\〃(Q=及,由f(x-^T)=TfM得兀+T二及(不成立),所以④不是;故答案为②.
13•①②④【解析】对于①存在性命题的否定是全称命题,且否定结论,是真命题;对于②f(-x)=cos2ax一sin2ax=coslax,T="=2L_,如果丁==龙,a=±1,反
2\a\\a\IaI
乙21时,函数/⑴二心认-站认的最小正周期为龙,②是真命题;对于③F+2沦曲在龙"1,2]上恒成立,即x+2,在兀"1,2]上恒成立等价于a<(x+2)mjn,是假命题;
对于④,当si“A>sinB时,由正弦定理2RsinA>2RsinB,a>boA>B真命题.
【解析】
14.D
(x2-1)-(4+x)>1!
(兀~—1)—(4+x)<1
—1v—k52,—2SRv1
〔4+jc由新定义的概念可得当fM=\/
b2-i
f4+xx<-2^x>3
fM=\?
•所以由y=f\x)+k可得,
[x-l-215.C【解析】
由已知条件得/(x)=—x4-—mx3-4x,贝(Jf(x)=x3-mx2-4,所以
、44
x3-mx2-4>0在(1,3)恒成立,则加G--,因为兀-二在(1,3)递增,所以
4
x——>—39以m5—3•
16.B.【解析】因为1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,7+9=16,8+8=16,1x16=16,集合M中的元素是有序数对(a,b),所以集合M
中的元素共有8x2+1=17个.
17.C【解析】
由已知/(兀)=°+加心,注意至IJg(x)^3sinV是奇函数,
24-cosx2+cosx
g(兀)max+g(九n=0,所以/(X)max+/(X)min=d+g(叽+d+g(九.=2d=6,所以d=3.
18.D